文档内容
第 01 讲 三角形的概念、与三角形有关的线段
知识点1：三角形的概念
知识点2：三角形的分类
知识点3：三角形的三边关系
知识点4：三角形的稳定性
知识点5：三角形的三种重要线段
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形；
记作：△ABC，如图：其中：线段 AB，AC，CA 是三角形的边，A，B，C 是
三角形的顶点，∠A，∠B， ∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，
简称三角形的角．
【题型1三角形的概念】
【典例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，根据图形填空．
（1）以BD为边的三角形是 ；（2）△AED的三个内角是 ，其中∠ADE的对边是 ；
（3）以∠C为一个内角的三角形是 ；
（4）图中共有 个三角形．
【答案】 △ABD ∠ADE，∠AED，∠DAE AE
△ACE，△ACD，△ACB 6
【分析】本题主要考查三角形的定义，熟练掌握三角形的角，边是解题的关键．根据
三角形的角，边定义进行求解即可．
【详解】解：以BD为边的三角形是△ABD；
△AED的三个内角是∠ADE，∠AED，∠DAE；其中∠ADE的对边是AE；
以∠C为一个内角的三角形是△ACE，△ACD，△ACB；
图中共有△ABD,△ABE,△ABC,△ADE,△ADC,△AEC，6个三角形；
故答案为：△ABD；∠ADE，∠AED，∠DAE；AE；
△ACE，△ACD，△ACB；6；
【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）图中以BC为边的三角形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的定义．根据三角形的定义（由不在同一条直线上的三条线
段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形）找出图中的三角形．
【详解】解：以BC为边的三角形有△DBC,△EBC,△ABC，共3个，
故选：C．
【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，以AD为高的三角形共有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个【答案】C
【分析】此题主要考查了三角形的高，三角形的高可以在三角形外，也可以在三角形内，
所以确定三角形的高比较灵活．由于AD⊥BC于D，图中共有6个三角形，它们都有
一边在直线CB上，由此即可确定以AD为高的三角形的个数．
【详解】解：∵AD⊥BC于D，
而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有6个，分别为
△ABE,△ABD,△ABC,△AED,△AEC,△ADC
∴以AD为高的三角形有6个．
故选：C．
【变式3】（2025·浙江杭州·一模）若△ABC是锐角三角形，且∠A=60°，则∠B可能的
度数是（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【答案】D
【分析】根据∠A=60°，三角形内角和定理解答即可．
本题考查了锐角三角形，三角形内角和定理，熟练掌握定理是解题的关键．
【详解】解：∵ ∠A=60°，
∴∠B+∠C=120°，
∴∠C=120°-∠B，
∵ △ABC是锐角三角形，
∴0<120°-∠B<90°，
∴30°<∠B<90°，
故选：D．等腰三角形：在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰
的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
【题型2 三角形的分类】
【典例2】（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，
其中不能判断三角形类型的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了三角形的分类．根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形、
钝角三角形进行判断即可．
【详解】解：A、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类
型；
B、露出的角是直角，因此是直角三角形；
C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型；
D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形；
故选：C．
【变式1】（2025九年级下·河北·专题练习）如图，一张三角形纸片被不小心撕掉一个角，
则这个三角形是（ ）A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形
【答案】D
【分析】本题考查等腰三角形的分类和三角形的内角和，现根据三角形的内角和求出另
一个角的度数，然后根据三角形的分类解题即可．
【详解】解：三角形的另一个角的度数为180°-50°-80°=50°，
∴这个三角形是等腰三角形，
故选：D．
【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）三角形按边可以分为： 三角形和不等
边三角形；按角分为： 三角形、 三角形和钝角三角形．
【答案】 等腰 锐角 直角
【分析】本题考查三角形分类，熟练掌握三角形按边或按角分类是解题的关键．
根据三角形按边可以分为：等腰三角形和不等边三角形；按角分为：锐角三角形、直
角三角形和钝角三角形解答即可．
【详解】解：三角形按边可以分为：等腰三角形和不等边三角形；
按角分为：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．
故答案为：等腰；锐角；直角．（空2与空3答案可互换）．
三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
【拓展：三边关系的运用】
①判断三条线段能否组成三角形；
②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。
【题型3 构成三角形的条件】
【典例3】（2025·江苏连云港·中考真题）下列长度（单位：cm）的3根小木棒能搭成三角
形的是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，8 D．4，5，10【答案】B
【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，根据三角形三边关系定理，任意两边
之和必须大于第三边．只需验证每组数中较小的两数之和是否大于最大数即可．
【详解】A． 1、2、3：1+2=3，不满足两边之和大于第三边，不符合题意；
B． 2、3、4：2+3=5>4，满足条件，能构成三角形，符合题意；
C． 3、5、8：3+5=8，不满足两边之和大于第三边，不符合题意；
D． 4、5、10：4+5=9<10，不满足条件，不符合题意；
故选：B．
【变式1】（24-25九年级下·江苏淮安·期中）如图，为了估计池塘两岸A，B间的距离，在
池塘的一侧选取点P，测得PA=20米，PB=17米，那么A，B间的距离不可能是
（ ）
A．40米 B．32米 C．13米 D．25米
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的三边关系定理，根据三角形的三边关系定理得出不等式，
即可得出选项．
【详解】解：设AB=x米，
根据题意，得20-176，与两边之和大于第三边一致，构成三角形，
∴D符合题意；
故选：D．
【变式3】（24-25九年级下·贵州毕节·阶段练习）一个三角形的两边长分别是2cm，5cm，
则第三边的长可能是下面的（ ）
A．2cm B．3cm C．5cm D．7cm
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．根
据三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边即可得到答案．
【详解】解：设这个三角形第三边的长为xcm，
∵这个三角形的两边长分别是2cm，5cm，
则由三角形的三边关系可得，5-20,a+b-c>0,a-b-c<0,-a-b+c<0
∴|a+b+c|-|a+b-c|+|a-b-c|-|-a-b+c|
=a+b+c-(a+b-c)-(a-b-c)+(-a-b+c)．
=a+b+c-a-b+c-a+b+c-a-b+c
=-2a+4c；
（2）解：∵|b-c|+(a-c) 2=0且|b-c|≥0，(a-c) 2≥0，
∴b-c=0且a-c=0
∴b=c且a=c，即a=b=c
∴△ABC等边三角形．
【变式1】（24-25七年级下·山东日照·阶段练习）已知△ABC的三边长分别为1，4，a，
化简：|a-2|-|a-1|+|a-6|．
【答案】5-a
【分析】此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质．直接利用三角形三边关
系进而得出a的取值范围，进而利用绝对值的性质化简得出答案．
【详解】解：因为△ABC的三边长分别为1，4，a．
所以4-10，a-1>0，a-6<0，
∴|a-2|-|a-1|+|a-6|
=a-2-(a-1)+6-a
=5-a．
【变式2】（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）已知△ABC的三边长分别为a，b，c，
且a，b，c都是整数．
(1)若a=2，b=5，且c为奇数，求△ABC的周长．
(2)化简：|a-b+c|+|b-c-a|．
【答案】(1)12
(2)2(a+c-b)
【分析】（1）根据三角形存在的条件，解答即可．
（2）根据三角形三边关系，化简解答即可．
本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的存在性条件是解题的关键．
【详解】（1）解：∵a=2，b=5，∴37，则本选项中的三条线段能组成三角形，符合题意．
故选：D．
6．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，我们可以看到跪姿射击的动作，由左手、
左肘、左肩构成的托枪姿势可以使射击者在射击过程中保持枪的稳定，这里蕴含的数
学道理是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．三角形的任意两边之和大于第三边
C．两点确定一条直线
D．三角形的稳定性
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性即可得到答案．
【详解】解：由题意得这三个三角形可以使射击者在射击过程中保持稳定，其中，蕴
含的数学道理是三角形的稳定性；
故选：D．
7．（24-25八年级上·福建·期中）如图，在△ABC中，AB=7，AC=5，AD是△ABC的
中线，则△ABD与△ADC的周长之差为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形的中线，三角形的周长，掌握其性质是解决此题的关
键．先根据中线的定义得BD=CD，再表示周长，即可得出答案．
【详解】解：∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，
∴△ABD与△ADC的周长之差是
AB+AD+BD-(AD+AC+CD)=AB-AC=7-5=2．
故选：C．
8．（2017·北京平谷·二模）用直角三角板，作△ABC 的高，下列作法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是作图-基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．
根据高线的定义即可得出结论．
【详解】解：A、B、C选项均不是高线，D选项是高线．
故选：D．
二、填空题
9．（24-25七年级上·山东济南·期末）如图，直线l经过A，B，C，D，E五点，点P是直
线l外一点，连接PA，PB，PC，PD，PE，则共有 个三角形．
【答案】10
【分析】本题考查了三角形的定义，找出三角形是解题的关键．根据题意找出三角形的个数，即可求解．
【详解】解：图中有
△PAB,△PBC,△PCD,△PDE,△PAC,△PAD,△PAE,△PBD,△PBE,△PCE共
10个三角形，
故答案为：10．
10．（2025七年级下·全国·专题练习）若a，b，c是△ABC的三边，试化简：
|a-b-c|+|a+b-c|= ．
【答案】2b
【分析】本题考查三角形三边关系定理，绝对值的代数意义，不等式的性质．根据三
角形三边关系得到ac，然后再根据绝对值的代数意义进行化简即可．
解题的关键是掌握：三角形的任意两边之和大于第三边．
【详解】解：∵a，b，c是△ABC的三边，
∴ac，
∴a-b-c<0，a+b-c>0，
∴|a-b-c|+|a+b-c|
=-(a-b-c)+(a+b-c)
=-a+b+c+a+b-c
=2b．
故答案为：2b．
11．（1七年级下·上海·期中）已知三角形的三条边长分别是5cm，7cm，x cm，那么这个
三角形的第三边x的长度的取值范围是 ．
【答案】2 cm7-5=2，
∴x的取值范围是2 cm
