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专题 02 勾股定理的应用（十三大题型）
【题型1 求梯子滑落高度】...................................................................................................1
【题型2 求旗杆高度】..........................................................................................................5
【 题 型 3 求 小 鸟 飞 行 距
离】...................................................................................................11
【题型4 求大树折断前的高度】...........................................................................................15
【 题 型 5 解 决 水 杯 中 筷 子 问
题】............................................................................................18
【 题 型 6 解 决 航 海 问
题】.......................................................................................................20
【 题 型 7 求 河
宽】..................................................................................................................25
【 题 型 8 求 台 阶 上 地 毯 长
度】................................................................................................28
【 题 型 9 判 断 汽 车 是 否 超
速】................................................................................................29
【题型10 判断是否受台风影响】.........................................................................................31
【 题 型 11 选 址 使 到 两 地 距 离 相
等】......................................................................................36
【题型12 求最短路径】........................................................................................................37
【题型13 折叠问题】...........................................................................................................43
【题型1 求梯子滑落高度】
1．如图，小宇将2.6米长的梯子搭在自己家的房屋外面的墙面上，此时梯子底端离屋底1
米，则梯子顶端与地面的距离是（ ）A．1.5米 B．1.6米 C．2米 D．2.4米
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理并学会应用是解题的关键．
根据梯子、墙、地面正好构成直角三角形，再由勾股定理即可顶端距离地面的高度．
【详解】解：根据题意得顶端距离地面的高度=❑√2.62−12=2.4，
故选：D
2．如图，已知消防云梯最长只能伸长到25m(AB=CD=25m)，消防车高3m，救援时云梯
伸长至最长，在完成从23m(AE=23m)高的A处救援后，还要完成比A处高4m的点C
处的救援，则消防车需要从点B处向点D处移动的距离为（ ）m．
A．8 B．7 C．4 D．3
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，运用勾股定理求解是解题的关键．
由题意得，BF⊥AF，AB=CD=25m，AE=23m，EF=3m，则AF=20m，
CF=24m，先在Rt△ABF中求出BF，再在Rt△CDF中求出DF，即可由
BD=BF−DF求解．
【详解】解：由题意，得BF⊥AF，AB=CD=25m，AE=23m，EF=3m，
∴AF=AE−EF=23−3=20m，CF=AF+AC=20+4=24m，
在Rt△ABF中，由勾股定理，得
BF=❑√AB2−AF2=❑√252−202=15(m)，在Rt△CDF中，由勾股定理，得
DF=❑√CD2−CF2=❑√252−242=7(m)，
∴BD=BF−DF=15−7=8(m)，
即消防车需要从点B处向点D处移动的距离为8m．
故选：A．
3．一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，如果梯子的顶端下滑了4米，
那么梯子的底端在水平方向滑动的距离为（ ）
A．4米 B．6米 C．8米 D．15米
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形中勾股定理的运
用，本题中正确的使用勾股定理求CE的长度是解题的关键．
根据梯子长度不会变这个等量关系，利用勾股定理，即可解题．
【详解】解：由题意知AC=A′C′=25米，BC=7米，A A′=4米，
在直角△ABC中，AC斜边，
∴AB=❑√AC2−BC2=24米，
已知A A′=4米，则A′B=24−4=20米，
在直角△A′BC′中，
∴BC′=❑√A′C′2−A′B2=15米，
CC'=15−7=8米．
故选：C．
4．一架方梯AC长25m，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端点C离墙7m．(1)这个梯子的顶端距地面有多高？
(2)如果梯子的顶端由点A向下滑动至点A'，A A'=4m，那么梯子的底端在水平方向滑
动了几米？
【答案】(1)这个梯子的顶端距地面24m
(2)梯子的底端在水平方向滑动了8m
【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）利用勾股定理列式运算即可；
（2）求出A′B的长，再利用勾股定理运算求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得，∠ABC=90°，AC=25，BC=7，
在Rt△ABC中，AB=❑√AC2−BC2=❑√252−72=24，
∴这个梯子的顶端距地面24m；
（2）根据题意，得AC=A'C'=25，A A'＝4，
∴A'B=AB−A A'=24−4=20，
在Rt△A′BC′中，C′B=❑√A′C′2−A′B2=❑√252−202=15，
所以CC'=C'B−BC=15−7=8，
即梯子的底端在水平方向滑动了8m．
5．综合与实践
【背景】消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾救援任务，大幅提高消防救援效率，
缩短救援时间．已知云梯最多伸长到25m，消防车高4m，救援时云梯伸到最长．【任务】在演练中消防员接到命令，必须在A′，B′处两个求救点救援．
【现场勘察】勘察A′，B′离地面O的高度分别为A′O=24m，B′O=28m．
【解决问题】
(1)消防车接到命令快速赶到现场，此时云梯顶端刚好在A′处，求消防车云梯底部A处
距离着火楼距离是多少？
(2)消防车继续向着火楼靠近救援，靠近的距离AB为多少米时，才能使云梯顶端刚好到
达B′处，完成救援任务？
【答案】(1)消防车距离着火楼距离是15米
(2)消防车靠近的AB为8米才能完成B′处救援任务
【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
（1）延长AB交A′O于点D，则∠AD A′=90°，DO=4m．在Rt△AD A′中根据勾股
定理求出AD即可；
（2）在Rt△BDB′中根据勾股定理求出BD，在根据AB=AD−BD即可解答．
【详解】（1）解：延长AB交A′O于点D，则∠ADA′=90°，DO=4m．
∵A A′=25m，A′D=A′O−DO=24−4=20(m)∴在Rt△AD A′中，AD=❑√A A′2−A′D2=❑√252−202=15(m)，
即此时消防车距离着火楼距离是15米．
（2）解：∵B′D=B′O−DO=28−4=24(m)，BB′=A A′=25m，
∴在Rt△BDB′中，BD=❑√BB′2−B′O2=❑√252−242=7(m)，
∴AB=AD−BD=15−7=8(m)，
即消防车靠近的AB为8米时才能完成B′处救援任务．
【题型2 求旗杆高度】
6．如图是某俱乐部新打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小明，该项目AB段和BC
段均由不锈钢管材打造，总长度为27米，长方形ADCG和长方形DEFC均为木质平台
的横截面，点G在AB上，点C在GF上，点D在AE上，经过现场测量得知CD=2米，
AD=15米．
(1)小明猜想立柱AB的长为8米，请判断小明的猜想是否正确？如果正确，写出理由；
如果错误，请求出立柱AB的正确长度；
(2)为加强游戏的安全性，俱乐部打算再焊接一段钢索BF，经测量DE=3米，请你求出
要焊接的钢索BF的长．
【答案】(1)不正确的，10米
(2)2❑√97米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理、求出BG的长是解题的关键．
（1）设BG=x米，则BC=(26−1−x)米，在Rt△BGC中，利用勾股定理列方程，求
出x，结合AB=BG+GA即可得出结论；
（2）由题意得CF=DE=3米，则GF=GC+CF=18米，在Rt△BGF中，由勾股定理
求出BF的长即可．
【详解】（1）解：小明的猜想不正确；理由如下：
由题意可知：AB+BC=27，AG=CD=EF=2，AD=GC=15，∴BG+BC=25，
在Rt△BGC中，由勾股定理得：BG2+CG2=BC2，
即BG2+152=(25−BG) 2，
解得：BG=8，
∴AB=BG+AG=8+2=10，
∴小明的猜想不正确，立柱AB的正确长度为10米；
（2）解：由题意可知：DE=CF=3，
∴GF=CG+CF=15+3=18，
Rt△BGF中，由勾股定理得：BG2+FG2=BF2，
即BF2=82+182=388，
∴ BF=2❑√97米，
∴焊接的钢索BF的长为2❑√97米．
7．综合与实践
【实践任务】测量旗杆高度．
【工具素材】卷尺，升旗的绳子．
【备注说明】旗杆滑轮处到旗杆顶部的距离忽略不计；升旗的绳子为环形结构，当绳子
不解开时的重合长度记为叠合长度．
【实施方案1】
步骤1：该小组通过查阅相关信息得知旗杆a升旗绳子的叠合长度为17m；
步骤2：如图1，将绳子沿地面拉直时，测量旗杆底端与绳子末端之间的距离BC为8m．
（1）根据上述数据，可计算出旗杆a的高度为______m．
【实施方案2】
步骤1：如图2，通过测量发现旗杆b升旗绳子的叠合长度比旗杆长1m；
步骤2：将绳子沿地面拉直，并让绳子末端在地面上，测量得到旗杆底端与绳子末端相距5m．
（2）结合方案2中的数据，请求出旗杆b的高度．
【实施方案3】
步骤1：如图3，将旗杆c的升旗绳子解开，令一端与旗杆底部重合（记为点C），
另一端拉直至地面的点B处，并测得BC长度为5m；
步骤2：如图4，将绳子端点B沿地面前进4m至点D，发现此时绳子另一端上升2m至点
E．（备注：点D、B、C在同一水平面上，绳子保持拉直状态）
（3）结合方案3中的数据，求旗杆c的高度．
【答案】（1）15；（2）旗杆b的高度为12米；（3）旗杆c的高度为12米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意构建直角三角形是解题的关键．
（1）根据勾股定理即可解答；
（2）设旗杆b的高度为t米，则绳子的长度为(t+1)米，根据勾股定理列方程即可解答；
（3）设AC=x米，AB= y米，根据题意列出方程组即可解答．
【详解】（1）解：根据题意可得旗杆a的高度为❑√172−82=15米，
故答案为：15；
（2）解：设旗杆b的高度为t米，则绳子的长度为(t+1)米，
依题意可得：52+t2=(t+1) 2，
解得：t=12．
答：旗杆b的高度为12米．
（3）解：设AC=x米，AB= y米，
则可得：
{ 52+x2= y2 )
，
(5+4) 2+x2=(y+2) 2
{x=12)
解得： ．
y=13
答：旗杆c的高度为12米．
8．小华同学在公园放风筝，如图1所示，其中点A为风筝所在的位置，BC为牵线放风筝
的手到风筝的水平距离，AB为风筝线的长度，AD为风筝到地面的垂直距离，测得BC
长为24米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB的长为25米，小华的身高为1.8米．(1)在图1中根据测量数据，计算出此时风筝离地面的垂直高度AD．
(2)如图2，若想要风筝沿DA方向再上升8米到达点E，且风筝线的长度不变，则他应
该朝射线BC方向前进多少米？
【答案】(1)此时风筝离地面的垂直高度AD为8.8米
(2)他应该朝射线BC方向前进4米
【分析】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理公式．
（1）首先根据勾股定理求出AC=❑√AB2−BC2=7米，进而求解即可；
（2）首先得到CE=AC+AE=7+8=15米，EF=AB=25米，然后根据勾股定理求出
CF=❑√EF2−EC2=20米，进而求解即可．
【详解】（1）解：Rt△ABC中，
AC=❑√AB2−BC2=❑√252−242=7米，
∴AD=AC+CD=7+1.8=8.8米，
答：此时风筝离地面的垂直高度AD为8.8米；
（2）解：CE=AC+AE=7+8=15米，
由题意可得：EF=AB=25米，
Rt△EFC中，
CF=❑√EF2−EC2=❑√252−152=20米，
∴BF=BC−CF=24−20=4米．
答：他应该朝射线BC方向前进4米．
9．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，
也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE=1m，将它
往前推4m至C处时（即水平距离CD=4m），踏板离地的垂直高度CF=3m，它的绳索始终拉直，求绳索AC的长．
【答案】绳索AC的长是5m
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．
由题意可知，CF=DE=3m，BE=1m，CD=4m，设AB=AC=xm，根据勾股定理
列方程求解即可．
【详解】解：由题意可知，CF=DE=3m，BE=1m，CD=4m，
∴BD=2m，
设AB=AC=xm，则AD=(x−2)m，
由勾股定理得：AD2+CD2=AC2，
∴(x−2) 2+42=x2，
解得：x=5，
即绳索AC的长是5m．
10．如图，数学兴趣小组要测量旗杆AB的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地
面多出一段的长度为2米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点C处，到旗杆底部B
的距离为6米．
(1)求旗杆AB的高度；
(2)小明在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚
好拉直，绳子末端落在点E处，问小明需要后退几米（即CD的长）？
【答案】(1)旗杆AB的高度为8米；(2)小明需后退2米．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，添加适当的辅助线构造直
角三角形是解此题的关键．
（1）设旗杆AB的高度为x 米，则AC=(x+2)米，再由勾股定理计算即可得解；
（2）过E作EM⊥AB重为M，证明四边形BDEM为长方形，得出MB=ED=2米，
BD=ME，由勾股定理得ME=8米，即可得解．
【详解】（1）解：设旗杆AB的高度为x 米，则AC=(x+2)米，
在Rt△ABC中，∠B=90°，由勾股定理得：AB2+BC2=AC2，
∴x2+62=(x+2) 2，
解得：x=8，
答：旗杆AB的高度为8米；
（2）解：过E作EM⊥AB重为M，
则∠MEB=∠MBD=∠EDB=90°，
∴四边形BDEM为长方形，
∴MB=ED=2米，BD=ME，
∵AB=8米，
∴AM=8−2=6米，AE=8+2=10米，
在Rt△AME中，∠AME=90°，
由勾股定理得：ME=❑√AE2−AM2=❑√102−62=8米，
∴CD=8−6=2米
答：小明需后退2米．
【题型3 求小鸟飞行距离】11．如图，某校校庆时，从教学楼楼顶的A处向围墙上的C处拉彩旗．已知墙和教学楼的
水平距离BD=16米，教学楼高AB=15米，围墙高CD=3米，问至少需要多长的彩旗
带？
【答案】20m
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
过C作CE⊥AB于E，求得CE,AE，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：如图，过C作CE⊥AB于E，
则四边形CDBE是长方形，
∴BE=CD=3m，BD=CE=16m，
∴AE=AB−BE=12m，
在Rt△ACE中，AC2=AE2+CE2，
∴AC=❑√122+162=20m，
答：至少需要20m的彩旗带．
12．如图，树根下有一个蛇洞，树高15m，树顶有一只鹰，它看见一条蛇迅速向洞口爬去，
与洞口的距离还有3倍树高时，鹰向蛇扑过去．如果鹰与蛇的速度相等，鹰与蛇的路
线都是直线段，请求出鹰向何处扑击才能恰好抓到蛇．
【答案】鹰向离树20m的地方扑击才能恰好抓到蛇
【分析】此题考查了勾股定理的应用，设CB的长为xm，根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】如答图，
设点D处为树顶，鹰向点B处扑去才能正好抓住蛇，由题意，得DB=AB，
设CB的长为xm，则152+x2=(15×3−x) 2，
解得x=20．
答：鹰向离树20m的地方扑击才能恰好抓到蛇．
13．如图，琪琪在离水面高度5m的岸边C处，用绳子拉停在B处的小船靠岸，开始时绳子
BC的长为13m．
(1)开始时，小船距岸A的距离为_______m；
(2)若琪琪收绳5m后，船到达D处，求小船向岸A移动的距离BD的长．
【答案】(1)12
(2)(12−❑√39)m
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是学握从题中抽象出勾股定理这一数
学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长；
（2）根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用
BD=AB−AD可得BD长．
【详解】（1）解：在Rt△ABC中，∠CAB=90°,BC=13m,AC=5m，
∴AB=❑√132−52=12(m)，
故答案为：12；
（2）∵琪琪收绳5m后，船到达D处，
∴CD=13−5=8(m)，∴AD=❑√CD2−AC2=❑√82−52=❑√39(m)，
∴BD=AB−AD=(12−❑√39)m．
14．如图，有两棵树，分别记为AB，CD．其中一棵树AB高12米，另一棵树CD高6米，
两棵树相距8米．若一只小鸟从树梢A飞到树梢C，求小鸟飞行的最短距离．
【答案】小鸟飞行的最短路程为10米
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿
着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离
求出．解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解．
【详解】解：如图，过C点作CE⊥AB于点E，则四边形EBDC是长方形，连接AC．
∵AB=12米，CD=6米，BD=8米，
∴EB=6米，EC=8米，AE=AB−EB=12−6=6米，
在Rt△AEC中，AC=❑√AE2+CE2=10(米)，
故小鸟飞行的最短路程为10米．
15．如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度AB=8米，A点到地面C点（B，
C两点处于同一水平面）的距离AC=10米．(1)求出BC的长度；
(2)若小鸟竖直下降到达D点（D点在线段AB上），此时小鸟到地面C点的距离与下降
的距离相同，求小鸟下降的距离．
【答案】(1)6米
25
(2)小鸟下降的距离为 米
4
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练的掌握勾股定理是解题的关键．
（1）在直角三角形中运用勾股定理即可解答；
（2）在Rt△BDC中，根据勾股定理即可解答．
【详解】（1）由题意知∠B=90°，
∵AB=8米，AC=10米．
在Rt△ABC中AB2+BC2=AC2
∴ BC=❑√102−82=6米，
（2）设AD=x，
∵到达D点（D点在线段AB上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同，
AB=8
∴则CD=AD=x，BD=8−x，
在Rt△BDC中，DC2=BD2+BC2，
∴x2=(8−x) 2+62，
25
解得x= ，
4
25
∴小鸟下降的距离为 米．
4
【题型4 求大树折断前的高度】
16．如图，一根直立的旗杆高9m，因刮大风，旗杆从点C处折断，顶部B着地，且离旗杆底部A的距离为3m．
(1)求旗杆在距地面多高处折断；
(2)在折断点C的下方1m的点P处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点P处吹
断，那么行人在距离旗杆底部5m处是否有被砸到的风险？
【答案】(1)旗杆在距离地面4m处折断
(2)行人在距离旗杆底部5m处有被砸到的风险
【分析】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理并正确计算是解题的关键．
（1）设AC的长度为xm，则BC的长度为(9−x)m，根据勾股定理列方程，解方程即
可求出的AC的长度．
（2）根据AC的长度，求出AP、PB′的长度，再根据勾股定理求出AB′的长度，与
5m作比较，即可求解．
【详解】（1）解：设AC的长度为xm，则BC的长度为(9−x)m，
由勾股定理，可得x2+32=(9−x) 2，
解得x=4．
答：旗杆在距离地面4m处折断．
（2）解：∵AC=4m，PC=1m，
∴AP=3m，
∴PB′=9−3=6m，
由勾股定理，可得AB′=❑√PB′2−AP2=❑√62−32=3❑√3m，
∵3❑√3m>5m，
∴行人在距离旗杆底部5m处有被砸到的风险．
答：行人在距离旗杆底部5m处有被砸到的风险．
17．如图，有一棵大树被大风吹折，折断处A与地面的距离AC=3m，折断处A与折断后
树的顶端B的距离AB=5m．在大树倒下的方向上的点D处停着一辆小轿车，CD的距
离为6m，求BD的距离．【答案】BD的距离为2m
【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟记在直角三角形中两直角边的平方的和
等于斜边的平方是解题关键．
先对Rt△ABC运用勾股定理求解BC，再由线段和差计算即可．
【详解】解：由题意得，∠ACB=90°，
∴BC=❑√AB2−AC2=❑√52−32=4(m)，
∴BD=CD−BC=6−4=2(m)，
答：BD的距离为2m．
18．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有
极强的破坏力．如图，台风过后，某山坡上的一棵甲树从点A处被拦腰折断，其树顶
恰好落在另一棵乙树的根部C处，已知点A距离甲树的根部B处AB为4米，甲、乙两
树根部的距离BC为13米，两棵树的株距（两棵树的水平距离）CD为12米，且点A，
B，D在一条直线上，AD⊥CD，求甲树原来的高度．
【答案】甲树原来的高度为19米
【分析】问题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
根据勾股定理计算即可．
【详解】解：∵ AD⊥CD，
∴∠ADC=90°，
∵BC=13米，CD=12米，
∴BD=❑√BC2−CD2=5（米），∴AD=AB+BD=4+5=9（米），
∴ AC=❑√AD2+CD2=15（米），
∴甲树原来的高度为AC+AB=15+4=19（米），
答：甲树原来的高度为19米.
19．如图，一根垂直于地面的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗
杆底部的距离AB=4m．
(1)求旗杆折断处C点距离地面的高度AC；
(2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1.25m的点D处，有一明显裂痕，若
下次大风将修复好的旗杆从点D处吹断，旗杆的顶点落在水平地面上的B′处，形成一
个直角△ADB′，请求出AB′的长．
【答案】(1)AC=3米
(2)AB′=6米
【分析】（1）由题意可知AC+BC=8米，根据勾股定理可得：AB2+AC2=BC2，
又因为AB=4米，所以可求得AC的长，
（3）先求出D点距地3−1.25=1.75米，B′D=8−1.75=6.25米，再根据勾股定理可
以求得AB′=6米．
【详解】（1）解：由题意可知：AC+BC=8米，
∵∠A=90°，
∴AB2+AC2=BC2，
又∵AB=4米，
∴42+AC2=(8−AC) 2，
∴AC=3米；
（2）解：∵D点距地面AD=3−1.25=1.75米，
∴B′D=8−1.75=6.25米，∴AB′=❑√B′D2−AD2=6米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方
程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，
画出准确的示意图
20．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺．问折高
者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍
恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？
91
【答案】 尺
20
【分析】设折断处离地的高度为x尺，利用勾股定理建立方程，解方程即可得．
【详解】解：设折断处离地的高度为x尺，
由勾股定理得：x2+32=(10−x) 2，
即x2+9=x2−20x+100，
91
解得x= ，
20
91
答：折断处离地的高度为 尺．
20
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．
【题型5 解决水杯中筷子问题】
21．池塘中有一株荷花的茎长为OA，无风时露出水面部分CA=0.4米，如果把这株荷花向
旁边拉至使它的顶端A恰好到达池塘的水面B处，此时荷花顶端离原来位置的距离
BC=1.2米，求这株荷花的茎长OA．【答案】这株荷花的茎长为2m
【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理的方程思想．
根据题意直接得出三角形各边长，进而利用勾股定理求出答案．
【详解】解：由题意可得：设AO=xm，则CO=(x−0.4)m，
∵∠BCO=90°，
∴CO2+BC2=OB2，
则(x−0.4) 2+1.22=x2，
解得：x=2，
答：这株荷花的茎长为2m．
22．如图，一根长18cm的牙刷放置于底面半径是2.5cm，高为12cm的圆柱水杯中，牙刷
露在杯子外面的长度为hcm，求h．
【答案】5
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理并读懂题意是解题的关键．
根据勾股定理求出AB的值，进而即可得出答案．
【详解】解：如图，在Rt△ABC中，BC=2×2.5=5cm，AC=12cm
根据勾股定理得AB=❑√AC2+BC2=❑√122+52=13
∴h=18−13=5(cm)．
23．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（门槛）一尺，不合四寸，问门广几何？其大意：如图，推开双门（大小相同），双门间隙CD=4寸，点
C、点D与门槛AB的距离CE=DF=1尺（1尺=10寸），O是EF的中点，连接CO．
(1)求CO的长，
(2)求门槛AB的长．
【答案】(1)2❑√26
(2)52
1 1
【分析】（1）根据题意得到OE=OF= EF= CD=2，然后根据勾股定理求解即
2 2
可；
（2）由题意可得AC=AO，设AE=x，则AC=AO=x+2，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：∵O是EF的中点
1 1
∴OE=OF= EF= CD=2
2 2
∵CE⊥OE
∴CO=❑√CE2+OE2=❑√102+22=2❑√26；
（2）设AE=x，则AC=AO=x+2．
∵AE2+CE2=AC2， CE=DF=1尺=10寸
∴x2+102=(x+2) 2
解得：x=24
∴AB=24+24+4=52．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，弄清题意，构建直角三角形是解题关键．
【题型6 解决航海问题】
24．如图，灯塔A位于海岛O的北偏西40°方向，且相距24nmile，一艘船从海岛O出发，
以32nmile/h的速度沿北偏东α❑∘方向航行，经过1小时到达B处，此时A，B相距
40nmile，求α的值．【答案】50°
【分析】本题考查了勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理得出△AOB是直
角三角形解答．根据勾股定理的逆定理得出△AOB是直角三角形，进而解答即可．
【详解】解：由题意可得：OA=24nmile，OB=32nmile，AB=40nmile，
∠AOP=40°，
∵OA2=242=576，OB2=322=1024，AB2=402=1600，
∴OA2+OB2=AB2，
∴△AOB是直角三角形，
∴∠AOB=90°，
∴α=∠BOP=90°−40°=50°．
25．在A岛上有一个观测站，上午8时观测站发现在A岛正北方7海里C处有一艘船向正东
方向航行，上午10时，该船到达距A岛25海里的B岛，且AC⊥BC，求该船的航行
速度．
【答案】该船的航行速度为12海里/时
【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意易得
AC=7海里，AB=25海里，然后根据勾股定理可得BC=❑√AB2−AC2=24海里，进
而问题可求解．
【详解】解：由题意得，AC=7海里，AB=25海里，
在Rt△ABC中，BC=❑√AB2−AC2=24海里，
∵航行了2小时，
∴船航行的速度=24÷2=12海里/时．答：该船的航行速度为12海里/时．
26．小王与小林进行遥控赛车游戏，小王的赛车从点C出发，以4m/s的速度由西向东行驶，
同时小林的赛车从点B出发，以3m/s的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的
距离小于或等于25m时，遥控信号会产生相互干扰，AC=40m，AB=30m．
(1)出发3s时，遥控信号是否会产生相互干扰？
(2)出发几秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰？
【答案】(1)出发3s时，遥控信号不会产生相互干扰
(2)出发5秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰
【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据题意可得AC =40−12=28m，AB =30−9=21m，再根据勾股定理即可
1 1
求解．
（2）设出发t秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，根据题意列方程求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，出发3s时，CC =3×4=12m，BB =3×3=9m，
1 1
∵AC=40m，AB=30m，
∴AC =40−12=28m，AB =30−9=21m，
1 1
∴B C =❑√AC 2+AB 2=❑√282+212=❑√1225>❑√625=25，
1 1 1 1
∴出发3s时，遥控信号不会产生相互干扰．
（2）解：设出发t秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，
根据题意得，(40−4t) 2+(30−3t) 2=252，
解得：t=5，t=15（舍去），
∴出发5秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰．
27．如图，某海军正在进行军事演习，两艘军舰同时从港口O出发，一艘军舰以32海
里/时的航速沿正东方向航行，另一艘军舰以24海里/时的航速沿正北方向航行，10小
时后两艘军舰分别到达点A，B，此时要求两军舰沿AB航线相向而行．(1)求A,B两点之间的距离；
(2)若从港口O派一艘补给舰在AB航线上接应，求该轮船行驶的最短距离．
【答案】(1)400海里
(2)该轮船行驶的最短距离为192海里
【分析】本题考查了勾股定理的应用，垂线段最短，解题的关键是熟练运用勾股定理
解决问题．
（1）根据题意知，∠BOA=90°，根据“路程=速度×时间”分别得出
OA=320，OB=240，再根据勾股定理得AB=❑√OA2+OB2，代入数据计算即可；
（2）过点O作OC⊥AB于点C，根据垂线段最短，当该轮船的航线与OC重合时，
OC的长即为该轮船行驶的最短距离，利用等面积法求解即可．
【详解】（1）解：∵两艘轮船同时从港口O出发，一艘轮船以32海里/时的航速沿正
东方向航行，另一艘轮船以24海里/时的航速沿正北方向航行，10小时后两艘轮船分
别到达点A，B
∴∠BOA=90°，OA=32×10=320，OB=24×10=240，
∴AB=❑√OA2+OB2=❑√3202+2402=400，
答：A，B两点之间的距离为400海里．
（2）如图，过点O作OC⊥AB于点C，
当该轮船的航线与OC重合时，OC的长即为该轮船行驶的最短距离，
1 1
∵S = AB⋅OC= OA⋅OB，
△OAB 2 2OA⋅OB 240×320
∴OC= = =192，
AB 400
答：该轮船行驶的最短距离为192海里．
28．如图，海中有一小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B
点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达C点，这时测得小岛A在北偏东
30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？并说明理由．
（❑√3取1.7）
【答案】如果渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险，理由见解析
【分析】本题考查了勾股定理的应用，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，构建
直角三角形是解题的关键．过点A作AD⊥BC，垂足为D，则AD的长是点A到BC
的最短距离，根据题意可求得∠BAC=∠ABC=30°，从而得到CB=CA=12海里，
1
再根据30度所对直角边等于斜边的一半得到CD= AC=6海里，最后利用勾股定理
2
求得AD，即可判断．
【详解】解：如果渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险，
理由如下：过点A作AD⊥BC，垂足为D，则AD的长是点A到BC的最短距离，
由题意可知∠DAC=30°，∠DAB=60°，BC=12海里，
∴∠BAC=60°−30°=30°，∴∠ABC=90°−60°=30°，
∴∠BAC=∠ABC，
∴CB=CA=12海里，
∵∠DAC=30°，∠ADC=90°，
1 1
∴CD= AC= ×12=6海里，
2 2
∴在Rt△ACD中，由勾股定理得
AD=❑√122−62=6❑√3≈6×1.7=10.2>8，
∴渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险．
【题型7 求河宽】
29．如图，A，B两地之间被一座大山挡在中间，导致一直没有直通的公路，需要绕行C地，
严重阻碍了A，B两地间的区域经济发展．为促进区域经济发展，A，B两地准备通过
开挖隧道的方式修建一条直通AB两地的公路．已知AC=60km，BC=90km，
∠C=60°，求AB的长．（结果保留根号）
【答案】30❑√7km
【分析】本题考查直角三角形的性质、勾股定理的实际应用，过点A作AD⊥BC于
1
点D，根据直角三角形的性质可得∠CAD=30°，CD= AC=30km，从而可得
2
DB=60km，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：过点A作AD⊥BC于点D，
则∠ADC=∠ADB=90°，
∵∠C=60°，
∴∠CAD=30°，
1
∴CD= AC=30km，
2
∴DB=BC−CD=90−30=60km，在Rt△ADC中，AD=❑√602−302=30❑√3km，
在Rt△ADB中，AB=❑√(30❑√3) 2+602=30❑√7km．
30．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A处偏离欲到达地点B处
40m，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多10m．求该河的宽度BC的长．
【答案】75米
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个
直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2．设BC=x米，则
AC=(x+10)米，根据勾股定理得出(x+10) 2=402+x2，求出x=75即可得出答案．
【详解】解：根据题意可知：设BC=x米，则AC=(x+10)米，
在Rt△ABC中，∠B=90°，AC2=AB2+BC2，
即(x+10) 2=402+x2，
解得：x=75，
即BC=75米，
答．该河的宽度BC为75米．
31．如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得BC=60m，AC=20m．求A，B两点间的距离？
【答案】40❑√2
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，将实际问题转化成勾股定理问题成为解题
的关键．
根据题意直接运用勾股定理进行解答即可．
【详解】解：在Rt△ABC中，BC=60m,AC=20m.
根据勾股定理得：AB=❑√BC2−AC2=❑√602−202=40❑√2．
答：A,B两点间的距离为40❑√2．
32．如图，某渡船从点B处沿着与河岸垂直的路线AB横渡，由于受水流的影响，实际沿
着BC航行，上岸地点C与欲到达地点A相距70米，结果发现BC比河宽AB多10米．
(1)求该河的宽度AB；（两岸可近似看作平行）
(2)设实际航行时，速度为每秒5米，从C回到A时，速度为每秒4米，求航行总时间．
【答案】(1)AB=240米
(2)航行总时间为67.5秒
【分析】（1）根据题意可知△ABC为直角三角形，根据勾股定理就可求出直角边AB
的距离．
（2）根据时间=路程÷速度，求出行驶的时间即可．
【详解】（1）解：设AB=x米，则BC=(x+10)米，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得：
x2+702=(x+10) 2，
解得：x=240，
答：河宽240米．（2）解：(240+10)÷5=50（秒），
70÷4=17.5（秒），
50+17.5=67.5（秒），
答：航行总时间为67.5秒．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，列出方程是解题的关键．
【题型8 求台阶上地毯长度】
33．开学之际，为了欢迎同学们，学校打算在主楼前的楼梯上铺地毯．如图，这是一段楼
梯的侧面，它的高BC是3米，斜边AB是5米，则该段楼梯铺上地毯至少需要的长度
为 米．
【答案】7
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，以及利用平移可知地毯的长为AC+BC的和，
解题的关键是能熟练掌握勾股定理以及数形结合的方法；
先根据勾股定理求出AC的长，进而可得出结论．
【详解】解：△ABC是直角三角形，BC=3m，AB=5m，
∴AC=❑√AB2−BC2=4m，
∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为AC+BC=7m，
故答案为：7．
34．如图所示是一段楼梯，高BC是5米，斜边长AB是13米．如果在楼梯上铺地毯，每平
方米的地毯售价是150元，楼梯宽为2米．那么购买这种地毯至少需要
元．
【答案】5100
【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
根据勾股定理求出AC的长度，再计算出楼梯铺地毯的总长度，进而求出所铺地毯的面积，从而计算所需的费用即可．
【详解】解：在△ABC中，∠ACB=90°，BC=5米，AB=13米，
由勾股定理得，AC=❑√AB2−BC2=❑√132−52=12米，
在楼梯上铺地毯需要的长度为AC+BC=12+5=17米，
需要铺地毯的面积为17×2=34平方米
因此，购买这种地毯至少需要的费用为34×150=5100元，
故答案为：5100．
35．如图是台阶的示意图，已知每个台阶的宽度都是20cm，每个台阶的高度是15cm，则
A，B两点之间的距离是（ ）
A．160cm B．150cm C．155cm D．145cm
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，
难度不大．作出直角三角形后分别求得直角三角形的两直角边的长后即可利用勾股定
理求得斜边AB的长．
【详解】解：如图，
由题意得：AC=15×6=90cm,BC=20×6=120cm，
故AB=❑√AC2+BC2=150cm，
故选：B．
【题型9 判断汽车是否超速】
36．某条路规定小汽车的行驶速度不得超过80km/h．如图，一辆小汽车在这条路的直道上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，
测得小汽车与车速检测仪间的距离为50m．这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：
1m/s=3.6km/h）
【答案】没有超速
【分析】根据勾股定理，求得BC=40m，计算出速度，与限速比较解答即可．
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：在Rt△ABC中，AC=30m,AB=50m，
根据勾股定理可得BC=40m，
40
∴小汽车的速度为 =20(m/s)=20×3.6(km/h)=72(km/h)．
2
∵72km/h<80km/h，
∴这辆小汽车没有超速．
37．某条道路的限速规定：轿车速度不得超过70km/h．如图，一辆轿车在该道路上沿直线
行驶，某一时刻刚好行驶到距离路面检测仪A正前方30m的点C处．2s后，测得轿车
行驶到点B，与检测仪之间的距离为50m，这辆轿车是否违章？请说明理由．
【答案】这辆轿车违章，理由见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，先利用勾股定理求出BC的长，进而
求出汽车的速度，再与70比较即可得到结论．
【详解】解：这辆轿车违章，理由如下：
由题意得，AC=30m，AB=50m，∠ACB=90°，
∴BC=❑√AB2−AC2=40m，40
∴汽车的速度为 =20m/s=72km/h，
2
∵72>70，
∴这辆轿车违章．
38．超速行驶是引发交通事故的主要原因，上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路
段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100米的P处．
这时，一辆富康轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3
秒，并测得∠APO=60°，∠BPO=45°，试判断此车是否超过了每小时80千米的
限制速度？
【答案】此车超过每小时80千米的限制速度．
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，含30度角的直角三角形的性质，等腰
直角三角形的性质与判定等等，首先，根据在直角三角形BPO中，可得到
BO=PO=100米，，再根据在直角三角形APO中，可得到AO=100❑√3米，根据
AB=AO−BO可求得ABAB的长；再结合速度的计算方法，求出车的速度，然后将
车的速度与80千米/时进行比较，即可得到结论．
【详解】解：由题意知：PO=100米，∠APO=60°，∠BPO=45°，
在Rt△BPO中，∵∠BPO=45°，∠POB=90°，
∴BO=PO=100米，
在Rt△APO中，∵∠APO=60°，
∴∠OAP=30°，
∴AP=2OP=200米；
在Rt△APO中，由勾股定理得AO=❑√AP2−OP2=❑√2002−1002=100❑√3米，
∴AB=AO−BO=100❑√3−100≈73.2(米)，
∵从A处行驶到B处所用的时间为3秒，
∴速度为73.2÷3=24.4m/s =87.84km/h >80km/h，
∴此车超过80km/h的限制速度．【题型10 判断是否受台风影响】
40．台风使很多地区受到严重影响，某台风的风力影响半径为130km，即距离台风中心为
130km的区域都会受到台风的影响．如图，线段BC是台风中心从C市移动到B市的路
线，A是大型农场，且AB⊥AC．若A，B之间相距150km，A，C之间相距200km．
判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由．
【答案】农场A会受到台风的影响，理由见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理和三角形面积公式的应用，熟练掌握勾股定理求线
段长度、利用面积法求点到直线的距离是解题的关键．
先利用勾股定理求出BC的长度，再通过三角形面积公式求出A到BC的距离AD，最
后比较AD与台风影响半径130km的大小，判断农场A是否受影响．
【详解】解：农场A是否会受到台风的影响，理由如下：
过点A作AD⊥BC于D．
∵AB⊥AC AB=150km AC=200km
， ， ，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得
BC=❑√AB2+AC2
=❑√1502+2002
=❑√22500+40000
=250km，
1 1
∵S = AB⋅AC= BC⋅AD，
△ABC 2 2
1 1
∴ ×150×200= ×250×AD，
2 2
解得AD=120km，
∵120<130，∴农场A会受到台风的影响．
41．我国大部分东部地区属于亚热带季风气候，夏季炎热多雨．如图，A城气象台测得台
风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向
移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域．若A城到BF的距离为
160km，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？
【答案】遭受台风影响的时间是6小时
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用和等腰三角形的性质，设BF上点D，G，使
AD=AG=200千米，作AC⊥BF，则C是DG的中点，在Rt△ADC中，解出CD的
长，则可求DG长，在DG长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距离的关系则可
求时间．
【详解】解：设BF上点D，G，使AD=AG=200千米，
∴△ADG
是等腰三角形，
作AC⊥BF，
∴AC是DG的垂直平分线，
∴CD=GC，
在Rt△ADC中，DA=200千米，AC=160千米，由勾股定理得，
CD=❑√AD2−AC2=❑√2002−1602=120（千米），
则DG=2DC=240千米，
遭受台风影响的时间是：t=240÷40=6（小时）．
42．广东省7∼9月份是台风登陆的高频季节，在这期间，西太平洋和南海海域水温较高，
大气不稳定，热带扰动容易发展成台风，且此时副热带高压位置偏北，引导气流使台风更容易向广东沿海移动．如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向
340km的B处有一台风中心，沿BC方向以20km/h的速度移动，已知城市A到BC的
距离AD为160km．
(1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？
(2)如果在距台风中心200km的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影
响的时间持续多少小时？
【答案】(1)台风中心经过15h从B点移到D点
(2)A市受到台风影响的时间持续12h
【详解】（1）解：由题意可知，AD⊥BC，AB=340km，AD=160km，
∴BD=❑√AB2−AD2=❑√3402−1602=300km，
∵300÷20=15，
∴台风中心经过15h从B点移到D点；
（2）解：在射线BC上取点E，F，使得AE=AF=200km，
由AD⊥BC得DE=DF，
在Rt△AEF中，ED=❑√AE2−AD2=❑√2002−1602=120km，
∴EF=2ED=240km，
∴t=240÷20=12h，
∴A市受到台风影响的时间持续12h．43．如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°． 点A处有一栋居民楼，
AP=160m． 假设一拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶，周围100m以内（包括
100m）会受到噪声的影响．
(1)该居民楼是否会受到噪声的影响？请说明理由．
(2)若受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，则居民楼受到影响的时间有多长？
【答案】(1)该居民楼会受到噪声的影响，理由见解析
(2)24s
【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，三线合一，熟练掌握含
30度角的直角三角形的性质，是解题的关键：
（1）作AB⊥PN，根据含30度角的直角三角形的性质，求出AB的长，进行判断即
可；
（2）以A为圆心，100m为半径画弧，交PN于点C,D，三线合一结合勾股定理求出
CD的长，再除以速度，求出时间即可．
【详解】（1）解：该居民楼会受到噪声的影响，理由如下：
作AB⊥PN，则：∠ABP=90°，
∵∠QPN=30°，AP=160m，
1
∴AB= AP=80m，
2
∵80<100，
∴该居民楼会受到噪声的影响；
（2）以A为圆心，100m为半径画弧，交PN于点C,D，则：AC=AD=100m，∵AB⊥PN，
∴CD=2BC，BC=❑√AC2−AB2=60m，
∴CD=120m，
∵18km/h=5m/s，
∴120÷5=24s；
答：居民楼受到影响的时间有24s．
【题型11 选址使到两地距离相等】
44．如下图，在笔直的公路旁边有A，B两个村庄，村庄A到公路的距离AC=8km，村庄
B到公路的距离BD=14km，测得C，D两点之间的距离为20km．现要在C，D两点
之间建一个服务区E，使得A，B两个村庄到服务区E的距离相等，求CE的长．
【答案】13.3km
【分析】设CE的长为未知数，利用C、D间的距离表示出DE的长；再分别在
Rt△ACE和Rt△BDE中，用勾股定理表示AE2和BE2；结合AE=BE的条件列方程，
求解未知数得到CE的长．
【详解】解：设CE=xkm，则DE=(20−x)km．
在Rt△ACE中，由勾股定理，得AE2=AC2+CE2．
在Rt△BDE中，由勾股定理，得BE2=BD2+DE2．
由题意，得AE=BE，
∴AC2+CE2=BD2+DE2，
∴82+x2=142+(20−x) 2，解得x=13.3，
∴CE的长为13.3km．
【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，掌握通过设未知数，利用勾股定理表示线
段长度的平方，结合等量关系列方程求解是解题的关键．
45．如图，公路上A,B两点相距50km,C,D为两村庄，DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B．已知DA=30km,CB=20km，现在要在公路AB上建一个土特产市场E，使得
C,D两村庄到市场E的距离相等．市场E应建在距A点多少千米处？
【答案】市场E应建在距A点20km的位置
【分析】可以设AE=x，则BE=50−x，在直角△ADE中根据勾股定理可以求得
DE，在直角△BCE中根据勾股定理可以求得CE，根据CE=DE，即可求得AE的值．
【详解】解：设AE=xkm，则BE=(50−x)km．
在Rt△ADE中，DE2=302+x2；
在Rt△CBE中，CE2=202+(50−x) 2．
由题意得302+x2=202+(50−x) 2，
解得x=20，即AE=20km．
故市场E应建在距A点20km的位置．
【点睛】本题考查了勾股定理，正确的运算是解题的关键．
【题型12 求最短路径】
46．如图，圆柱的底面周长为24cm，高AB为5cm，BC是上底面的直径，一只蚂蚁从点A
出发，沿侧面爬行到点C，则爬行的最短路程为（ ）
A．29cm B．17cm C．13cm D．❑√601cm
【答案】C
【分析】本题考查了圆柱的侧面展开图，勾股定理等知识，将侧面展开，构造直角三
角形是解题的关键．将圆柱体侧面展开，利用勾股定理求出AC的长即可．
【详解】解：如图为圆柱体的侧面展开图，∵ 24cm
圆柱体的底面周长为 ，
1
∴半周长为24× =12cm，
2
又∵AB=5cm，
∴AC=❑√52+122=13cm，
∴沿着圆柱的侧面爬行到点C，蚂蚁爬行的最短路程是13cm．
故选：C．
47．如图所示的示意图是滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉
32
一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为 米的半圆，AB=CD=16
π
米，点E在CD上，CE=4米．若一名滑板爱好者从点A滑到点E，则他滑行的最短
距离为（ ）
A．18米 B．20米 C．30米 D．2❑√305米
【答案】B
【分析】本题考查了平面展开−最短路径问题．要求滑行的最短距离，需将该U型池
的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，U型池的侧面展开图是一个
16
长方形，此长方形的宽等于半径为 的半圆的弧长，长方形的长等于AB=CD=16，
π
再根据勾股定理进行解答即可．
【详解】解：如图是其侧面展开图：
1 32
AD= ×π× =16（米），AB=CD=16（米），DE=CD−CE=16−4=12
2 π（米），
在Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，
∴162+122=AE2，
解得AE=20（负值舍去），
故他滑行的最短距离为20米．
故选：B．
48．如图，若正方体盒子的棱长为2，M为BC的中点，则一只蚂蚁从M点沿盒子的表面爬
行到A点的最短距离为（ ）
A．3 B．❑√13 C．❑√15 D．❑√17
【答案】B
【分析】本题考查了两点之间线段最短、正方体的展开图、勾股定理等知识，先利用
展开图确定最短路径，再由勾股定理求解即可，牢记相关概念和灵活应用是解题的关
键．
【详解】解：如图，蚂蚁沿路线AM爬行路程最短，
∵BC=2 ，M为BC的中点，
∴MD=3，AD=2，∴AM=❑√32+22=❑√13 ．
故选：B．
49．如图，在底面周长约为6m的圆柱花柱上，有一串装饰彩灯从柱底点A处沿花柱表面均
匀地盘绕2圈到达柱顶点C，且B为AC的中点．已知装饰彩灯部分的柱高约16m，则
这串装饰彩灯至少长为（ ）
A．20m B．16m C．24m D．32m
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根
据题意把圆柱体的侧面展开，根据勾股定理求出每圈灯的长度，最后乘2即可得到答
案．
【详解】解：如图，根据题意把圆柱体的侧面展开，
1
由条件可知BF=6米，BE=BD= DE=8米，
2
∴ EF=❑√BF2+BE2=❑√62+82=10（米)，
则这串装饰彩灯至少长为10×2=20米．
故选：A．
50．如图，长方体的上下底面是正方形，底面边长为3cm，高为10cm．在其侧面从顶点A
开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至顶点B停止，则彩条的长度最短为（ ）A．24cm B．25cm C．26cm D．27cm
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理，长方体侧面展开图，两点之间，线段最短等知识．根
据题意画出长方体侧面展开图，作点A关于CD的对称点F，连接BF，交CD于E，连
接AE，则AE=EF，得到彩条最短长度为AE+BE=BF．根据勾股定理求出BF的长
即可得答案．
【详解】解：如图，
长方形ABCD为长方体侧面展开图，则AC=BD=3×4=12cm，AB=10cm，
作点A关于CD的对称点F，连接BF，交CD于E，连接AE，则AE=EF，
AF=2AC=24cm，
∴彩条最短长度为AE+BE=EF+BE=BF，
在Rt△ABF中，BF=❑√AF2+AB2=❑√242+102=26cm．
故选：C．
51．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为7cm，底面周长为10cm，在容
器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器
上沿2cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ）A．❑√29 B．3❑√10 C．❑√41 D．❑√61
【答案】D
【分析】本题考查了轴对称，勾股定理，圆柱的展开图，两点之间线段最短，熟练掌
握轴对称，勾股定理是解题的关键．
把圆柱侧面展开，作点A关于EQ的对称点C，过点C作CD⊥NQ交NQ的延长线于
点D，连接BC交EQ于点F，根据两点之间线段最短，可知最短路径为BC，最后利
用勾股定理解答即可．
【详解】解：将圆柱侧面展开，作点A关于EQ的对称点C，过点C作CD⊥NQ交
NQ的延长线于点D，连接BC交EQ于点F，如图所示：
∴AF=CF AE=CE
， ，
∴蚂蚁吃到饭粒的路径为AE+BF=CF+BF=BC，此时路径最短，
∵透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为7cm，底面周长为10cm，在容器内
壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿
2cm的点A处，
1
∴ AE=CE=2cm，MN=EQ=CD= ×10=5cm，BN=3cm，QN=7cm，
2
∴BQ=QN−BN=7−3=4cm，
∵∠D=90°，
∴ BC=❑√CD2+BD2=❑√52+(4+2) 2=❑√61cm．
∴蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是❑√61cm．故选：D．
52．如图，是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是100cm,15cm和10cm，A、B
是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想去B点吃可口的食物，则蚂蚁沿
台阶爬行到B点的最短距离是 ．
【答案】125cm
【分析】本题考查平面展开—最短距离问题，勾股定理的应用，利用勾股定理计算是
解题的关键
根据两点之间线段最短得到蚂蚁所走的最短路线长度，把立体几何中的问题转化为平
面几何中的问题即可．
【详解】解：展开图为：
则AC=100，BC=15×3+10×3=75，
在Rt△ABC中，AB=❑√AC2+BC2=❑√1002+752=125(cm)，
∴蚂蚁沿台阶爬行到B点的最短距离是125cm．
故答案为：125cm．
【题型13 折叠问题】
56．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边长AC=6cm，BC=8cm，将△ABC折叠，
使点B与点A重合，折痕为DE，则CD等于（ ）25 22 7 5
A． cm B． cm C． cm D． cm
4 3 4 3
【答案】C
【分析】本题主要考查了翻折的性质，勾股定理，解一元一次方程，解题的关键是掌
握以上性质．
根据翻折的性质得出AD=BD，假设AD=BD=x，表示出相关线段的长度，利用勾
股定理列出方程，求解即可．
【详解】解：根据翻折的性质得，AD=BD，
假设AD=BD=xcm，则CD=BC−BD=(8−x)cm，
根据勾股定理得CD2+AC2=AD2，
即(8−x) 2+36=x2，
25
解得x= ，
4
25 7
∴CD=8− = cm，
4 4
故选：C．
57．如图，在△ABC中，∠ACB=90°,AC=8,BC=6．将△ADE沿DE翻折，使点A与
点B重合，则CE的长是（ ）
7 7 7 7
A． B． C． D．
3 4 5 2
【答案】B
【分析】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理以及图形折叠的性质等知识点，解
题的关键在于利用折叠性质确定线段相等关系，并结合勾股定理建立方程求解未知数，7
通过设CE=x，利用AE=BE和勾股定理构建等式(8−x) 2=62+x2，进而解得x= ．
4
【详解】解： 设CE=x，
∵AC=8，
∴AE=AC−CE=8−x，
∵ △ADE沿DE翻折，点A与点B重合，
∴BE=AE=8−x，
在Rt△BCE中，∠C=90°，BC=6，
∴BE2=BC2+CE2，即(8−x) 2=62+x2，
7
解得x= ．
4
故选：B．
58．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D在BC上，将△ABC沿
AD折叠，使点C落在AB上的点E处．设BD=x，则可得方程（ ）
A．x2=(8−x) 2+62 B．x2=(8−x) 2+42
C．x=8−x+4 D．x2=62+82
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，先由勾股定理求出AB的长，再由折
叠的性质得到DE=DC，AE=AC=6，据此求出BE的长，再在Rt△BDE利用勾股
定理可建立方程，据此可得答案．
【详解】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=❑√AC2+BC2=10，
由折叠的性质可得DE=DC，AE=AC=6，
∴BE=AB−AE=4，
设BD=x，则DE=DC=BC−BD=8−x，在Rt△BDE中，由勾股定理得BD2=DE2+BE2，
∴x2=(8−x) 2+42，
故选：B．
59．如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=4，将△ABC沿AC折叠，点B落在B′处，
AD与B′C交于E，则CE的长为（ ）
13 7 25 16
A． B． C． D．
4 2 8 5
【答案】C
【分析】先根据翻折变换的性质得出AB=AB′=3，BC=B′C=4，再由AAS得出
△CDE≌△AB′E，则AE=CE，DE=B′E，设CE=x，则DE=4−x，再利用勾股
定理求出x的值即可．
【详解】解：∵长方形ABCD中，AB=3，BC=4，
∴CD=AB=3，BC=AD=4，∠B=∠D=90°，
∵将△ABC沿AC折叠，点B落在B′处，AD与B′C交于E，
∴AB=AB′=3，BC=B′C=4，
在△CDE与△AB′E中，
{
CD=AB′
)
∠D=∠B′ ，
∠CED=∠AEB′
∴△CDE≌△AB′E(AAS)，
∴AE=CE，DE=B′E，
设CE=x，则DE=4−x，
在Rt△CDE中，DE2+CD2=CE2，即(4−x) 2+32=x2，
25
解得x= ，
825
∴CE= ，
8
故选：C．
【点睛】本题考查的是翻折变换，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，
等腰三角形的判定与性质，熟知以上知识是解题的关键．
1．如图，有一个圆柱形的礼盒，上下底面圆上有相对的A，B两点，现要用一条丝带装饰
礼盒，丝带沿侧面缠绕礼盒一圈，并且经过A，B两点．若礼盒高10cm，底面圆的周
长为48cm，那么需要丝带的长度最少为 cm．
【答案】52
【分析】本题考查了圆柱体的展开图和勾股定理的应用，准确的计算是解决本题的关
键．将圆柱体展开如图，点A为展开图长方形一边的中点，BC为底面圆周长的一半，
再运用勾股定理求出AB即可得到解答．
【详解】解：将圆柱体展开如图，点A为展开图长方形一边的中点，BC为底面圆周长
的一半，
∴BC=24cm，
在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，
∴AB=❑√AC2+BC2=❑√102+242=26cm，
∴需要丝带的长度最少为26×2=52cm．
故答案为：52．
2．在一个长为5米、宽为3米的长方形草地ABCD上，放着一个正三棱柱木块（如图），它的侧棱平行于AD，木块的主视图是边长为1米的正三角形．一只蚂蚁从点A处到点
C处需要走的最短路程是 米．
【答案】3❑√5
【分析】本题主要考查勾股定理的应用，根据题意将木块展开，再利用两点之间线段
最短是解题关键．
如图，将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长，长方形的长为
5+1=6米，因为长方形的宽为3米，一只蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程是对
角线AC，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，
将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长，
∴长方形的长为5+1=6米，
∵长方形的宽为3米，
∴一只蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程是对角线AC，
∴ AC=❑√AB2+BC2=❑√62+32=3❑√5米，
故答案为：3❑√5．
3．如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向260km的B处有一台风中心，沿BC方向
以15km/h的速度移动，已知城市A到BC的距离AD=100km．已知在距台风中心
30km的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点D的工作人员早上6:00接到台
风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在 时间段内做
预防工作．【答案】20:00∼24:00
【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意是解答的关键．根据勾股定理求得BD
的长，进而分别求得台风开始影响到台风结束影响时的时间，然后可求解．
【详解】解：由题意，AB=260km，AD=100km，∠ADB=90°，
∴BD=❑√AB2−AD2=❑√2602−1002=240(km)，
∵距台风中心30km的圆形区域内都会受到不同程度的影响，且台风速度为15km/h，
∴台风开始影响点D的时刻为6+(240−30)÷15=20（时），
台风结束影响点D的时间为6+(240+30)÷15=24（时），
故台风开始影响到台风结束影响，则他们要在20:00∼24:00时间段内做预防工作，
故答案为：20:00∼24:00．
4．如图，将一根长30cm的玻璃棒，放在底面直径为10cm，高为24cm的圆柱形水杯中，
设玻璃棒露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是 ．
【答案】4≤h≤6
【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意易得当玻
璃棒斜靠在杯子的边缘时，漏出杯子外面的长度最短，然后利用勾股定理可进行求解．
【详解】解：由题意得：当玻璃棒斜靠在杯子的边缘时，漏出杯子外面的长度最短，
最短为h=30−❑√102+242=30−26=4cm；
当玻璃棒垂直杯子底面时，漏出杯子外面的长度最长，最长为h=30−24=6cm；∴h的取值范围是4≤h≤6；
故答案为4≤h≤6．
5．消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图
2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长
至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离OA为15米，完成B处的救援后，消防员
发现在B处的上方4米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防
车从A处向着火的楼房靠近移动到C，请问AC= 米．
【答案】8
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．在Rt△OAB中，
根据勾股定理求出OB的长，在Rt△OCD中，由勾股定理求出OC的长，利用
AC=OA−OC即可得出结论．
【详解】解：在Rt△OAB中，
∵AB=25米，OA=15米，
∴ OB=❑√AB2−OA2=❑√252−152=20（米)，
∵CD=25米，BD=4米，
∴ OD=OB+BD=20+4=24（米)，
∴ OC=❑√CD2−OD2=❑√252−242=7（米)，
∴AC=OA−OC=15−7=8（米)．
故答案为：8．
