专题19.4二次根式（章节复习）（知识荟萃+20个题型讲练+中考真题演练+难度分层练共55题）原卷版_初中数学人教版_八年级数学下册_保存转存之后查看(1)_2026春季新版-持续更新中_第二套-知

专题19.3 二次根式（章节复习） （知识荟萃+20个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共55题） 【原卷版】 知识荟萃 2 知识点梳理01：二次根式的相关概念和性质.............................................2 知识点梳理02：二次根式的运算.......................................................3 题型讲练...............................................................................4 题型1：二次根式的识别..............................................................4 题型2：求二次根式的值..............................................................4 题型3：求二次根式中的参数..........................................................4 题型4：二次根式有意义的条件........................................................5 题型5：利用二次根式的性质化简......................................................5 题型6：二次根式的乘法..............................................................5 题型7：二次根式的除法..............................................................5 题型8：二次根式的乘除混合运算......................................................5 题型9：最简二次根式的判断..........................................................6 题型10：化为最简二次根式...........................................................6 题型11：已知最简二次根式求参数.....................................................6 题型12：同类二次根式...............................................................6 题型13：二次根式的加减运算.........................................................6 题型14：二次根式的混合运算.........................................................7 题型15：分母有理化.................................................................7 题型16：已知字母的值，化简求值.....................................................8 题型17：已知条件式，化简求值.......................................................8 题型18：比较二次根式的大小.........................................................8 题型19：二次根式的应用.............................................................8 题型20：复合二次根式的化简.........................................................9 中考真题..............................................................................10分层训练..............................................................................10 基础夯实..........................................................................10 培优拔高..........................................................................11 知识点梳理01：二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式 1 3, , 0.02, 0 a(a0) 2 形如 的式子叫做二次根式，如 等式子，都叫做二次根式. 【易错点拨】 二次根式 a 有意义的条件是a0，即只有被开方数a0时，式子 a 才是二次根式， a 才有意 义. 2.二次根式的性质 （1） ； （2） ； （3） . 【易错点拨】 （1） 一个非负数 a可以写成它的算术平方根的平方的形式，即 a ( a)2 （ a0），如 1 1 2( 2)2; ( )2;x( x)2 3 3 （x0）. （2） a2 中a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值， a2 一定有意义.a2 a （3）化简 时，先将它化成 ，再根据绝对值的意义来进行化简. a2 ( a)2 （4） 与 的异同 不同点： a2 中a可以取任何实数，而 ( a)2 中的a必须取非负数； a2 = a ， ( a)2 =a（a0）. 相同点：被开方数都是非负数，当a取非负数时， a2 = ( a)2 . 3. 最简二次根式 （1）被开方数是整数或整式； （2)被开方数中不含能开方的因数或因式. 2, ab,3 x, a2 b2 满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如 等都是最简二次根式. 【易错点拨】 最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指 数2. 4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 【易错点拨】 判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如 2 与 8 ，由于 8 =2 2， 2 与 8 显然是同类二次根式. 知识点梳理02：二次根式的运算 1. 乘除法 （1）乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 积的算术平方根化简公式： 二次根式的乘法 a  b  ab(a0,b0) ab  a  b(a0,b0) a a 二次根式的除法 = (a0,b0) 商的算术平方根化简公式： b ba a  (a0,b0) b b 【易错点拨】 （1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如 a bc d ac bd . (4)(9)  4 9 （2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如 . 2.加减法 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并 同类二次根式. 【易错点拨】 二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类 23 25 2 (135) 2  2 二次根式.如 . 题型1：二次根式的识别 【典例精讲】（23-24八年级下·贵州遵义·月考）下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A．❑√−1.2 B．❑√2.4 C．√3−1.2 D．√32.4 【变式训练】（24-25八年级下·广西南宁·期中）下列根式是二次根式的是（ ） 1 A．√32 B． C．❑√3 D．2−2 2 题型2：求二次根式的值 【典例精讲】（2024八年级下·全国·专题练习）一滴雨滴下落到地面所用的时间ts与下落的高度hm满 1 足关系式h= gt2． 2 (1)用含h，g的式子表示t； (2)当h=490，g=9.8时，求t的值．【变式训练】（24-25八年级下·山东德州·开学考试）当x=−6时，❑√6−3x的值是 ． 题型3：求二次根式中的参数 【典例精讲】（24-25八年级下·江苏扬州·期末）若❑√3m是一个整数，则正整数m的最小值是 ． 【变式训练】（24-25八年级下·河南许昌·期末）若❑√24n是整数，则正整数n的最小值是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型4：二次根式有意义的条件 【典例精讲】（2025·浙江杭州·二模）若代数式❑√x−2有意义，则x的取值范围是 ． ❑√x+3 【变式训练】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）要使式子 有意义，则x的取值范围是 x−1 题型5：利用二次根式的性质化简 【典例精讲】（23-24八年级下·四川内江·月考）实数m，n在数轴上的位置如图所示，化简 的结果为（ ） |n−m)−❑√m2 A．n−2m B．−n−2m C．n D．−n 【变式训练】（24-25八年级下·广东江门·月考） ． ❑√(−5) 2= 题型6：二次根式的乘法 【典例精讲】（24-25八年级下·四川南充·期末）估算❑√6×❑√7−5的值在（ ）之间． A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 【变式训练】（23-24八年级下·山西吕梁·期末）公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希帕索 斯发现了无理数❑√2，导致了第一次数学危机．人们发现两个无理数的和，积，商不一定是无理数．已知 一个无理数与6−2❑√5的商是有理数．这个数可以是 ． 题型7：二次根式的除法 【典例精讲】（23-24八年级下·山东·期末）下列等式成立的是（ ） A．❑√2+❑√3=❑√5 B．❑√18=2❑√3 C．❑√2·❑√3=❑√5 D．❑√6÷❑√3=❑√2 【变式训练】（23-24八年级下·河南濮阳·期中）❑√18÷❑√2= ．题型8：二次根式的乘除混合运算 【典例精讲】（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°， ∠ADC=135°，AB=10，AD=6，则四边形ABCD的面积为 ． 【变式训练】（24-25八年级下·上海宝山·期末）计算：1 √12 ( 1 √18) ❑ ÷ − ❑ 2 x 4 x 题型9：最简二次根式的判断 【典例精讲】（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A．❑√32 B．❑√40 C．❑√1.5 D．❑√3 【变式训练】（23-24八年级下·山东·期末）下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． ❑√b2+ab2 ❑√6a2 ❑√5x ❑√18 y 题型10：化为最简二次根式 【典例精讲】（24-25八年级下·广西南宁·期末）下列是最简二次根式的是（ ） √1 2 A．❑√12 B．❑ C． D．❑√5 3 ❑√3 【变式训练】（24-25八年级下·四川自贡·月考）化简❑√27的结果是 ． 题型11：已知最简二次根式求参数 【典例精讲】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）如果最简二次根式❑√a−1与❑√2是同类二次根式，则 a= ． 【变式训练】（23-24八年级下·全国·单元测试）若 是最简二次根式，则自然数 ． ❑√3an n=题型12：同类二次根式 【典例精讲】（23-24八年级下·福建泉州·期末）最简二次根式❑√3+x与❑√5−3 y是同类二次根式，则 x+3 y= ． 【变式训练】（24-25八年级下·吉林长春·期末）最简二次根式❑√2+x与❑√5−3 y是同类二次根式，则 x+3 y= ． 题型13：二次根式的加减运算 【典例精讲】（24-25八年级下·四川泸州·期中）下列运算正确的是（ ） A．❑√5−❑√3=❑√2 B．❑√10÷❑√5=2 C． D． ❑√18−❑√8=❑√2 ❑√(2−❑√5) 2=2−❑√5 【变式训练】（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）计算： (1)❑√4−√38+|−❑√3|； (2) ． (2❑√2+❑√3)−2(❑√2−❑√3) 题型14：二次根式的混合运算 【典例精讲】（24-25八年级下·广西河池·期末）计算： √3 (1)❑√18−❑√12×❑ ； 2 (2) ． (❑√3+2) 2 −(❑√3−2)(❑√3+2) 【变式训练】（23-24八年级下·吉林·期末）计算：( √1 ) ． ❑√12−3❑ +❑√48 ÷2❑√3 3题型15：分母有理化 x+3 x−1 1 【典例精讲】（2024·湖南长沙·模拟预测）先化简，再求值： ⋅ + ，其中 x2−2x+1 x2+3x x x=1+❑√2024． 【变式训练】（24-25八年级下·贵州遵义·期中）阅读材料并解决问题： 1 ❑√3−❑√2 ❑√3−❑√2 像上述解题过程中， 与 相 = = =❑√3−❑√2 ， ❑√3+❑√2 ❑√3−❑√2 ❑√3+❑√2 (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2) (❑√3) 2 −(❑√2) 2 乘的积不含二次根式，我们称这两个式子互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化． 请仿照上面的方法，解决下列问题： 1 (1)❑√2+1的有理化因式是 ， = ； ❑√2+1 (2)计算：( 1 1 1 ) + +...+ ×(❑√50+1) ❑√2+1 ❑√3+❑√2 ❑√50+❑√49 题型16：已知字母的值，化简求值 【典例精讲】（23-24八年级下·陕西西安·月考）已知 ， ，求 的值． x=❑√3+❑√2 y=❑√3−❑√2 (x+ y) 2+xy 1 【变式训练】（2024八年级下·湖南长沙·竞赛）已知 x= ， 那么x2+2x−3的值是 ． ❑√2+1 题型17：已知条件式，化简求值 【典例精讲】（23-24八年级下·山东·期末）计算∶ √1 (1)(❑√40÷❑√5)+❑√5−❑ ×❑√15+❑√24； 3 (2)先化简，再求值∶ ，其中 ． (a+❑√5)(a−❑√5)−a(2a−1) a=❑√2−11 1 【变式训练】（24-25八年级下·全国·单元测试）已知a+ =❑√10，求a− 的值． a a 题型18：比较二次根式的大小 【典例精讲】（24-25八年级下·四川南充·期末）为了比较❑√26与❑√5+3的大小，可以构造如图所示的 图形进行推算，其中∠B=90°，AB=1，BC=2，BD=5．通过计算可得❑√26 ❑√5+3．（填“>” 或“<”或“=”） 【变式训练】（24-25八年级下·江苏南京·月考）比较大小：❑√10 1+❑√5（填“＞”、“＜”或 “=”）． 题型19：二次根式的应用 【典例精讲】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·月考）如图所示，有一张边长为6❑√3cm的正方形纸板， 现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小 正方形的边长为❑√3cm．请解答下列问题： (1)求剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积； (2)求长方体盒子的体积； (3)求长方体盒子的侧面积． 【变式训练】（23-24八年级下·陕西西安·月考）如果一个长方形的长为❑√24cm，宽为❑√12cm，求长方 形的面积．题型20：复合二次根式的化简 【典例精讲】（24-25八年级下·湖南岳阳·开学考试）化简： ． ❑√4−❑√10+2❑√5+❑√4+❑√10+2❑√5 【变式训练】（2025·福建宁德·二模）定义：若二次根式 可以表式成 的形式（其中 ， a+2❑√b (❑√m+❑√n) 2 a b，m，n都是整数），则称a+2❑√b为完整根式，❑√m+❑√n是a+2❑√b的完整平方根．例如：因为 ，所以 是一个完整根式， 是 的完整平方根． 5+2❑√6=(❑√3+❑√2) 2 5+2❑√6 ❑√3+❑√2 5+2❑√6 (1)判断：❑√5+❑√3是否是完整根式8+2❑√15的完整平方根，并说明理由； (2)若完整根式a+2❑√b的完整平方根是❑√m+❑√n，请用含m，n的代数式分别表示a，b； (3)若a+2❑√b是完整根式，证明：a2−4b一定是完全平方数． √ y 1．（2024·湖南长沙·中考真题）化去式子x2❑ 根号内的分母，结果为（ ） x A．x❑√xy B．−x❑√xy C．−❑√−xy D．|x)❑√xy 2．（2024·江苏南京·中考真题）若代数式 的值为3，则a的取值范围是（ ❑√(2020−a) 2+❑√(a−2023) 2 ） A． a≥2023 B． a≤2020 C． a=2020或a=2023 D．2020≤a≤2023 3．（2024·甘肃甘南·中考真题）观察下列等式，并解答下列问题． √ 1 1 √2 √ 1 1 √3 √ 1 1 √ 4 等式1：❑ = ❑ ，等式2：❑ = ❑ ，等式3：❑ = ❑ … 1×2×3 2 3 2×3×4 3 8 3×4×5 4 15 请写出等式6： ．4．（2024·全国·中考真题）计算： ； ． ❑√12÷❑√27×❑√18= (3❑√12−4❑√27)÷2❑√3= 5．（2024·四川南充·中考真题）计算：2❑√12−6❑ √1 +❑√3(❑√3−3)−(2−❑√5) 2 ． 3 基础夯实 1．（23-24八年级下·重庆江津·期末）估计( √1 ) 的值应在（ ） 2❑ +❑√6 ×❑√3 3 A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 2．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期末）下列二次根式，能与❑√3合并的是（ ） A．❑√12 B．❑√18 C．❑√24 D．❑√30 √ 1 3．（24-25八年级下·云南红河·期末）若式子❑ x− 有意义，则x的取值范围是 ． 2 4．（2025·山西大同·一模）❑√18= ． √1 5．（24-25八年级下·四川泸州·期中）计算：3❑√6×(❑√2−❑√12)−6❑ +2❑√50． 2 培优拔高 6．（24-25八年级下·全国·月考）若等腰三角形的两边长分别为❑√12和❑√50，则这个三角形的周长为（ ） A．2❑√3+10❑√2 B．4❑√3+5❑√2 C．4❑√3+10❑√2 D．4❑√3+5❑√2或2❑√3+10❑√2 7．（24-25八年级下·全国·期末）若 ，则 的取值范围在数轴上表示正 ❑√(x+1)(x−2) 2=(2−x)❑√x+1 x 确的是（ ）A． B． C． D． 8．（2024八年级下·全国·专题练习）已知：x=❑√3+1,y=❑√3−1，则x2−2xy+ y2= ． 9．（2024八年级下·广东江门·竞赛）设 1 1 1 1 S= + + +⋯+ ，则S= ． 6❑√4+4❑√6 8❑√6+6❑√8 10❑√8+8❑√10 100❑√98+98❑√100 10．（24-25八年级下·云南红河·期中）计算： ． −12+❑√27−|❑√3−1)+(3.14−π) 0