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专题 11.3 三角形内角和定理
【典例1】如图，直线l∥线段BC，点A是直线l上一动点．在△ABC中，AD是△ABC的高线，AE是
∠BAC的角平分线．
（1）如图1，若∠ABC＝65°，∠BAC＝80°，求∠DAE的度数；
（2）当点A在直线l上运动时，探究∠BAD，∠DAE，∠BAE之间的数量关系，并画出对应图形进行说明．
【思路点拨】
1
（1）根据角平分线的定义得∠BAE= ∠BAC＝40°，而∠BAD＝90°﹣∠ABD＝25°，利用角的和差关系可得
2
答案；
（2）根据高在形内和形外进行分类，再根据AB，AC，AD为位置进行讨论．
【解题过程】
解：（1）∵AE是∠BAC的角平分线，
1
∴∠BAE= ∠BAC＝40°．
2
∵AD是△ABC的高线，
∴∠BDA＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝25°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝40°﹣25°＝15°；
（2）如图1，∠BAD+∠BAE＝∠DAE；如图2，∠BAD+∠DAE＝∠BAE；
如图3，∠BAE+∠DAE＝∠BAD；
如图4，∠BAE+∠DAE＝∠BAD．
1．（2021秋•包河区期末）已知△ABC的内角分别为∠A，∠B，∠C，下列能判定△ABC是直角三角形的
条件是（ ）
A．∠A＝2∠B＝3∠C B．∠C＝2∠B
C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【思路点拨】
根据三角形内角和定理解决此题．
【解题过程】
解：A．根据三角形内角和定理，由∠A＝2∠B＝3∠C，得∠A＞∠B＞∠C，∠A+∠B+∠C＝∠A
1 1 1080°
+ ∠A+ ∠A=180°，求得∠A= ≠90°，那么选项A不能判定△ABC是直角三角形．
2 3 11B．由∠C＝2∠B无法推断出△ABC的内角的度数，那么选项B不能判定△ABC是直角三角形．
C．根据三角形内角和定理，由∠A+∠B＝∠C，得2∠C＝180°，求得∠C＝90°，故△ABC是直角三角形，
那么选项C能判定△ABC是直角三角形．
D．根据三角形内角和定理，设∠A＝3x，∠B＝4x，∠C＝5x，得3x+4x+5x＝180°，求得x＝15°，进而推
断出∠C＝75°，∠B＝60°，∠A＝45°，那么选项D无法推断出△ABC是直角三角形．
故选：C．
2．（2021秋•大丰区期末）如图，某位同学将一副三角板随意摆放在桌上，则图中∠1+∠2的度数是（
）
A．70° B．80° C．90° D．100°
【思路点拨】
由题意可得∠A＝90°，利用对顶角相等得∠ABC＝∠1，∠ACB＝∠2，再利用三角形的内角和即可求解．
【解题过程】
解：如图，
由题意得：∠A＝90°，
∵∠ABC＝∠1，∠ACB＝∠2，
∴∠1+∠2＝∠ABC+∠ACB，
在△ABC中，∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝90°，
即∠1+∠2＝90°．
故选：C．
3．（2021秋•大余县期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC，∠ABC的平
分线．∠BAC＝50°，∠ABC＝60°．则∠DAE+∠ACD等于（ ）A．75° B．80° C．85° D．90°
【思路点拨】
依据AD是BC边上的高，∠ABC＝60°，即可得到∠BAD＝30°，依据∠BAC＝50°，AE平分∠BAC，即可
得到∠DAE＝5°，再根据△ABC中，∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝70°，可得∠EAD+∠ACD＝75°．
【解题过程】
解：∵AD是BC边上的高，∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∵∠BAC＝50°，AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝25°，
∴∠DAE＝30°﹣25°＝5°，
∵△ABC中，∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝70°，
∴∠EAD+∠ACD＝5°+70°＝75°．
故选：A．
4．（2021秋•云阳县期末）如图，钝角△ABC中，∠2为钝角，AD为BC边上的高，AE为∠BAC的平分
线，则∠DAE与∠1、∠2之间有一种等量关系始终不变，下面有一个规律可以表示这种关系，你发现的是
（ ）
∠2−∠1
A．∠DAE＝∠2﹣∠1 B．∠DAE=
2
∠2 ∠1+∠2
C．∠DAE= −∠1 D．∠DAE=
2 2【思路点拨】
1
由直角三角形的性质可得∠DAC＝90°﹣∠1，利用三角形的内角和定理及角平分线的定义可求得∠CAE=
2
1
∠BAC= （180°﹣∠1﹣∠2），再根据∠DAE＝∠DAC﹣∠CAE可求解．
2
【解题过程】
解：∵AD是BC边上的高，
∴∠D＝90°，
∴∠DAC＝90°﹣∠1，
∵∠BAC+∠2+∠1＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣∠1﹣∠2，
∵AE平分∠BAC，
1 1
∴∠CAE= ∠BAC= （180°﹣∠1﹣∠2），
2 2
1 ∠2−∠1
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠CAE＝90°﹣∠1− （180°﹣∠1﹣∠2）= ，
2 2
故选：B．
5．（2021秋•长沙县期末）已知在△ABC中，∠A＝108°，∠B＝2∠C，则∠B＝ ．
【思路点拨】
先根据三角形的内角和定理，可得180°+2∠C+∠C＝180°，据此求出∠C的度数是多少，进而求出∠B的度
数是多少；
【解题过程】
解：∵∠A＝108°，∠B＝2∠C，
∴108°+2∠C+∠C＝180°，
∴∠C＝34°，
∴∠B＝2∠C＝2×34°＝68°．
故答案为：68°．
6．（2021秋•平阳县期中）当三角形中一个内角β是另一个内角α的2倍时，我们称此三角形为“幸运三
角形”，其中角α称为“幸运角”．如果一个“幸运三角形”中有一个内角为 48°，那么这个“幸运三角
形”的“幸运角”度数为 ．
【思路点拨】
设三角形的三个内角分别是∠1、∠2、α．由题意得α＝48°或∠1＝48°或∠2＝48°，故需分这3种情况讨论．【解题过程】
解：设三角形的三个内角分别是∠1、∠2、α．
当α＝48°，则∠1＝24°．
当∠1＝48°，则α＝2∠1＝96°．
当∠2＝48°，则∠1+α＝180°﹣∠2＝132°．
∴3∠1＝132°．
∴∠1＝44°．
综上：“幸运角”α可能为48°或24°或44°．
故答案为：48°或24°或44°．
7．（2021•南岗区校级开学）在△ABC中，∠B＝35°，AD、AE分别是△ABC的高线和角平分线，∠DCA
＝75°，则∠DAE的度数为 ．
【思路点拨】
可分两种情况：当∠C为锐角时，当∠C为钝角时，由三角形的内角和定理可求解∠BAC的度数，结合角
平分线的定义可得∠BAE的度数，利用三角形的高线及三角形内角的了可求解∠BAD的度数，进而可求解．
【解题过程】
解：当∠C为锐角时，如图，
∵∠B＝35°，∠DCA＝75°，
∴∠BAC＝180°﹣35°﹣75°＝70°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE＝35°，
∵AD是△ABC的高线，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣35°＝55°，
∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝55°﹣35°＝20°；
当∠C为钝角时，如图，∵∠DCA＝75°，
∴∠ACB＝180°﹣75°＝105°，
∵∠B＝35°，
∴∠BAC＝180°﹣105°﹣35°＝40°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE＝20°，
∵AD是△ABC的高线，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣35°＝55°，
∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝55°﹣20°＝35°．
故答案为20°或35°．
8．（2021•香坊区校级开学）在△ABC中，∠A＝50°，BD、CE分别是边AC、AB上的高，直线BD与CE
交于点H，则∠BHC的度数为 ．
【思路点拨】
可分三种情况：当△ABC为锐角三角形时，当△ABC为钝角三角形时，当△ABC为直角三角形，根据三角
形内角和定理及三角形外角的性质计算可求解．
【解题过程】
解：如图，当△ABC为锐角三角形时，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠A＝50°，
∴∠ABD＝90°﹣50°＝40°，
∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，
∴∠BHC＝∠BEC+∠ABD＝90°+40°＝130°；
当△ABC为钝角三角形时，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠A＝50°，
∴∠ABD＝90°﹣50°＝40°，
∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°，
∴∠BHC＝∠BEC+∠ABD＝90°﹣40°＝50°；
当△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°时，∠BHC不存在，
故∠BHC的度数为130°或50°．
9．（2021秋•涡阳县期末）在△ABC中，已知∠B＝∠A+10°，∠C＝∠B+25°，求∠A的度数．
【思路点拨】
将第一个等式代入第二等式用∠A表示出∠C，再根据三角形的内角和等于180°列方程求出∠A，然后求解
即可．
【解题过程】
解：∵∠B＝∠A+10°，∠C＝∠B+25°，
∴∠C＝∠A+10°+25°＝∠A+35°，
由三角形内角和定理得，∠A+∠B+∠C＝180°，
所以，∠A+∠A+10°+∠A+35°＝180°，
解得∠A＝45°．
10．（2021秋•陆川县期中）如图：是一个大型模板，设计要求 BA与CD相交成26°角，DA与CB相交成37°角，现小燕测得∠A＝151°，∠B＝66°，∠C＝88°，∠D＝55°，她就断定这块模板是合格的，这是为什
么？
【思路点拨】
延长DA，CB相交于点F，延长BA，CD相交于点E，根据三角形内角和定理可求出∠F和∠E的度数，即
可判断．
【解题过程】
解：如图，延长DA，CB相交于点F，延长BA，CD相交于点E，
∵∠C+∠ADC＝88°+55°＝143°，
∴∠F＝180°﹣143°＝37°，
∵∠C+∠ABC＝88°+66°＝154°，
∴∠E＝180°﹣154°＝26°，
故这块模板是合格的．
11．（2021秋•大连期中）如图，在△ABC中，∠B＝75°，AD⊥BC，∠C＝∠CAD，求∠C，∠BAC的度
数．
【思路点拨】
根据三角形内角和定理即可求出答案．
【解题过程】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
又∵∠C＝∠CAD，
∴∠C＝∠CAD＝45°，
∵∠B＝75°，
∴∠DAB＝90°﹣∠B，
＝90°﹣75°，
＝15°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD
＝15°+45°
＝60°．
∴∠C＝45°，∠BAC＝60°．
12．（2021秋•建昌县期末）如图，AD是∠BAC的平分线，CE是△ADC边AD上的高，若∠BAC＝70°，
∠ECD＝20°．求∠ACB的度数．
【思路点拨】
根据角平分线的定义求出∠DAC的度数，所以EDCA可求，进而求出∠ACB的度数．
【解题过程】
解：∵AD是∠BAC的平分线，∠BAC＝70°，
∴∠DAC＝35°，
∵CE是△ADC边AD上的高，
∴∠ACE＝90°﹣35°＝55°，
∵∠ECD＝25°
∴∠ACB＝55°+25°＝80°，
答：∠ACB的度数为80°．
13．（2021秋•合川区期末）如图，△ABC的角平分线BD、CE相交于点F．
（1）若∠A＝54°，∠ABC＝50°，求∠CFD的度数；（2）求证：2∠BFC＝∠A+180°．
【思路点拨】
（1）先利用三角形内角和定理得到∠ACB＝76°，再结合角平分线的定义可求解∠BFC的度数，进而可求
解∠CFD的度数；
1
（2）利用角平分线的定义可求解∠BFC＝180°− （∠ABC+∠ACB），再结合角平分线的定义可得
2
∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，进而可证明结论．
【解题过程】
（1）解：∵∠A＝54°，∠ABC＝50°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝180°﹣50°﹣54°＝76°，
∵△ABC的角平分线BD、CE相交于点F，
1 1
∴∠CBF= ∠ABC＝25°，∠BCF= ∠ACB＝38°，
2 2
∴∠BFC＝180°﹣∠CBF﹣∠BCF＝180°﹣25°﹣38°＝117°，
∴∠CFD＝180°﹣117°＝63°；
（2）证明：∵△ABC的角平分线BD、CE相交于点F，
1 1
∴∠CBF= ∠ABC，∠BCF= ∠ACB，
2 2
1 1 1
∴∠BFC＝180°﹣∠CBF﹣∠BCF＝180°﹣（ ABC+ ACB）＝180°− （∠ABC+∠ACB），
2 2 2
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
1 1
∴∠BFC＝180°− （180°﹣∠A）＝90°+ ∠A，
2 2
即2∠BFC＝180°+∠A．
14．（2021秋•和平区期末）如图，BE和BF三等分∠ABC，CE和CF三等分∠ACB，∠A＝60°，求
∠BEC和∠BFC的度数．【思路点拨】
利用三角形的内角和定理先求出∠ABC与∠ACB的度数和，再根据三等分的性质求出∠CBF+∠BCF、
∠CBE+∠BCE，最后利用三角形的内角和定理求出∠BEC和∠BFC的度数．
【解题过程】
解：∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°．
∵BE和BF三等分∠ABC，CE和CF三等分∠ACB，
1 1
∴∠CBF= ∠ABC，∠BCF= ∠ACB，
3 3
2 2
∠CBE= ∠ABC，∠BCE= ∠ACB．
3 3
1
∴∠CBF+∠BCF= （∠ABC+∠ACB）＝40°，
3
2
∠CBE+∠BCE= （∠ABC+∠ACB）＝80°．
3
∴∠BEC＝180°﹣（∠CBE+∠BCE）＝100°，
∠BFC＝180°﹣（∠CBF+∠BCF）＝140°．
15．（2021秋•吴兴区期末）如图，在△ABC中，AD是△ABC的高线，AE是∠BAC的角平分线，已知
∠BAC＝100°．
（1）若∠DAE＝20°，求∠C的度数；
（2）设∠DAE＝α（0°＜α＜40°），用含有α的代数式表示∠C的大小．
【思路点拨】
（1）由题意可求得∠AED＝70°，再由角平分线的定义可得∠EAC＝50°，即可求∠C的度数；
（2）仿照（1）的解答过程进行求解即可．【解题过程】
解：（1）∵在Rt△ADE中，∠DAE＝20°，
∴∠AED＝90°﹣20°＝70°，
又∵∠BAC＝100°，AE是角平分线，
∴∠EAC＝50°，
∴∠C＝∠AED﹣∠EAC＝70°﹣50°＝20°；
（2）∵在Rt△ADE中，∠DAE＝α，
∴∠AED＝90°﹣α，
又∵∠BAC＝100°，AE是角平分线，
∴∠EAC＝50°，
∴∠C＝∠AED﹣∠EAC＝（90°﹣α）﹣50°＝40°﹣α．
16．（2020秋•汉阳区期末）上小学时，我们已学过三角形三个内角的和为180°．
定义：如果一个三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°．那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．
（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝ ；
（2）若△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°．
①如图，若AD是∠BAC的平分线，请你判断△ABD是否为“准互余三角形”？并说明理由．
②点E是边BC上一点，△ABE是“准互余三角形”，若∠ABC＝24°，则∠EAC＝ ．
【思路点拨】
（1）根据“准互余三角形”的定义，由于三角形内角和是 180°，∠C＞90°，∠A＝60°，只能是∠A+2∠B
＝90°；
（2）①由题意可得∠ADB＞90°，所以只要证明∠B与∠BAD满足2α+β＝90°，即可解答，
②由题意可得∠AEB＞90°，所以分两种情况，∠B+2∠BAE＝90°，2∠B+∠BAE＝90°．
【解题过程】
解：（1）∵△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，
∴∠A+2∠B＝90°，
∴∠B＝15°，
故答案为15°；（2）①△ABD是“准互余三角形”，
理由：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAC＝2∠BAD，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠B＝90°，
∴2∠BAD+∠B＝90°，
∴△ABD是“准互余三角形”，
②由题意可得∠AEB＞90°，
∵△ABE是“准互余三角形”，
∴分两种情况：
当∠B+2∠BAE＝90°时，∠BAE＝33°，
∴∠EAC＝90°﹣∠B﹣∠BAE＝33°，
当2∠B+∠BAE＝90°时，∠BAE＝42°，
∴∠EAC＝90°﹣∠B﹣∠BAE＝24°，
∴∠EAC＝33°或24°，
故答案为33°或24°．
17．（2021秋•金安区校级期中）如图，在△ABC中，点D为∠ABC的平分线BD上一点，连接AD，过点
D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F．
（1）如图1，若AD⊥BD于点D，∠BEF＝120°，求∠BAD的度数；
（2）如图2，若∠ABC＝α，∠BDA＝β，求∠FAD+∠C的度数（用含α和β的代数式表示）．
【思路点拨】
（1）根据平行线的性质和平角的定义可得∠EBC＝60°，∠AEF＝60°，根据角平分线的性质和平行线的性
质可得∠EBD＝∠BDE＝∠DBC＝30°，再根据三角形内角和定理可求∠BAD的度数；
（2）过点A作AG∥BC，则∠BDA＝∠DBC+∠DAG＝∠DBC+∠FAD+∠FAG＝∠DBC+∠FAD+∠C＝β，依此
即可求解．
【解题过程】解：（1）∵EF∥BC，∠BEF＝120°，
∴∠EBC＝60°，∠AEF＝60°，
又∵BD平分∠EBC，
∴∠EBD＝∠BDE＝∠DBC＝30°，
又∵∠BDA＝90°，
∴∠EDA＝60°，
∴∠BAD＝60°；
（2）如图2，过点A作AG∥BC，
则∠BDA＝∠DBC+∠DAG＝∠DBC+∠FAD+∠FAG＝∠DBC+∠FAD+∠C＝β，
1 1
则∠FAD+∠C＝β﹣∠DBC＝β− ∠ABC＝β− α．
2 2
18．（2021秋•南山区校级期末）∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合）．
（1）如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，∠AEB＝ °；
（2）如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D．
①若∠BAO＝60°，则∠D＝ °；
②随着点A，B的运动，∠D的大小是否会变化？如果不变，求∠D的度数；如果变化，请说明理由．
【思路点拨】
（1）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论；
（2）①根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论；②由①的思路可得结论．
【解题过程】
解：（1）∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴∠AOB＝90°，
∴∠OAB+∠OBA＝90°，
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，
1 1
∴∠BAE= ∠OAB，∠ABE= ∠ABO，
2 2
1
∴∠BAE+∠ABE= （∠OAB+∠ABO）＝45°，
2
∴∠AEB＝135°；
故答案为：135；
（2）①∵∠AOB＝90°，∠BAO＝60°，
∴∠ABO＝30°，
∴∠ABN＝150°，
∵BC是∠ABN的平分线，
1
∴∠OBD＝∠CBN= ×150°＝75°，
2
∵AD平分∠BAO，
∴∠DAB＝30°，
∴∠D＝180°﹣∠ABD﹣∠BAD﹣∠AOB＝180°﹣75°﹣30°﹣30°＝45°，
故答案为：45；
②∠D的度数不随A、B的移动而发生变化，
设∠BAD＝α，
∵AD平分∠BAO，
∴∠BAO＝2α，
∵∠AOB＝90°，
∴∠ABN＝180°﹣∠ABO＝∠AOB+∠BAO＝90+2α，
∵BC平分∠ABN，
∴∠ABC＝45°+α，
∵∠ABC＝180°﹣∠ABD＝∠D+∠BAD，
∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD＝45°+α﹣α＝45°．19．（2021秋•正阳县期末）图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之
为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、
AB分别相交于M、N．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系： ；
（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数： 个；
（3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．
（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．
（直接写出结果，不必证明）．
【思路点拨】
（1）根据三角形内角和定理即可得出∠A+∠D＝∠C+∠B；
（2）根据“8字形”的定义，仔细观察图形即可得出“8字形”共有6个；
（3）先根据“8字形”中的角的规律，可得∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P②，再根
据角平分线的定义，得出∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，将①+②，可得2∠P＝∠D+∠B，进而求出∠P
的度数；
（4）同（3），根据“8字形”中的角的规律及角平分线的定义，即可得出2∠P＝∠D+∠B．
【解题过程】
解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，
∴∠A+∠D＝∠C+∠B，
故答案为：∠A+∠D＝∠C+∠B；
（2）①线段AB、CD相交于点O，形成“8字形”；
②线段AN、CM相交于点O，形成“8字形”；
③线段AB、CP相交于点N，形成“8字形”；
④线段AB、CM相交于点O，形成“8字形”；
⑤线段AP、CD相交于点M，形成“8字形”；
⑥线段AN、CD相交于点O，形成“8字形”；
故“8字形”共有6个，故答案为：6；
（3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，①
∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P，②
∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，
∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，
①+②得：
∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，
即2∠P＝∠D+∠B，
又∵∠D＝50度，∠B＝40度，
∴2∠P＝50°+40°，
∴∠P＝45°；
（4）关系：2∠P＝∠D+∠B．
∠D+∠1＝∠P+∠3①
∠B+∠4＝∠P+∠2②
①+②得：
∠D+∠1+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P，
∵∠DAB和∠DCB的平分线AP和CP相交于点P，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4
∴2∠P＝∠D+∠B．
20．（2021秋•驿城区校级期末）在图1中，已知△ABC中，∠B＞∠C，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，
∠B＝70°，∠C＝40°，求∠DAE的度数．
（2）在图2中，∠B＝x，∠C＝y，其他条件不变，若把“AD⊥BC于D”改为“F是AE上一点，FD⊥BC于
D”，试用x、y表示∠DFE＝ ；
（3）在图3中，当点F是AE延长线上一点，其余条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请说
明为什么；若不成立，请写出成立的结论，并说明为什么．
（4）在图3中，分别作出∠BAE和∠EDF的角平分线，交于点 P，如图4．试用x、y表示∠P＝．
【思路点拨】
1 1
（1）根据三角形的内角和得∠BAC的度数，再利用角平分线的定义得∠BAE= ∠BAC= ×70°＝35°，从
2 2
而得出答案；
（2）用含x、y代数式表示∠BAC和∠AEB即可；
（3）由（2）同理可得；
1 1 1
（4）根据∠BAE= ∠BAC= （180°﹣x﹣y），得∠PAF= （180°﹣x﹣y），从而得出答案．
2 2 4
【解题过程】
解：（1）∵∠B＝70°，∠C＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣70°﹣40°＝70°，
∵∠BAC的平分线交BC于点E，
1 1
∴∠BAE= ∠BAC= ×70°＝35°，
2 2
在Rt△BAD中，∠BAD＝90°﹣70°＝20°，
∴∠EAD＝∠BAE﹣∠BAD＝35°﹣20°＝15°；
1 1
（2）∵∠BAE= ∠BAC= （180°﹣x﹣y），
2 2
1 1 1
∴∠AEB＝180°﹣∠B﹣∠BAE＝180°﹣x− （180°﹣x﹣y）＝90°− x+ y，
2 2 2
1 1 1
∴∠DFE＝90°﹣∠AEB＝90°﹣90°+ x− y= （x﹣y）．
2 2 21
故答案为 （x﹣y）；
2
（3）成立，理由如下：
1 1
∵∠BAE= ∠BAC= （180°﹣x﹣y），
2 2
1 1 1
∴∠AEB＝180°﹣∠B﹣∠BAE＝180°﹣x− （180°﹣x﹣y）＝90°− x+ y，
2 2 2
1 1
∴∠DEF＝∠AEB＝90°− x+ y，
2 2
1 1 1
∴∠DFE＝90°﹣∠DEF＝90°﹣90°+ x− y= （x﹣y），
2 2 2
1
故答案为 （x﹣y）；
2
1 1
（4）∵∠BAE= ∠BAC= （180°﹣x﹣y），
2 2
1
∴∠PAF= （180°﹣x﹣y），
4
1 1
∴∠P＝180°﹣45°﹣[180°− （180°﹣x﹣y）﹣x]= （3x﹣y），
4 4
1
故答案为： （3x﹣y）．
4
