文档内容
专题 08 分式重难题型分类练（七大考点）
实战训练
一．解的特征--正数，负数，非负数……
2 x+m
1．已知关于x的方程 + =2的解为正数，求m的取值范围．
x−2 2−x
x 2−a
2．已知关于x的分式方程 + =1（a≠2且a≠3）的解为正数，求字母a的取值范围．
x−1 x2−x
3x m
3．若关于x的分式方程 = +2的解为负数，则m的取值范围是 ．
x−1 1−x
2mx−1
4．已知关于x的分式方程 =1的解为负数，则m的取值范围是 ．
x+2
1−ax 1
5．关于x的分式方程2+ = 的解为非负数，则a的取值范围为 ．
x−2 2−x二．分式方程解的特征综合
6．阅读下列材料：
a 3
在学习“分式方程及其解法”过程中，老师提出一个问题：若关于 x的分式方程 + =1
x−1 1−x
的解为正数，求a的取值范围？
经过小组交流讨论后，同学们逐渐形成了两种意见：
小明说：解这个关于x的分式方程，得到方程的解为x＝a﹣2．由题意可得a﹣2＞0，所以a＞
2，问题解决．
小强说：你考虑的不全面．还必须保证a≠3才行．
老师说：小强所说完全正确．
请回答：小明考虑问题不全面，主要体现在哪里？请你简要说明： ．
完成下列问题：
2mx−1
（1）已知关于x的方程 =1的解为负数，求m的取值范围；
x+2
3−2x 2−nx
（2）若关于x的分式方程 + =−1无解．直接写出n的取值范围．
x−3 3−x
a b−x
7．已知，关于x的分式方程 − =1．
2x+3 x−5
（1）当a＝2，b＝1时，求分式方程的解；
a b−x
（2）当a＝1时，求b为何值时分式方程 − =1无解；
2x+3 x−5
a b−x
（3）若a＝3b，且a、b为正整数，当分式方程 − =1的解为整数时，求b的值．
2x+3 x−5
三．分式方程有增根和无解辨析
2a
8．关于x的方程 =a﹣1无解，则a的值是（ ）
x−1
A．a＝1 B．a＝0或 a＝﹣1 C．a＝﹣1 D．a＝1或a＝0
ax 3
9．若关于x的方程 = +1无解，则a的值是 ．
x−1 x−1
3−x m
10．若分式方程 + =1有增根，则m的值是（ ）
x−4 x−4
A．4 B．1 C．﹣1 D．﹣32 kx 3
11．关于x的分式方程 + = 会产生增根，则k＝ ．
x−1 x2−1 x+1
12．若关于x的方程 m2 x−1 x 有增根，则m的值为 ．
= −
x−x2 x x−1
四．分式的混合运算
13．计算： 2 a2−a ．
(1− )⋅
a−1 a2−6a+9
14．化简：（ x2−1 x+1） 1−x．
+ ×
x2−2x+1 x−1 1+x
15．计算：
a2
（1） −a﹣1
a−1
（2）（x2−4x+4 x ） x−1．
− ÷
x2−4 x+2 x+2
五．分式的化简求值。
a2+b2 a
16．如果a﹣b＝2，那么代数式( −2b)⋅ 的值是 ．
a a−b
m+2 n−1
17．用 替换分式 中的n后，经过化简结果是（ ）
m−2 n+1
2 m 1
A． B．2m C． D．
m 2 2m
3−a 5
18．先化简： ÷a+2− ，再从1，2，3，4中选择一个合适的数作为a的值代入求值．
2a−4 a−2
19．（1）已知 2，且x≠y，求 1 1 x2y 的值．
y= ( + )÷
x x−y x+ y x2−y2
（2）先化简 x2 x2−1 ，再从﹣1，0，1中选择合适的x值代入求值．
( −x+1)÷
x+1 x2+2x+1
六．分式方程的特殊解法--换元法x−1 3x x−1
20．用换元法解方程 = −2时，设 = y，换元后化成关于y的一元二次方程的一般形
x x−1 x
式为 ．
x x x
21．用换元法解方程( ) 2−5( )−6=0，设 = y，原方程可变为关于y的一元二次方
x+1 x+1 x+1
程是 ．
22．阅读下面材料，解答后面的问题
x−1 4x
解方程： − =0．
x x−1
x−1 4
解：设y= ，则原方程化为：y− =0，方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0，
x y
解得：y＝±2，
4 x−1
经检验：y＝±2都是方程y− =0的解，∴当y＝2时， =2，解得：x＝﹣1，
y x
x−1 1 1
当y＝﹣2时， =−2，解得：x= ，经检验：x＝﹣1或x= 都是原分式方程的解，
x 3 3
1
∴原分式方程的解为x＝﹣1或 x= ．上述这种解分式方程的方法称为换元法．
3
问题：
x−1 x x−1
（1）若在方程 − =0中，设y= ，则原方程可化为： ；
4x x−1 x
x−1 4x+4 x−1
（2）若在方程 − =0中，设y= ，则原方程可化为： ；
x+1 x−1 x+1
x−1 3
（3）模仿上述换元法解方程： − −1=0．
x+2 x−1
七．新定义
ax+by
23．对x，y定义一种新运行T，规定：T（x，y）= （其中a、b均为非零常数），这里等式
2x+ y
a×0+b×1
右边是通常的四则运行，例如：T（0，1）= =b．
2×0+1
（1）已知T（1，﹣1）＝﹣2，T（4，2）＝1，求a，b的值；
（2）若T（x，y）＝T（y，x）对任意实数x，y都成立（这里T（x，y）和T（y，x）均有意
义），则a，b应满足怎样的关系式？24．阅读下列材料：
通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，
8 6+2 2 2
如： = =2+ =2
3 3 3 3
我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，
我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
x−1 x2 3 2x
如 ， 这样的分式就是假分式；再如： ， 这样的分式就是真分式．类似的，
x+1 x−1 x+1 x2+1
假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．
x−1 (x+1)−2 2
如： = =1− ；
x+1 x+1 x+1
x2 x2−1+1 (x+1)(x−1)+1 1
再如： = = =x+1+
x−1 x−1 x−1 x−1
解决下列问题：
2
（1）分式 是 分式（填“真”或“假”）；
x
x−1
（2）将假分式 化为带分式的形式为 ；
x+2
2x−1 2x−1
（3）把分式 化为带分式；如果 的值为整数，求x的整数值．
x+1 x+1
25．定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即M﹣N＝MN，则称分式N是分式M的“关联
1 1 1 1 1 1 1 1
分式”．如 与 ，因为 − = ， × = ，
x+1 x+2 x+1 x+2 (x+1)(x+2) x+1 x+2 (x+1)(x+2)
1 1
所以 是 的“关联分式”．
x+2 x+1
2 2 2
（1）已知分式 ，则 的“关联分式”（填“是”或“不是”）；
a2−1 a2+1 a2−1
1
（2）小明在求分式 的“关联分式”时，用了以下方法：
x2+ y2
1 1 1
设 的“关联分式”为N，则 −N= ×N，
x2+ y2 x2+ y2 x2+ y2
1 1
∴( +1)N= ，
x2+ y2 x2+ y21
∴N= ．
x2+ y2+1
a−b
请你仿照小明的方法求分式 的“关联分式”．
2a+3b
y
（3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式 的“关联分式”： ；
x
②用发现的规律解决问题：
4n−2 4m+2
若 是 的“关联分式”，求实数m，n的值．
mx+m mx+n
