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专题 03 一元二次方程的实际应用
【思维导图】
◎题型1：传播问题
技巧：公式a(1+x)n=M 其中a为传染源（一般a=1），n为传染轮数，M为最后得病总人数
例．（2022·福建省福州屏东中学八年级期末）新冠疫情牵动人心，若有一人感染了新冠，在每轮传染中平
均一个人可以传染 个人，经过两轮传染后共有400人感染，列出的方程是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022·浙江杭州·八年级期中）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球
却持续蔓延，此肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人患
新冠肺炎，设每轮传染中平均每个人传染了x人，则根据题意可列出方程（ ）
A．x（1＋x）＝256 B．x＋（1＋x）2＝256
C．x＋x（1＋x）＝256 D．1＋x＋x（1＋x）＝256
变式2．（2021·广东湛江·九年级期末）有一人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎．
(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
变式3．（2021·宁夏·吴忠市利通区扁担沟中心学校九年级期中）新冠肺炎是一种传染性很强的疾病．如果
某镇有一人不幸成为新冠肺炎病毒的携带者，假设每轮传染的人数相同，经过两轮传染后共有169人成为
新冠病毒的携带者．(1)每个人每轮传染多少人？
(2)若不控制传染渠道，经过三轮传染，共有多少人成为新冠病毒的携带者？
◎题型2：平均增长率问题
技巧：b=a(1±x)n ， n为增长或降低次数 , b为最后产量，a为基数，x为平均增长率或降
低率
例．（2020·江苏无锡·九年级期中）某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然
爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增．为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平
均日产量达到24200个．则口罩日产量的月平均增长率为（ ）
A．8% B．10% C．15% D．20%
变式1．（2022·云南红河·九年级期末）杨倩在东京奥运会女子10米气步枪决赛中夺得冠军，为中国代表
团揽入首枚金牌，随后杨倩同款“小黄鸭”发卡在电商平台上爆单．该款发卡在某电商平台上7月24日的
销量为5000个，7月25日和7月26日的总销量是30000个．若7月25日和26日较前一天的增长率均为
x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
变式2．（2021·广西南宁·九年级期中）某工厂为了提高市场竞争力不断改进设备，2018年在改进设备方
面投入的资金是100万元，2020年投入的资金是121万元，且从2018年到2020年每年投入资金的年平均
增长率相同.
(1)求该工厂在改进设备方面投入资金的年平均增长率；
(2)若投入资金的年平均增长率不变，那么该厂在2021年需投入多少万元？
变式3．（2021·四川成都·九年级期中）某商场于今年年初以每件40元的进价购进一批商品．当商品售价
为60元时，一月份销售64件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月
底的销售量达到100件．设二、三这两个月月平均增长率不变．
(1)求二、三这两个月的月平均增长率；
(2)从四月份起，商场决定采用降价促销，经调查发现，该商品每降价2元，销售量增加20件，为尽可能
让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售，商场获利2240元?
◎题型3：形积问题
技巧：根据图形的性质和面积公式，联系一元二次方程的根，注意涉及到面积的和差，切勿
混淆！
例．（2020·陕西商洛·九年级期末）如图，一农户要建议个矩形花圃，花圃的一边利用长为12 m的墙，另外三边用25 m长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边留一个1 m宽的门，花圃面积为80 m2，
设于墙垂直的一边长为x m，则可以列出方程是（ ）
A．x（26－2x）＝80 B．x（24－2x）＝80
C．（x－1）（26－2x）＝80 D．x（25－2x）＝80
变式1．（2022·浙江·衢州市实验学校教育集团（衢州学院附属学校教育集团）八年级期中）如图，在一幅
长80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周，镶一条宽度相等的金色纸边制成矩形挂图，如果要使整个挂图
的面积为 cm2，设金色纸边的宽为x cm，则可列方程（ ）．
A． B．
C． D．
变式2．（2022·江苏淮安·九年级期末）用一段长为30m的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，墙的长度为
18m．
(1)设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为 m（用含x的代数式表示）；
(2)若菜园的面积为100m2，求x的值．
变式3．（2022·湖南长沙·八年级期末）某农户要利用一面25m长的墙建一个长方形的养鸡场，一边靠墙，
另三边用木栅栏围成，木栅栏长40m．(1)鸡场的面积能达到 吗？如果能，求出与墙平行的边的长；
(2)鸡场的面积能达到 吗？为什么？
◎题型4：数字问题
技巧：注意个位和十位数字的表示，特别是涉及到互换位置的时候，根据题意直接列出方程
即可！
例．（2022·全国·九年级专题练习）两个连续奇数的积为323，设其中较小的一个奇数为x，可得方程（
）
A． B．
C． D．
变式1．（2019·全国·九年级）若两个连续奇数的积为63，则这两个数的和为（ ）
A．16 B．17 C． D．
变式2．（2022·全国·九年级专题练习）2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用小
方框圈出四个数（如图所示），圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积能否为33或65，若能求出最小
数：若不能请说明理由．
变式3．（2022·全国·九年级课时练习）解读诗词 通过列方程算出周瑜去世时的年龄 ：大江东去浪淘尽，
千古风流数人物，而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得
快，多少年华属周瑜？诗词大意：周瑜三十岁当东吴都督，去世时的年龄是两位数，十位数字比个位数字
小三，个位数字的平方等于他去世时的年龄．
◎题型5：商品销售问题
技巧：销售总额＝单件售价×数量总利润：单件利润×数量＝（售价－进价）×数量
利润＝成本×利润率
例．（2022·安徽合肥·八年级期末）某超市销售一种商品，其进价为每千克30元，按每千克45元出售，
每天可售出300千克，为让利于民，超市采取降价措施，当售价每千克降低1元时，每天销量可增加50千
克，若每天的利润要达到5500元，则实际售价应定为多少元？设售价每千克降低x元，可列方程为（
）
A．（45-30-x）（300+50x）=5500 B．（x-30）（300+50x）=5500
C．（x-30）[300+50（x-45）]=5500 D．（45-x）（300+50x）=5500
变式1．（2022·浙江宁波·八年级期中）某海鲜市场以每千克10元的进价进了一批螃蟹，经市场调研发现：
售价为每千克20元时，每天可销售40千克．售价每上涨1元，每天的销量将减少3千克．如果该海鲜市
场想平均每天获利408元，设这种螃蟹的售价上涨了x元，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
变式2．（2022·云南大理·九年级期末）某商场品牌童装每件进价 元，售价 元，平均每天可售出
件，为了迎接“元旦”商场采取了促销活动，增加盈利，尽快减少库存，经市场调查，若每件童装降价
元，平均每天就可多售出 件，要使某商场每天盈利 元，那么每件童装应降价多少元？
变式3．（2020·江西景德镇·九年级期中）由于新冠疫情的影响，口罩需求量急剧上升，经过连续两次价格
的上调，口罩的价格由每包10元涨到了每包14.4元，
(1)求出这两次价格上调的平均增长率；
(2)在有关部门调控下，口罩价格还是降到了每包10元，而且调查发现，定价为每包10元时，一天可以卖
出30包，每降价1元，可以多卖出5包，当销售额为315元时，且让顾客获得更大的优惠，应该降价多少
元？
◎题型6：动点几何问题
技巧：先把动点走过的路程用时间表示出来，再把剩余的路长用时间表示出来，根据题意列
方程！
例．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4cm，BC＝3cm，动点P，Q
分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为 cm/s，点Q的速度为1cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为 ，则点P运动的时间是（ ）
A．2s B．3s C．4s D．5s
变式1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在 中， ，点 从点
开始沿 边向点 以 的速度匀速移动，同时另一点 由 点开始以 的速度沿着射线 匀速
移动，当 的面积等于 时运动时间为（ ）
A． 秒 B． 秒 C． 秒 D． 秒或 秒
变式2．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝12 cm，BC＝6 cm．点P沿AB边从
点A开始向点B以2 cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动．如果点P，
Q同时出发，用t(s)表示移动的时间(0<t<6)，那么当t为何值时，△QAP的面积等于8 cm2?
变式3．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发沿
AB以1cm/s的速度向点B运动，同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C运动．设运动时间为
xs．（1）若 ，求 的值；
（2）若 的面积为 ，求 的值．
◎题型7：工程问题
例．（2022·全国·九年级专题练习）“端午临中夏，时清日复长”．临近端午节，一网红门店接到一批
3200袋粽子的订单，决定由甲、乙两组共同完成．已知甲组3天加工的粽子数比乙组2天加工的粽子数多
300袋．两组同时开工，甲组原计划加工10天、乙组原计划加工8天就能完成订单．
(1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽子；
(2)两组人员同时开工2天后，临时又增加了500袋的任务，甲组人员从第3天起提高了工作效率，乙组的
工作效率不变．经估计，若甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成
任务．已知甲、乙两组加工的天数均为整数，求提高工作效率后，甲组平均每天能加工多少袋粽子？
变式1．（2022·重庆十八中两江实验中学一模）某公司主营铁路建设施工．
(1)原计划今年一季度施工里程包括平地施工，隧道施工和桥梁施工共146千米，其中平地施工106千米，
隧道施工至少是桥梁施工的9倍，那么，原计划今年一季度，桥梁施工最多是多少千米？
(2)到今年3月底，施工里程刚好按原计划完成，且桥梁施工的里程数正好是原计划的最大值，已知一季度
平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本之比1：3：10，总成本为254亿元，预计二季度平地施工里
程会减少7a千米，隧道施工里程会减少2a千米，桥梁施工里程会增加a千米，其中平地施工，隧道施工
每千米的成本与一季度持平，桥梁施工每千米的成本将会增加 a亿元，若二季度总成本与一季度相同，
求a的值．
变式2．（2022·云南·云大附中九年级期末）公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头
盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月
份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产
头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？
变式3．（2022·福建·模拟预测）某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：生活
污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”(下称甲方案)和“沿江工厂转型升级”(下称乙
方案)进行治理，若江水污染指数记为Q，沿江工厂用乙方案进行一次性治理(当年完工)，从当年开始，所
治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算，第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了
12 ．经过三年治理，境内长江水质明显改善 ．
（1）求的n值；
（2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理
的工厂数量共190家，求m的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；
◎题型8：行程问题
例．（2019·天津·南开翔宇学校八年级阶段练习）如图，东西方向上有A，C两地相距10千米，甲以16千
米/时的速度从A地出发向正东方向前进，乙以12千米/时的速度从C地出发向正南方向前进，那么最快经
过( )小时，甲、乙两人相距6千米？
A． B． C．1.5 D．
变式1．（2022·全国·九年级专题练习）小球以 的速度在平坦地面上开始滚动，并且均匀减速， 后
小球停下来．小球滚动到 时约用了多少时间（精确到 ）？（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2019·河南·郑州四中实验学校九年级期中）某日王老师佩戴运动手环进行快走锻炼，两次锻炼后
数据如下表．与第一次锻炼相比，王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍．
设王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为x（0＜x＜0.5）．注：步数×平均步长＝距离．
（1）根据题意完成表格填空；
（2）求x的值；
（3）王老师发现好友中步数排名第一为24000步，因此在两次锻炼结束后又走了500米，使得总步数恰好
为24000步，求王老师这500米的平均步长．
变式3．（2018·福建泉州·九年级期中）某学校为培养青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设
计了点做圆周运动的一个雏型．如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点 、 以顺时针、逆时针的方
向同时沿圆周运动.甲运动的路程 与时间 满足关系： （ ），乙以4 的速度匀
速运动，半圆的长度为21 ．
（1）甲运动4 后的路程是多少？
（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间？
◎题型9：图标信息题
例．（2022·湖北宜昌·九年级期末）某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过 度，
那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过 度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度 元
交费．
(1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了 度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含 的代数式表
示）
(2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的 度是多少．月份 用电量/度 交电费总数/元
2月 80 25
3月 45 10
变式1．（2022·全国·九年级专题练习）某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用
水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费．
（1）若a＝12，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？
（2）若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况：
月
用水量（吨） 交水费总金额（元）
份
4 18 62
5 24 86
根据上表数据，求规定用水量a的值
变式2．（2021·河北唐山·九年级期中）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．
（1）当 时，请直接写出 的值；
（2）当 时，求 的值．
变式3．（2020·内蒙古·二模）为了节约用水，不少城市对用水大户作出了两段收费的规定．某市规定：月
用水量不超过规定标准a吨时，按每吨1.6元的价格交费，如果超过了标准，超标部分每吨还要加收 元
的附加费用．据统计，某户7、8两月的用水量和交费情况如下表：
月份 用水量（吨） 交费总数（元）
7 140 2648 95 152
（1）求出该市规定标准用水量a的值；
（2）写出交费总数y（元）与用水量x（吨）的函数关系式，并利用函数关系计算，当某月份用水量为
150吨时，应交水费多少元？
◎题型10：相互问题（循环、握手、互赠礼品等）
技巧：循环问题：又可分为单循环问题 n(n-1)，双循环问题n(n-1).
例．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校八年级期中）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式
（每两队之间都赛一场），计划安排66场比赛，设应邀请x个球队参加比赛，根据题意，列出方程为（
）
A． B． C． D．
变式1．（2022·黑龙江·中考真题）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单
循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（ ）
A．8 B．10 C．7 D．9
变式2．（2022·全国·九年级课时练习）阅读下面内容，并答题：我们知道，计算n边形的对角线条数公式
为 n（n－3）．如果一个n边形共有20条对角线，那么可以得到方程 n（n－3）＝20．解得n＝8或n＝
－5（舍去），∴这个n边形是八边形．根据以上内容，问：
(1)若一个多边形共有9条对角线，求这个多边形的边数；
(2)小明说：“我求得一个n边形共有10条对角线”，你认为小明同学的说法正确吗？为什么？
变式3．（2021·全国·九年级专题练习）结合题意列出方程，并将其转化成一元二次方程的一般形式(不用
求解)．
（1）用一条长40 cm的绳子围成一个面积为64 cm2的矩形，求矩形的长；
（2）在元旦前夕，某班数学小组的同学互相赠送卡片，每两名同学之间都互相赠送一张，这样一共赠送
了90张，求这个数学小组有多少名同学．
