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专题15 折叠问题中的勾股定理
【例题讲解】
（1）如图①，Rt△ABC的斜边AC比直角边AB长2cm，另一直角边BC长为6cm，求AC的长．
（2）拓展：如图②，在图①的△ABC的边AB上取一点D，连接CD，将△ABC沿CD翻折，使点
B的对称点E落在边AC上．
①AE的长．②求DE的长．
解：（1）设AB＝x cm，则AC＝（x＋2）cm，∵AC2＝AB2＋BC2，
∴（x＋2）2＝x2＋62，解得x＝8，∴AB＝8cm，∴AC＝8＋2＝10（cm）；
（2）①由折叠的性质可得∠DEC＝∠DBC＝90°，DE＝DB，EC＝BC＝6cm，
∴AE＝AC−EC＝4cm；
②设DE＝DB＝ycm，则AD＝AB−BD＝（8−y）cm，
在Rt△ADE中，AD2＝AE2＋DE2，∴（8−y）2＝42＋y2，
解得：y＝3，∴DE＝3cm．
【综合解答】
1．如图，在 中， ， ， ，在边 上有一点 ，将 沿直
线 折叠，点 恰好在 延长线上的点 处，求 的长．
2．如图，将长方形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，4)，点C的坐标为(m，0)
(m>0)，点D(m，1)在BC上，将长方形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E.
(1)当m＝3时，点B的坐标为________，点E的坐标为________；
(2)随着m的变化，试探索：点E能否恰好落在x轴上？若能，请求出m的值；若不能，请说明理
由．
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝a，AD是BC边上的中线，将A点翻折与点D重
合，得到折痕EF．
（1）若a＝4，求CE的长；
（2）求 的值．
4．已知，如图长方形 中， ， ，将此长方形折叠，使点B与点D重合，
折痕为 ，求 的长．
5．在矩形 中， ， ，点D为边 上一点，将 沿直线 折叠，使点B
恰好落在 边上的点E处，分别以 ， 所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，求点
D的坐标．6．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF
交边BC于点G，连接AG．
（1）求证：△ABG≌△AFG；
（2）求∠EAG的度数；
（3）求BG的长．
7．（1）如图①，Rt△ABC的斜边AC比直角边AB长2cm，另一直角边BC长为6cm，求AC的长．
（2）拓展：如图②，在图①的△ABC的边AB上取一点D，连接CD，将△ABC沿CD翻折，使点
B的对称点E落在边AC上．
①AE的长．
②求DE的长．
8．如图1，在△ABC，AB＝AC＝10，BC＝12．(1)求BC边上的高线长．
(2)点E是BC边上的动点，点D在边AB上，且AD＝4，连结DE．
①如图2，当点E是BC中点时，求△BDE的面积．
②如图3，沿DE将△BDE折叠得到△FDE，当DF与△ABC其中一边垂直时，求BE的长．
9．如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1，AB=CD=5，在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD
上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK．
（1）若∠1=70°，求∠MKN的度数；
（2）当折痕MN与对角线AC重合时，试求△MNK的面积．
（3）△MNK的面积能否小于0．5？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由；
10．在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，以 A 为顶点的 的两边始终与 轴交于
、 两点（ 在 左面），且 ．
（1）如图，连接 ，当 时，试说明： ．（2）过点 作 轴，垂足为 ，当 时，将 沿 所在直线翻折，翻折后边
交 轴于点 ，求点 的坐标.
11．综合与探究
在学习了轴对称变换后，我们经常会遇到三角形中的“折叠”问题，在解答这种问题时，通常会
考虑到折叠前与折叠后的图形全等，并利用全等图形的性质，即对应角相等，对应边相等来研究
解决数学中的“折叠”问题，每个小组剪了一些如图1所示的 纸片（ ， ，
）并进行探究：
（1）如图2，“奋斗”小组将 纸片沿DE折叠，使点C落在 外部的 处
①若 ， ，则 的度数为 ．
② ， ， 之间的数量关系为 ．
（2）如图3，“勤奋”小组将 沿DE折叠，使点C与点A重合，求BD的长；
（3）如图4，“雄鹰”小组将 沿AD折叠，使点B落在点E处，连接CE，当 为直角
三角形时，求BD的长．12．问题提出
（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝12，BC＝16，则AC＝ ；
问题探究
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，点D是AC边上一点，且满足DA＝DB，则
CD＝ ；
问题解决
（3）如图③，在Rt△ABC中，过点B作射线BP，将∠C折叠，折痕为EF，其中E为BC中点，
点F在AC边上，点C的对应点落在BP上的点D处，连接ED、FD，若BC＝8，求△BCD面积的
最大值，及面积最大时∠BCD的度数．
