文档内容
专题 03 一元二次方程的实际应用
【思维导图】
◎题型1：传播问题
技巧：公式a(1+x)n=M 其中a为传染源（一般a=1），n为传染轮数，M为最后得病总人数
例．（2022·福建省福州屏东中学八年级期末）新冠疫情牵动人心，若有一人感染了新冠，在每轮传染中平
均一个人可以传染 个人，经过两轮传染后共有400人感染，列出的方程是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022·浙江杭州·八年级期中）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球
却持续蔓延，此肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人患
新冠肺炎，设每轮传染中平均每个人传染了x人，则根据题意可列出方程（ ）
A．x（1＋x）＝256 B．x＋（1＋x）2＝256
C．x＋x（1＋x）＝256 D．1＋x＋x（1＋x）＝256
变式2．（2021·广东湛江·九年级期末）有一人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎．
(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
变式3．（2021·宁夏·吴忠市利通区扁担沟中心学校九年级期中）新冠肺炎是一种传染性很强的疾病．如果
某镇有一人不幸成为新冠肺炎病毒的携带者，假设每轮传染的人数相同，经过两轮传染后共有169人成为
新冠病毒的携带者．(1)每个人每轮传染多少人？
(2)若不控制传染渠道，经过三轮传染，共有多少人成为新冠病毒的携带者？
◎题型2：平均增长率问题
技巧：b=a(1±x)n ， n为增长或降低次数 , b为最后产量，a为基数，x为平均增长率或降
低率
例．（2020·江苏无锡·九年级期中）某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然
爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增．为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平
均日产量达到24200个．则口罩日产量的月平均增长率为（ ）
A．8% B．10% C．15% D．20%
变式1．（2022·云南红河·九年级期末）杨倩在东京奥运会女子10米气步枪决赛中夺得冠军，为中国代表
团揽入首枚金牌，随后杨倩同款“小黄鸭”发卡在电商平台上爆单．该款发卡在某电商平台上7月24日的
销量为5000个，7月25日和7月26日的总销量是30000个．若7月25日和26日较前一天的增长率均为
x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
变式2．（2021·广西南宁·九年级期中）某工厂为了提高市场竞争力不断改进设备，2018年在改进设备方
面投入的资金是100万元，2020年投入的资金是121万元，且从2018年到2020年每年投入资金的年平均
增长率相同.
(1)求该工厂在改进设备方面投入资金的年平均增长率；
(2)若投入资金的年平均增长率不变，那么该厂在2021年需投入多少万元？
变式3．（2021·四川成都·九年级期中）某商场于今年年初以每件40元的进价购进一批商品．当商品售价
为60元时，一月份销售64件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月
底的销售量达到100件．设二、三这两个月月平均增长率不变．
(1)求二、三这两个月的月平均增长率；
(2)从四月份起，商场决定采用降价促销，经调查发现，该商品每降价2元，销售量增加20件，为尽可能
让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售，商场获利2240元?
◎题型3：形积问题
技巧：根据图形的性质和面积公式，联系一元二次方程的根，注意涉及到面积的和差，切勿
混淆！
例．（2020·陕西商洛·九年级期末）如图，一农户要建议个矩形花圃，花圃的一边利用长为12 m的墙，另外三边用25 m长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边留一个1 m宽的门，花圃面积为80 m2，
设于墙垂直的一边长为x m，则可以列出方程是（ ）
A．x（26－2x）＝80 B．x（24－2x）＝80
C．（x－1）（26－2x）＝80 D．x（25－2x）＝80
变式1．（2022·浙江·衢州市实验学校教育集团（衢州学院附属学校教育集团）八年级期中）如图，在一幅
长80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周，镶一条宽度相等的金色纸边制成矩形挂图，如果要使整个挂图
的面积为 cm2，设金色纸边的宽为x cm，则可列方程（ ）．
A． B．
C． D．
变式2．（2022·江苏淮安·九年级期末）用一段长为30m的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，墙的长度为
18m．
(1)设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为 m（用含x的代数式表示）；
(2)若菜园的面积为100m2，求x的值．
变式3．（2022·湖南长沙·八年级期末）某农户要利用一面25m长的墙建一个长方形的养鸡场，一边靠墙，
另三边用木栅栏围成，木栅栏长40m．(1)鸡场的面积能达到 吗？如果能，求出与墙平行的边的长；
(2)鸡场的面积能达到 吗？为什么？
◎题型4：数字问题
技巧：注意个位和十位数字的表示，特别是涉及到互换位置的时候，根据题意直接列出方程
即可！
例．（2022·全国·九年级专题练习）两个连续奇数的积为323，设其中较小的一个奇数为x，可得方程（
）
A． B．
C． D．
变式1．（2019·全国·九年级）若两个连续奇数的积为63，则这两个数的和为（ ）
A．16 B．17 C． D．
变式2．（2022·全国·九年级专题练习）2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用小
方框圈出四个数（如图所示），圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积能否为33或65，若能求出最小
数：若不能请说明理由．
变式3．（2022·全国·九年级课时练习）解读诗词 通过列方程算出周瑜去世时的年龄 ：大江东去浪淘尽，
千古风流数人物，而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得
快，多少年华属周瑜？诗词大意：周瑜三十岁当东吴都督，去世时的年龄是两位数，十位数字比个位数字
小三，个位数字的平方等于他去世时的年龄．
◎题型5：商品销售问题
技巧：销售总额＝单件售价×数量总利润：单件利润×数量＝（售价－进价）×数量
利润＝成本×利润率
例．（2022·安徽合肥·八年级期末）某超市销售一种商品，其进价为每千克30元，按每千克45元出售，
每天可售出300千克，为让利于民，超市采取降价措施，当售价每千克降低1元时，每天销量可增加50千
克，若每天的利润要达到5500元，则实际售价应定为多少元？设售价每千克降低x元，可列方程为（
）
A．（45-30-x）（300+50x）=5500 B．（x-30）（300+50x）=5500
C．（x-30）[300+50（x-45）]=5500 D．（45-x）（300+50x）=5500
变式1．（2022·浙江宁波·八年级期中）某海鲜市场以每千克10元的进价进了一批螃蟹，经市场调研发现：
售价为每千克20元时，每天可销售40千克．售价每上涨1元，每天的销量将减少3千克．如果该海鲜市
场想平均每天获利408元，设这种螃蟹的售价上涨了x元，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
变式2．（2022·云南大理·九年级期末）某商场品牌童装每件进价 元，售价 元，平均每天可售出
件，为了迎接“元旦”商场采取了促销活动，增加盈利，尽快减少库存，经市场调查，若每件童装降价
元，平均每天就可多售出 件，要使某商场每天盈利 元，那么每件童装应降价多少元？
变式3．（2020·江西景德镇·九年级期中）由于新冠疫情的影响，口罩需求量急剧上升，经过连续两次价格
的上调，口罩的价格由每包10元涨到了每包14.4元，
(1)求出这两次价格上调的平均增长率；
(2)在有关部门调控下，口罩价格还是降到了每包10元，而且调查发现，定价为每包10元时，一天可以卖
出30包，每降价1元，可以多卖出5包，当销售额为315元时，且让顾客获得更大的优惠，应该降价多少
元？
◎题型6：动点几何问题
技巧：先把动点走过的路程用时间表示出来，再把剩余的路长用时间表示出来，根据题意列
方程！
例．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4cm，BC＝3cm，动点P，Q
分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为 cm/s，点Q的速度为1cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为 ，则点P运动的时间是（ ）
A．2s B．3s C．4s D．5s
变式1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在 中， ，点 从点
开始沿 边向点 以 的速度匀速移动，同时另一点 由 点开始以 的速度沿着射线 匀速
移动，当 的面积等于 时运动时间为（ ）
A． 秒 B． 秒 C． 秒 D． 秒或 秒
变式2．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝12 cm，BC＝6 cm．点P沿AB边从
点A开始向点B以2 cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动．如果点P，
Q同时出发，用t(s)表示移动的时间(0
