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2022-2023学年八年级数学下学期复习备考高分秘籍【人教版】
专题2.4勾股定理与实际问题十大类型大题专练（分层培优30题）
类型一、勾股定理与梯子问题
1．（2022秋·陕西西安·八年级校考期中）如图，一架长10米的梯子AB，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底
端离墙(BO)6米
(1)此时梯子顶端A离地面多少米?
(2)若梯子顶端A下滑3米到C处，那么梯子底端B将向左滑动多少米到D处?
2．（2022秋·山西晋中·八年级统考期中）如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一根竹竿斜靠在左
墙时，竹竿底端O到左墙角的距离OC为0.7米，顶端B距墙顶的距离AB为0.6米若保持竹竿底端位置不动，
将竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离OF为1.5米，顶端E距墙项D的距离DE为1米，点A、
B、C在一条直线上，点D、E、F在一条直线上，AC⊥CF，DF⊥CF．求：(1)墙的高度；
(2)竹竿的长度．
3．（2022秋·江苏扬州·八年级校联考期中）一架梯子AB长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙
7米．
(1)这个梯子的顶端距地面有多高？
(2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子底部在水平方向滑动了4米吗？为什么？
类型二、勾股定理与旗杆高度问题
4．（2022秋·山东济南·七年级校考期中）如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当它摆动到离底座最近时，
摆锤离底座的垂直高度DE=4cm，当它来回摆动到离底座的距离最高与最低时的水平距离为8cm时，摆
锤离底座的垂直高度BF=6cm，求钟摆AD的长度．5．（2022秋·山东济宁·七年级校考期中）如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触地面，
然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，请你求出旗杆的高度（滑轮上方的
部分忽略不计）．
6．（2022秋·山东枣庄·八年级统考期中）如图，为预防新冠疫情，某小区人口的正上方A处装有红外线激
光测温仪，测温仪离地面的距离AB=2.4米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体
体温．当身高为1.8米的市民CD正对门缓慢走到离门0.8米的地方时（即BC=0.8米），测温仪自动显示
体温，求此时人头顶离测温仪的距离AD．
类型三、勾股定理与大树折断问题
类型四、勾股定理与筷子问题
类型五、勾股定理与航海问题
7．（2022春·广东江门·八年级校考期中）如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面9米处折断倒下，
树顶落在离树根12米处，大树在折断之前高多少米？
8．（2022秋·陕西渭南·八年级统考期中）如图，一根垂直于地面的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折
断，顶部B着地且离旗杆底部的距离AB=4m．(1)求旗杆折断处C点距离地面的高度AC；
(2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1.25m的点D处，有一明显裂痕，若下次大风将修复好的
旗杆从点D处吹断，旗杆的顶点落在水平地面上的B′处，形成一个直角△ADB′，请求出AB′的长．
9．（2022秋·陕西咸阳·八年级统考期中）如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶
部B着地且离旗杆底部A的距离为4m．
(1)求旗杆距地面多高处折断（AC）；
(2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1m的点D处，有一条明显裂痕，将旗杆修复后，若下次
大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的风险？
类型三、勾股定理与大树折断问题
类型四、勾股定理与筷子问题
10．（2021春·云南红河·八年级校考期中）将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形
水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为
ℎ
cm，求h的取值范围
11．（2022春·内蒙古巴彦淖尔·八年级统考期中）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：
“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸（丈、尺是长度单位，1丈10尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，它高出水面1尺（即BC＝1尺）．如果把这根芦苇拉向水
池一边的中点，它的顶端B恰好到达池边的水面D处，问水的深度是多少？
12．（2022秋·山东菏泽·八年级统考期中）如图，一个直径为20cm的杯子，在它的正中间竖直放一根小
木棍，木棍露出杯子外2cm，当木棍倒向杯壁时（木棍底端不动），木棍顶端正好触到杯口，求木棍长度．
类型五、勾股定理与航海问题
13．（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）如图，海中有一小岛P，它的周围
12海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在M处测得小岛P在北偏东60°方向上，航行16海里到N
处，这时测得小岛P在北偏东30°方向上．
(1)求M点与小岛P的距离；
(2)如果渔船不改变航线继续向东航行，是否有触礁危险，并说明理由．
14．（2022秋·江苏·八年级期中）位于苏州乐园的漂流项目深受欢迎，在景区游船放置区，工作人员把偏
离的游船从点A拉回点B的位置（如图）．在离水面垂直高度为8m的岸上点C，工作人员用绳子拉船移动，开始时绳子AC的长为17m，工作人员以0.35米/秒的速度拉绳子，经过20秒后游船移动到点D的位置，问
此时游船移动的距离AD的长是多少？
15．（2022秋·广东深圳·八年级深圳市高级中学校考期中）如图所示，一艘轮船由A港口沿着北偏东60°
的方向航行100km到达B港口，然后再沿北偏西30°方向航行100km到达C港口．
(1)求A，C两港口之间的距离；（结果保留根号）
(2)C港口在A港口的什么方向．
类型六、勾股定理与宽度问题
16．（2022春·安徽·八年级校联考期中）如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另
一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD＝120°，BD＝400米，∠D＝30°．那么另一边开挖点E离D多
远正好使A、C、E三点在一直线上（√3≈1．732，结果精确到1米）？
17．（2020秋·四川成都·八年级统考期中）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A,B，其中AB=AC，由于某种原因，电C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在
河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，已知CB=√5千米，CH=2
千米，HB=1千米．
（1）CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明．
（2）求新路CH比原路CA少多少千米？
18．（2022春·湖南长沙·八年级长沙市长郡梅溪湖中学校考期中）去年某省将地处A，B两地的两所大学
合并成了一所综合性大学，为了方便A，B两地师生的交往，学校准备在相距2.732km的A，B两地之间修
筑一条笔直公路（即图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60度方向、B地的西偏北45度方向C处
有一个半径为0.7km的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？（参考数据√3≈1.732）
类型七、勾股定理与超速问题
19．（2022秋·广东佛山·八年级统考期中）“某市道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速
度不得超过70千米/时，如图，一辆小汽车在城市道路BC上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A
正前方60米的C处，过了4秒后到达B处（BC⊥AC），此时测得小汽车与车速检测仪间的距离AB为
100米，请问这辆小汽车是否超速？20．（2022春·湖北宜昌·八年级统考期中）超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小威等三位同
学在幸福大道段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100m的P处．这时，一
辆红旗轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3s，并测得∠APO=60°，
∠BPO=45°，
(1)求AP的长？
(2)试判断此车是否超过了80km/h的限制速度？（√3≈1.732）
21．（2022春·福建福州·八年级福建省福州第八中学校考期中）“中华人民共和国道路交通管理条例”规
定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h（约为19.4m/s）．如图，一辆小汽车在一条城市街路上
直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方40m的C处（即AC＝40m），过了2s后，
行驶到B处，测得小汽车与车速检测仪间距离AB为50m，问：这辆小汽车超速了吗？
类型八、勾股定理与台风影响问题
22．（2021秋·浙江嘉兴·八年级期中）如图，小明家位于笔直的公路MN一侧的点A处，且到公路MN的
距离AB为600m，现有一广播车在公路MN上以250m/min的速度沿MN方向行驶，已知广播车周围
1000m以内都能听到广播宣传，则小明家是否能听到广播宣传？若能，请求出小明家共能听到多长时间的
广播宣传？若不能，请说明理由．
23．（2022秋·浙江宁波·九年级校联考期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米的范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220km的B处有一台
风中心，该台风中心现在正以15km/h的速度沿北偏东30°方向移动，若在距离台风中心130km范围内都
要受到影响．（结果精确到0.01）（√2≈1.414，√3≈1.732，√5≈2.236）
(1)该城市是否会受到这次台风的影响？说明理由．
(2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？
24．（2022秋·广西贵港·九年级统考期中）如图，某货船以20海里/小时的速度将一批重要物资由A处运
往正西方向的目的地B处，经16小时的航行到达，到达后立即开始卸货，这时接到气象部门的通知，一台
风中心正以40海里/小时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）
都会受到影响．
(1)问B处是否会受到台风的影响请说明理由；
(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物？（结果保留根号）
类型九、勾股定理与选址问题
25．（2019春·山东济宁·八年级校考期中）为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图中的AB所在的
直线上建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，已
知，AB=2.5km，CA=1.5km，DB=1.0km，试问，图书室E应该建在距点A多少km知处．才能使它到
两所学校的距离相等？26．（2022秋·山东东营·七年级统考期中）如图，某电信公司计划在A，B两乡镇间的E处修建一座5G信
号塔，且使C，D两个村庄到E的距离相等．已知AD⊥AB于点A，BC⊥AB于点B，AB=80km，
AD=50km，BC=30km，求5G信号塔E应该建在离A乡镇多少千米的地方？
27．（2022秋·江苏·八年级统考期中）“三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建
设美丽中国的关键举措．如图，公路上A、B两点相距50km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，
CB⊥AB于B，已知DA=30km，CB=20km，现在要在公路AB上建一个土特产品市场E，使得C、D
两村庄到市场E的距离相等，则市场E应建在距A多少千米处?并判断此时ΔDEC的形状，请说明理由．
类型十、勾股定理与最短路径
28．（2022秋·陕西汉中·八年级校考期中）如图，一只蜘蛛从长方体的一个顶点A爬到另一顶点B，已知
长方体的长、宽高分别是AC是8cm，CD是7cm，BD是8cm，求这只蜘蛛爬行的最短距离是多少？29．（2022秋·甘肃酒泉·八年级统考期中）如图，一个圆柱体，高等于12cm，底面半径等于3cm，一只蚂
蚁在点A处，它要吃到上底面上与A点相对的点B处的食物，沿圆柱体侧面爬行的最短路程是多少cm（π
取3）
30．（2022秋·江苏扬州·八年级校考期中）如图a，圆柱的底面半径为4cm，圆柱高AB为2cm，BC是底面
直径，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线．小明设计了两条路线：
路线1：高线AB＋底面直径BC，如图a所示，设长度为l ．
1
路线2：侧面展开图中的线段AC，如图b所示，设长度为l ．
2
(1)你认为小明设计的哪条路线较短？请说明理由；
(2)小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱底面半径为2cm，高AB为4cm”继续按前面的路
线进行计算．（结果保留π）
①此时，路线1的长度l = ，路线2的长度l = ；
1 2
②所以选择哪条路线较短？试说明理由．
