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第 03 讲 画轴对称图形
课程标准 学习目标
1. 掌握画对称轴和轴对称图形的方法与过程并能够熟练的画出
①画轴对称和轴对称图形的对称轴
相应的图像。
②轴对称变换
2. 掌握轴对称变换的概念与性质并能够灵活运用。
③画轴对称图形
3. 掌握用坐标表示轴对称的变换规律，能够熟练运用规律求坐
④用坐标表示轴对称
标。
知识点01 画轴对称或轴对称图形的对称轴
1. 画对称轴：
由轴对称与轴对称图形的性质可知，对称轴是任意一组对应点连线的 垂直平分线 ，所以作对称
轴即是作对应点连线的 垂直平分线 。
【即学即练1】1．画出下列轴对称图形的对称轴．
【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做
轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此解答即可．
【解答】解：如图所示：
【即学即练2】
2．如图，两个三角形成轴对称，画出对称轴．
【分析】根据轴对称的性质画出图形即可．
【解答】解：如图，直线m即为所求．
知识点02 轴对称变换
1. 轴对称变换的定义：
由一个平面图形得到与它关于某一条直线对称的图形的这一过程叫做轴对称变换。
2. 轴对称变换的性质：
①由一个平面图形可以得到与它关于某一条直线对称的图形，这两个图形 全等 。②新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线的 对称点 。
③连接任意一组对应点的线段一定被对称轴 垂直平分 。
知识点03 画轴对称图形
1. 轴对称与轴对称图形的作图：
具体步骤：
（1）找图形的 关键点 。
（2）过关键点作对称轴的 垂线 并延长，使延长部分的长度等于关键点到 垂足点 的长度，
从而得到关键点的 对应点 。
（3）按照 原图形 连接各对应点。
【即学即练1】
3．在下面各图中画△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC关于l成轴对称图形．
【分析】分别找出点A、B、C关于直线l的对称点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可．
【解答】解：△A′B′C′如图所示．
【即学即练2】
4．如图，已知四边形ABCD和直线l．
（1）作出四边形ABCD以直线l为对称轴的对称图形A′B′C′D′；
（2）分别延长4条线段，使它们相交，你发现什么？
（3）你能提出更多的问题吗？【分析】（1）从四点向l引垂线并延长，分别找到四点的对称点，然后顺次连接即可；
（2）分别延长4条线段，使它们相交，交点在对称轴上；
（3）可根据轴对称图形提问，如与AD相等的线段是哪一条等．此题答案不唯一．
【解答】（1）
；
（2）交点在对称轴上；
（3）与AD相等的线段是哪一条．
知识点04 用坐标表示轴对称
1. 关于坐标轴对称的点的坐标特点：
点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标为 （ x ，－ y ） 。
点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标为 （－ x ， y ） 。
总结：关于谁对称谁不变，另一坐标互为相反数。
2. 关于x＝m或y＝m对称的点的坐标：
P（a，b）关于直线x=m对称的点的坐标为 （ 2 m - a ， b ） 。
P（a，b）关于直线y=m对称的点的坐标为 （ a ， 2 m － b ） 。
【即学即练1】
5．在平面直角坐标系中，点M（1，2）关于y轴对称点的坐标为 （﹣ 1 ， 2 ） ．
【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案．
【解答】解：点M（1，2）关于y轴对称点的坐标为（﹣1，2），
故答案为：（﹣1，2）．
【即学即练2】
6．在平面直角坐标系中，点P（﹣3，﹣5）关于x轴对称的点的坐标是 （﹣ 3 ， 5 ） ．
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质进而得出答案．
【解答】解：点P（﹣3，﹣5）关于x轴对称的点的坐标是：（﹣3，5）．故答案为：（﹣3，5）．
【即学即练3】
7．点A（﹣3，5）与B（5，5）关于某一直线对称，则对称轴是（ ）
A．x轴 B．y轴 C．直线x＝1 D．直线y＝1
【分析】根据两点纵坐标相等，则两点连线平行于x轴，两点关于过线段中点的直线对称，进而得出答
案．
【解答】解：∵点A（﹣3，5）与B（5，5），两点纵坐标相等，
∴两点关于过线段中点的直线对称，即关于直线x＝ ＝1对称．
故选：C．
题型01 作轴对称或轴对称图形的对称轴
【典例1】画出图中的轴对称图形的所有对称轴．
【分析】根据轴对称图形的性质，对称轴两边的部分能够完全重合作出各图形的对称轴即可．
【解答】解：如图所示．
【变式1】图中两个五边形成轴对称吗？如果是，请你标出A，B，C三点的对称点，并想办法画出对称轴．
【分析】观察图形找出对应关系即可得到点A、B、C的对应点A′、B′、C′，连接AA′，作AA′
的垂直平分线即为对称轴．【解答】解：这两个五边形成轴对称，如图，AA′的垂直平分线l即为对称轴．
【变式2】如图，△PAC和△PBD关于某条直线成轴对称，请画出这条直线．
【分析】连接AB，取AB的中点E，作直线PE即为对称轴．
【解答】解：如图所示，直线PE即为对称轴．
【变式3】利用图形中的对称点，画出图形的对称轴．
【分析】根据轴对称图形的性质来画，先从图上找出几个对称点，连接，作垂直平分对应点连线的垂线
就是对称轴．
【解答】解：
【变式4】试找出下列两图形的对称轴．【分析】如果两个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这两个图形关于这条直线（成
轴）对称，这条直线叫做对称轴．
【解答】解：中对称图形是
．
题型02 作轴对称图形
【典例1】如图所示，已知四边形ABCD和过点A的直线MN，求作四边形A′B′C′D′，使四边形
A′B′C′D′与四边形ABCD关于直线MN对称．
【分析】分别作出D、B、C关于MN的对称点，再顺次连接即可．
【解答】解：如图所示：
．
【变式1】画出右上方图形关于直线l的对称图形．
【分析】根据轴对称的性质画出图形即可．【解答】解：如图所示：
【变式2】如图，作四边形ABCD关于直线l的轴对称四边形，并回答：如果这两个四边形的原图形与其
轴对称图形的对应线段或延长线相交，那么交点位置如何？
【分析】分别得出对应点关于直线l的对称点，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：四边形A′B′C′D′即为所求，
，
这两个四边形的原图形与其轴对称图形的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上．
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，5）．B（﹣4，3），C
（﹣1，1）．
（1）作出△ABC向右平移5个单位的△A B C ；
1 1 1
（2）作出△ABC关于x轴对称的△A B C ，并写出点C 的坐标．
2 2 2 2
（3）请求△ABC的面积．
【分析】（1）根据图形平移的性质画出△A B C 即可；
1 1 1
（2）分别作出各点关于x轴的对称点，再顺次连接，并写出点C 的坐标即可；
2
（3）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可．【解答】解：（1）如图，△A B C 即为所求；
1 1 1
（2）如图，△A B C 即为所求；
2 2 2
（3）S△ABC ＝3×4﹣ ×2×3﹣ ×2×2﹣ ×1×4＝12﹣3﹣2﹣2＝5．
题型03 求关于坐标轴对称的点的坐标
【典例1】点P（﹣3，5）关于y轴的对称点的坐标是 （ 3 ， 5 ） ．
【分析】利用关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，即点 P（x，y）关于y轴
的对称点P′的坐标是（﹣x，y），进而求出即可．
【解答】解：点P（﹣3，5）关于y轴的对称点的坐标是：（3，5）．
故答案为：（3，5）．
【变式1】点A（﹣3，4）关于y轴对称的坐标为 （ 3 ， 4 ） ．
【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可直接得到答案．
【解答】解：点A（﹣3，4）关于y轴对称的坐标为（3，4）．
故答案为：（3，4）；
【变式2】已知P（﹣4，3），与P关于x轴对称的点的坐标是 （﹣ 4 ，﹣ 3 ） ．
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．
【解答】解：P（﹣4，3），与P关于x轴对称的点的坐标是（﹣4，﹣3），
故答案为：（﹣4，﹣3）．
【变式3】已知点P（﹣2，1），那么点P关于x轴对称的点Q的坐标是 （﹣ 2 ，﹣ 1 ） ．
【分析】坐标平面内两个点关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数，点P关于x轴对称，可
得出点Q的值．
【解答】解：根据坐标平面内两个点关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数的特点，
得出点P关于x轴对称的点Q的坐标为（﹣2，﹣1），
故答案为：（﹣2，﹣1）．
题型04 求关于直线对称的点的坐标【典例1】在平面直角坐标系中，点P（2，4）关于直线x＝1的对称点的坐标是 （ 0 ， 4 ） ．
【分析】先求出点P到直线x＝1的距离，再根据对称性求出对称点P′到直线x＝1的距离，从而得到
点P′的横坐标，即可得解．
【解答】解：∵点P（2，4），
∴点P到直线x＝1的距离为2﹣1＝1，
∴点P关于直线x＝1的对称点P′到直线x＝1的距离为1，
∴点P′的横坐标为1﹣1＝0，
∴对称点P′的坐标为（0，4）．
故答案为：（0，4）．
【变式1】在平面直角坐标系中，点P（4，2）关于直线y＝﹣1的对称点的坐标是 （ 4 ，﹣ 4 ） ．
【分析】利用图象法求解即可．
【解答】解：如图，观察图象可知，
点P关于直线y＝﹣1的对称点Q的坐标为（4，﹣4），
故答案为（4，﹣4）．
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，直线l过点A且平行于x轴，交y轴于点（0，1），△ABC关于直
线l对称，点B的坐标为（﹣1，﹣1），则点C的坐标为（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣3，1）
【分析】根据轴对称的两点到对称轴的距离相等，即可得出答案．
【解答】解：根据题意得出点A和点B是关于直线y＝1对称的对应点，它们到y＝1的距离相等是2个
单位长度，
所以点C的坐标是（﹣1，1+2），即（﹣1，3）．
故选：B．
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，△ABC关于直线m（直线m上各点的横坐标都为1）对称，点C
的坐标为（4，1），则点B的坐标为（ ）A．（﹣2，1） B．（﹣3，1） C．（﹣2，﹣1） D．（2，1）
【分析】根据题意得出C，B关于直线m对称，即关于直线x＝1对称，进而得出答案．
【解答】解：∵△ABC关于直线m（直线m上各点的横坐标都为1）对称，
∴C，B关于直线m对称，即关于直线x＝1对称，
∵点C的坐标为（4，1），
∴ ＝1，
解得：x＝﹣2，
则点B的坐标为：（﹣2，1）．
故选：A．
【变式4】若点A（a，5），在第二象限，则点A关于直线m（直线m上各点的横坐标都是1）对称的点
坐标是（ ）
A．（﹣a，5） B．（2﹣a，5） C．（﹣a﹣4，﹣5） D．（﹣a﹣2，﹣5）
【分析】利用已知直线m上各点的横坐标都是1，得出其解析式，再利用对称点的性质得出答案．
【解答】解：∵直线m上各点的横坐标都是1，
∴直线为：x＝1，
∵点P（a，5）在第二象限，
∴a到1的距离为：1﹣a，
∴点P关于直线m对称的点的横坐标是：1﹣a+1＝2﹣a，
故P点对称的点的坐标是：（2﹣a，5）．
故选：B．
题型05 根据坐标的对称性求值
【典例1】如图，点P（﹣2，1）与点Q（a，b）关于直线l（y＝﹣1）对称，则a+b＝ ﹣ 5 ．【分析】利用轴对称的性质求出点Q的坐标即可．
【解答】解：∵点P（﹣2，1）与点Q（a，b）关于直线l（y＝﹣1）对称，
∴a＝﹣2，b＝﹣3，
∴a+b＝﹣2﹣3＝﹣5，
故答案为﹣5．
【变式1】若点P关于x轴的对称点为P （2a+b，﹣a+1），关于y轴的对称点为P （4﹣b，b+2），则P
1 2
点的坐标为（ ）
A．（9，3） B．（﹣9，3） C．（9，﹣3） D．（﹣9，﹣3）
【分析】点P关于x轴的对称点为P （2a+b，﹣a+1），则点P的坐标是（2a+b，a﹣1），点P关于y
1
轴的对称点为P （4﹣b，b+2），则的P的坐标是（b﹣4，b+2），因而就得到关于a，b的方程组，从
2
而求出a，b，得出点P的坐标．
【解答】解：根据题意得：
解得：
∴P点的坐标为（﹣9，﹣3）．
故选：D．
【变式2】已知，点M（a，2），B（3，b）关于x轴对称，则a+b＝（ ）
A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5
【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得a、b的值，根据有理数的加
法，可得答案．
【解答】解：∵点M（a，2），B（3，b）关于x轴对称，
∴a＝3，b＝﹣2．
a+b＝3﹣2＝1，
故选：C．
【变式3】已知点A（m﹣1，3）与点B（2，n﹣1）关于x轴对称，则（m+n）2021的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．32021
【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得m、n的值，进而可
得答案．
【解答】解：∵点A（m﹣1，3）与点B（2，n﹣1）关于x轴对称，
∴m﹣1＝2，n﹣1＝﹣3，∴m＝3，n＝﹣2，
∴（m+n）2021＝1，
故选：B．
【变式4】已知点P（a+1，2a﹣3）关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是（ ）
A．a＞ B．a＞﹣1 C．﹣1＜a＜ D．a＜
【分析】根据题意确定点P在四象限，再利用第四象限内点的坐标符号可得a的取值范围．
【解答】解：∵点P（a+1，2a﹣3）关于x轴的对称点在第一象限，
∴点P在四象限，
∴ ，
解得：﹣1＜a ，
故选：C．
1．若点P（﹣2，3）关于y轴的对称点为Q（a，b），则点Q坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣3） B．（2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，3）
【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特征进行判断即可．
【解答】解：由关于y轴的对称点的坐标特征可得，
点P（﹣2，3）关于y轴的对称点Q（a，b），则Q（2，3），
故选：B．
2．在平面直角坐标系xOy中，点P（﹣3，5）关于y轴的对称点在第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求出点P的对称点，再根据各象
限内点的坐标特征解答．
【解答】解：点P（﹣3，5）关于y轴的对称点是（3，5），
点（3，5）在第一象限．
故选：A．
3．点P（﹣2，b）与点Q（a，3）关于x轴对称，则a+b的值为（ ）
A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．
【解答】解：∵点P（﹣2，b）和点Q（a，3）关于x轴对称，∴a＝﹣2，b＝﹣3，
则a+b的值是：﹣5．
故选：B．
4．铜仁市少数民族众多，如图是带有苗族元素的刺绣花，它是一个轴对称图形，将其放置在平面直角坐
标系中，如果图中点A的坐标为（﹣3，n），其关于y轴对称的点B的坐标为（m，2），则m﹣n的值
为（ ）
A．﹣5 B．﹣1 C．5 D．1
【分析】根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同求出m、n的值即可得到答案．
【解答】解：∵A（﹣3，n），B（m，2）关于y轴对称，
∴m＝3，n＝2，
∴m﹣n＝3﹣2＝1．
故选：D．
5．已知点P（1﹣2a，a﹣1）关于y轴的对称点在第一象限，则a的值不可能是（ ）
A．5 B．3 C．2 D．0
【分析】根据题意可得点P在第二象限，再根据第二象限内点的坐标符号可得不等式组 ，
再解即可．
【解答】解：∵点P（1﹣2a，a﹣1）关于y轴的对称点在第一象限，
∴点P在第二象限，
∴ ，
解得：a＞1，
即a的值不可能是0．
故选：D．
6．已知A（﹣1，3），B（﹣1，﹣3），则下面结论中正确的是（ ）
A．A，B两点关于y轴对称 B．点A到y轴距离是3
C．点B到x轴距离是1 D．AB∥y轴
【分析】直接利用点的坐标意义结合两个点的横坐标相同，纵坐标符号不同，进而分析得出答案．
【解答】解：A．A，B两点关于x轴对称，故此选项不合题意；
B．点A到y轴距离是1，故此选项不合题意；C．点B到x轴距离是3，故此选项不合题意；
D．AB∥y轴，故此选项符合题意．
故选：D．
7．定义：两点关于某条直线对称，则称这条直线为这两个点的“幸福直线”．若点 A（1，2），幸福直线
是x＝﹣2，则点A关于这条幸福直线的对称点B的坐标，是（ ）
A．（﹣5，2） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）
【分析】由点A关于幸福直线x＝﹣2的对称点B的坐标，可知A、B的纵坐标相同，横坐标和的一半等
于﹣2，即B（﹣2×2﹣1，2），然后作答即可．
【解答】解：由题意知，B（﹣2×2﹣1，2），即B（﹣5，2），
故选：A．
8．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，将△ABC先向左平移3个单位，再作出其关于x轴的对
称图形，则A点的对应点的坐标为（ ）
A．（﹣3，﹣2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣2，﹣2） D．（﹣2，﹣3）
【分析】先根据平移的性质画出平移后的三角形，再根据关于x轴的点的坐标特点描出各点，把各点连
接起来，得出A点坐标即可．
【解答】解：如图所示：
△A′B′C′为平移后的三角形；
△A″B″C″为关于x轴的对称图形．
由图可知，A点的对应点A″（﹣2，﹣3）．
故选：D．9．已知点E（x ，y ），F（x ，y ），点M（x ，y ）是线段EF的中点，则 ， ．
0 0 2 2 1 1
在平面直角坐标系中有三个点A（1，﹣1），B（﹣1，﹣1），C（0，1），点P（0，2）关于A的对称
点为P （即P，A，P 三点共线，且PA＝P A），P 关于B的对称点为P ，P 关于C的对称点为P ，按
1 1 1 1 2 2 3
此规律继续以A，B，C为对称点重复前面的操作，依次得到 P ，P ，P ，…，则点P 的坐标是（
4 5 6 2024
）
A．（0，0） B．（0，2） C．（2，﹣4） D．（﹣4，2）
【分析】根据题目所给的信息，确定点P关于点A的对称点为P ，则点A为点P和点P 的中点，根据
1 1
公式 可以求出点P 的坐标，依次类推求出点P ，点P ，点P ，点P ，点
1 2 3 4 5
P ，点P ……总结规律，利用周期原理，求出点P 的坐标．
6 7 2024
【解答】解：设P （x，y），
1
∵点P（0，2）关于点A的对称点为P ，
1
∴点A为点P和点P 的中点，
1
∵A（1，﹣1），
∴ ，
∴x＝2，y＝﹣4，
∴P （2，﹣4），
1
同理可得：P （﹣4，2），P （4，0），P （﹣2，﹣2），P （0，0），P （0，2），P （2，﹣
2 3 4 5 6 7
4）……．，
∴每6个点坐标循环一次，
∵ ，
∴P （﹣4，2），
2024
∴每6个点坐标循环一次，
∴点P 的坐标是（﹣4，2）．
2024
故选：D．
10．如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点B坐标是（﹣5，2），
则经过第2023次变换后点B的对应点的坐标为（ ）
A．（﹣5，﹣2） B．（5，﹣2） C．（﹣5，2） D．（5，2）
【分析】观察图形不难发现，每四次变换为一个循环组循环，用2023除以4，根据余数的情况确定最后点B所在的象限，然后根据关于坐标轴对称的点的变化规律解答．
【解答】解：点B第一次关于x轴对称后在第三象限，点B第二次关于y轴对称后在第四象限，点B第
三次关于x轴对称后在第一象限，点B第四次关于y轴对称后在第二象限，
所以，每四次对称为一个循环组依次循环，
∵2023÷4＝505余3，
∴经过第2023次变换后所得的B点与第三次变换的位置相同，坐标为（5，2）．
故选：D．
11．已知点A（3x﹣6，4y+15），点B（5y，x）关于x轴对称，则x+y的值是 ﹣ 6 ．
【分析】熟悉：平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，﹣y）．
【解答】解：根据题意，得 ，
解得： ．
∴x+y＝﹣6．
12．在平面直角坐标系中，有一点 M（x，y），且满足 ，则点M关于x轴对称的点
N在第 一 象限．
【分析】根据非负数的性质可得 ，解得 ，则可得点M的坐标为（ ）．关于x
轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，由此可得点N的坐标，进而可得答案．
【解答】解：∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴点M的坐标为（ ），
∴点M关于x轴对称的点N的坐标为（ ），
∴点N在第一象限．
故答案为：一．
13．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一
幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，点E的坐标为（﹣2，﹣n），其关于y轴对称的点F的坐
标（2，﹣m+1），则（n﹣m）2023＝ ﹣ 1 ．【分析】利用关于y轴对称的点纵坐标相同，可得n﹣m＝﹣1，即可求出答案．
【解答】解：∵点E的坐标为（﹣2，﹣n），其关于y轴对称的点F的坐标（2，﹣m+1），
∴﹣n＝﹣m+1，
∴n﹣m＝﹣1，
∴（n﹣m）2023＝（﹣1）2023＝﹣1．
故答案为：﹣1．
14．在平面直角坐标系中，点P（2，4）关于直线y＝x的对称点的坐标是 （ 4 ， 2 ） ．
【分析】根据题意，画出示意图，结合所画图形即可解决问题．
【解答】解：如图所示，
PN⊥x轴，
∵点P坐标为（2，4），
∴点M坐标为（2，2），点N坐标为（2，0）．
则MN＝ON，
∴△OMN是等腰直角三角形，
∴∠OMN＝45°，
∴∠PME＝45°．
又∵点P和点Q关于直线y＝x对称，
∴∠QME＝∠PME＝45°，MQ＝PM＝2，
∴∠PMQ＝90°，
∴MQ∥x轴．
又∵点M的坐标为（2，2），∴点Q的坐标为（4，2）．
故答案为：（4，2）．
15．如图，在平面直角坐标系中，四边形AOCB是边长为2的正方形，A，C分别在y轴正半轴与x轴正半
轴上，P点坐标为（﹣1，1），将P点关于A对称得到P ，将P 关于O点对称得到P ，将P 关于C点
1 1 2 2
对称得到P ，将P 关于B点对称得到P ，将P 关于A点对称得到P ，……，按照顺序以此类推，则
3 3 4 4 5
P 的坐标为 （ 5 ， 3 ） ．
2023
【分析】探究规律，利用规律求解即可．
【解答】解：如图，由题意P（﹣1，1），P （1，3），P （﹣1，﹣3），P （5，3），P （﹣1，
1 2 3 4
1），
∴P 与P重合，四次一个循环，
4
∵2023÷4＝505…3，
∴P 与P 重合，
2023 3
∴P （5，3）．
2023
故答案为：（5，3）．
16．如图，三角形的三个顶点都在正方形网格的格点上，请在图①②③④中分别画出另一个三角形，使
它与已知的三角形关于某条直线成轴对称，并画出对称轴．【分析】根据画出的三角形与已知的三角形关于某条直线成轴对称，分别作图，即可作答．
【解答】解：如图所示：
17．如图，△ABC和△A′B′C′的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上，且△ABC和△A′B′C′
关于直线m成轴对称．
（1）直接写出△ABC的面积为 5 ；
（2）请在如图所示的网格中作出对称轴m；
（3）请在线段AC的右侧找一点D，画出△DCB，使△ABC≌△DCB．
【分析】（1）根据割补法求三角形的面积即可求解；
（2）连接BB′，CC′，根据网格的特点过BB′，CC′的中点作直线m，即可求解；
（3）根据轴对称的性质作出△DCB，即可．
【解答】解：（1）△ABC的面积为4×4﹣ ×1×2﹣ ×2×4﹣ ×3×4＝5，
故答案为：5；
（2）如图1，直线m即为所求．（3）如图2，△DCB即为所求．
18．如图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，图中给定的各点均在
格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，保留作图痕迹．
（1）在图①中，画出线段O′A'，使O′A′与OA关于直线l成轴对称．
（2）在图②中，画出△BCD的对称轴．
（3）在图③中，在线段EF上确定一点P，连结MP、NP，使∠MPF＝∠NPF．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）取CD的中点E，作直线BE即可．
（3）利用网格取格点P，使∠MPF＝∠NPF＝45°即可．
【解答】解：（1）如图①，线段O′A'即为所求．（2）如图②，取CD的中点E，作直线BE，
则直线BE即为所求．
（3）如图③，点P即为所求．
19．如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是 4 ；
（2）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为 （﹣ 4 ， 3 ） ；在平面直角坐标系中，作出与
△ABC关于y轴对称的△DEF；
（3）已知P为x轴上一点，若△ABP 的面积为1，求点P的坐标．直接写出点P的坐标．
【分析】（1）根据点A，B，C的坐标描点再连线即可；利用割补法求三角形的面积即可．
（2）关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此可得点D的坐标；根据轴对称的性质
作图即可．
（3）设点P的坐标为（m，0），根据题意可列方程为 ＝1，求出m的值，即可得出答
案．
【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求．
△ABC的面积是 ＝8﹣1﹣3＝4．
故答案为：4．
（2）∵点D与点C关于y轴对称，
∴点D的坐标为（﹣4，3）．如图，△DEF即为所求．
故答案为：（﹣4，3）．
（3）设点P的坐标为（m，0），
∵△ABP 的面积为1，
∴ ＝1，
解得m＝4或0，
∴点P的坐标为（4，0）或（0，0）．
20．在平面直角坐标系中，经过点M（0，m）且平行于x轴的直线记作直线y＝m．给出如下定义：①把
一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴
对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点叫做对称点，对称轴经过对称点所连线段的中点，并且垂
直于这条线段②将点P（x，y）关于y轴的对称点记作点P ，再将点P 关于直线y＝m的对称点记作点
1 1
P ，则称点P 为点P（x，y）关于y轴和直线y＝m的“青一对称点”．例如：点P（3，1）关于y轴和
2 2
直线y＝3的“青一对称点”为点P （﹣3，5）．
2
（1）点A（3，4）关于y轴和直线y＝1的“青一对称点”A 的坐标是 （﹣ 3 ，﹣ 2 ） ；
2
（2）点B（3m+n，m﹣n）关于y轴和直线y＝m的“青一对称点”B 的坐标是（﹣9，5），求m和n
2
的值；
（3）若点C（6x﹣5，2x+1）关于y轴和直线y＝m的“青一对称点”C 在第二象限，且满足条件的x
2
的整数解有且只有一个，求m的取值范围．
【分析】（1）根据定义可知P （﹣x，2m﹣y），结合所给的点代入即可求解；
2
（2）根据题意可得 ，解方程组即可求解；
（3）先求C （5﹣6x，2m﹣2x﹣1），再由C 在第二象限，可得5﹣6x＜0，2m﹣2x﹣1＞0，则x＞ ，
2 2
x＜m﹣ ，根据满足条件的x的整数解有且只有一个，得到1＜m﹣ ≤2，解得 ＜m≤ ．【解答】解：（1）P（x，y）关于y轴的对称点P （﹣x，y），P （﹣x，y）关于直线y＝m的对称点
1 1
P （﹣x，2m﹣y），
2
∵A（3，4），
∴点A（3，4）关于y轴和直线y＝1的“青一对称点”A 的坐标是（﹣3，﹣2），
2
故答案为：（﹣3，﹣2）；
（2）∵点B（3m+n，m﹣n）关于y轴和直线y＝m的“青一对称点”B 的坐标是（﹣9，5），
2
∴ ，
解得 ；
（3）点C（6x﹣5，2x+1）关于y轴和直线y＝m的“青一对称点”C 为（5﹣6x，2m﹣2x﹣1），
2
∵C 在第二象限，
2
∴5﹣6x＜0，2m﹣2x﹣1＞0，
∴x＞ ，x＜m﹣ ，
∵满足条件的x的整数解有且只有一个，
∴1＜m﹣ ≤2，
解得 ＜m≤ ．
