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专题 24.1.2 垂直于弦的直径（专项训练）
1．（2022•无棣县一模）如图，在 O中，弦AB＝4，圆心O到AB的距离OC＝1，则 O
的半径长为（ ） ⊙ ⊙
A．2 B．2 C． D．
2．（2022•禅城区一模）如图， O中，半径OC＝2，弦AB垂直平分OC，则AB的长是
（ ） ⊙
A．3 B．4 C．2 D．4
3．（2021秋•瓦房店市期末）如图，在 O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于E，AB
＝8，OD＝5，则CE的长为（ ）⊙
A．4 B．2 C． D．14．（2021秋•嘉兴期末）如图， O的直径AB＝12，弦CD垂直AB于点P．若BP＝2，
则CD的长为（ ） ⊙
A．2 B．4 C．4 D．8
5．（2021秋•望城区期末）如图，AB是 O的直径，弦CD⊥AB于点E，若BE＝5，AE＝
1，则弦CD的长是（ ） ⊙
A．5 B． C． D．6
6．（2021秋•讷河市期末） O的直径AB＝10cm，弦CD⊥AB，垂足为P．若OP：OB＝
3：5，则CD的长为（ ⊙）
A．6cm B．4cm C．8cm D． cm
7．（2021秋•西青区期末）如图，OA是 O的半径，弦BC⊥OA，垂足为D．连接AC．
⊙
若BC＝ ，AC＝3，则 O的半径长为（ ）
⊙A．9 B．8 C． D．3
8．（2022•大兴区一模）如图，AB为 O的弦，半径OC⊥AB于点D，若AB＝8，CD＝
2，则OB的长是（ ） ⊙
A．3 B．4 C．5 D．6
9．（2022•德城区一模）把一个球放在长方体收纳箱中，截面如图所示，若箱子高16cm，
AB长16cm，则球的半径为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
10．（2021秋•衢州期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图 1，筒车盛水桶
的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且 O被水面截
得弦AB长为4米， O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点⊙C到弦AB所
在直线的距离是（ ⊙ ）A．1米 B．2米 C． 米 D． 米
11．（2021秋•东阳市期末）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面 O
半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB⊙上
升了（ ）cm．
A．1 B．3 C．3或4 D．1或7
12．（2021秋•呼和浩特期末）直径为10分米的圆柱形排水管，截面如图所示．若管内有
积水（阴影部分），水面宽AB为8分米，则积水的最大深度CD为（ ）
A．2分米 B．3分米 C．4分米 D．5分米
13．（2022•南海区校级一模）如图，武汉晴川桥可以近似地看作半径为 250m的圆弧，桥
拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为300m，那么这些钢索中
最长的一根为（ ）
A．50m B．45m C．40m D．60m14．（2020秋•甘井子区校级期末）一个圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知 AB＝
16m，半径OA＝10m，则高度CD的长为（ ）
A．2m B．4m C．6m D．8m
15．（2021秋•甘州区校级期末）在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，
不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画
出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为 1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆
材的直径为 寸．
16．（2020秋•饶平县校级期末）如图，AB是 O的直径，AB平分弦CD，交CD于点
E，∠AOC＝60°，OC＝2，求CD的长． ⊙
17．（2021秋•黔西南州期末）如图，在一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为60m，拱高PM
为18m，当洪水泛滥到跨度只有30m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面
只有4m，即PN＝4m时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施．专题 24.1.2 垂直于弦的直径（专项训练）
1．（2022•无棣县一模）如图，在 O中，弦AB＝4，圆心O到AB的距离OC＝1，则 O
的半径长为（ ） ⊙ ⊙
A．2 B．2 C． D．
【答案】C
【解答】解：根据题意，OC⊥AB，
∴∠ACO＝90°，AC＝BC＝ AB＝2，
在Rt△AOC中，OA＝ ＝ ＝ ，
即 O的半径长为 ．
⊙
故选：C
2．（2022•禅城区一模）如图， O中，半径OC＝2，弦AB垂直平分OC，则AB的长是
（ ） ⊙A．3 B．4 C．2 D．4
【答案】C
【解答】解：连接OA，OC交AB于D点，如图，
∵弦AB垂直平分OC，
∴OD＝CD＝ OC＝1，
在Rt△AOD中，AD＝ ＝ ，
∵OD⊥AB，
∴AD＝BD，
∴AB＝2AD＝2 ．
故选：C．
3．（2021秋•瓦房店市期末）如图，在 O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于E，AB
＝8，OD＝5，则CE的长为（ ）⊙
A．4 B．2 C． D．1
【答案】B
【解答】解：连接OA，如图，
∵AB⊥CD，
∴AE＝BE＝ AB＝4，在Rt△OAE中，OE＝ ＝ ＝3，
∴CE＝OC﹣OE＝5﹣3＝2．
故选：B．
4．（2021秋•嘉兴期末）如图， O的直径AB＝12，弦CD垂直AB于点P．若BP＝2，
则CD的长为（ ） ⊙
A．2 B．4 C．4 D．8
【答案】C
【解答】解：如图，连接OC，
∵AB＝12，
∴OC＝OB＝6，
∵PB＝2，
∴OP＝4，
在Rt△OPC中，CP＝ ，
∵CD⊥AB，
∴CP＝DP，
∴CD＝2PC＝ ．
故选：C．
5．（2021秋•望城区期末）如图，AB是 O的直径，弦CD⊥AB于点E，若BE＝5，AE＝
1，则弦CD的长是（ ） ⊙A．5 B． C． D．6
【答案】C
【解答】解：连接OC，
∵AB是 O的直径，弦CD⊥AB，BE＝5，AE＝1，
∴CD＝2⊙CE，∠OEC＝90°，AB＝AE+BE＝6，
∴OC＝OA＝3，
∴OE＝OA﹣AE＝3﹣1＝2，
在Rt△COE中，由勾股定理得：CE＝ ＝ ＝ ，
∴CD＝2CE＝2 ，
故选：C．
6．（2021秋•讷河市期末） O的直径AB＝10cm，弦CD⊥AB，垂足为P．若OP：OB＝
3：5，则CD的长为（ ⊙）
A．6cm B．4cm C．8cm D． cm
【答案】C
【解答】解：连接OC，
∵AB＝10cm，
∴OB＝5cm；
∵OP：OB＝3：5，
∴OP＝3cm；
Rt△OCP中，OC＝OB＝5cm，OP＝3cm；
由勾股定理，得：CP＝ ＝4cm；
∴CD＝2PC＝8cm，
故选：C7．（2021秋•西青区期末）如图，OA是 O的半径，弦BC⊥OA，垂足为D．连接AC．
⊙
若BC＝ ，AC＝3，则 O的半径长为（ ）
⊙
A．9 B．8 C． D．3
【答案】C
【解答】解：连接AC，OC，
∵CD⊥OA，垂足为D，BC＝ ，
∴∠ADC＝∠ODC＝90°，CD＝ BC＝ ，
∵AC＝3，
∴AD＝ ，
∵OA＝OC，
∴OD＝OC﹣AD＝OC﹣1，
在Rt△OCD中，OC2＝CD2+OD2，
即OC2＝（ ）2+（OC﹣1）2，
解得OC＝ ，
即 O的半径长为 ，
故⊙选：C．
8．（2022•大兴区一模）如图，AB为 O的弦，半径OC⊥AB于点D，若AB＝8，CD＝
2，则OB的长是（ ） ⊙A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解答】解：∵AB为 O的弦，半径OC⊥AB，且AB＝8，
⊙
∴AD＝BD＝ AB＝4，
设半径OB＝x，则OD＝x﹣2，
在Rt△BOD中，由勾股定理得，
OD2+BD2＝OB2，
即（x﹣2）2+42＝x2，
解得x＝5，
故选：C．
9．（2022•德城区一模）把一个球放在长方体收纳箱中，截面如图所示，若箱子高16cm，
AB长16cm，则球的半径为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【解答】解：AB的中点D，作CD⊥AB于点D，取CD上的球心O，连接OB，
设OB＝x，则OD＝16﹣x，BD＝8，
在直角三角形ODB中，BD2+MF2＝OB2，
即：（16﹣x）2+82＝x2，
解得：x＝10．
故选：B10．（2021秋•衢州期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图 1，筒车盛水桶
的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且 O被水面截
得弦AB长为4米， O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点⊙C到弦AB所
在直线的距离是（ ⊙ ）
A．1米 B．2米 C． 米 D． 米
【答案】C
【解答】解：连接OC，OC交AB于D，
由题意得：OA＝OC＝3米，OC⊥AB，
∴AD＝BD＝ AB＝2（米），∠ADO＝90°，
∴OD＝ ＝ ＝ （米），
∴CD＝OC﹣OD＝（3﹣ ）米，
即点C到弦AB所在直线的距离是（3﹣ ）米，
故选：C．
11．（2021秋•东阳市期末）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面 O
半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB⊙上
升了（ ）cm．A．1 B．3 C．3或4 D．1或7
【答案】D
【解答】解：当油面没超过圆心O，油面宽CD为8cm时，
过O作OG⊥AB于G，交CD于H，连接OA，OC，
则OH⊥CD，
∴AG＝ AB＝3（cm），CG＝ CD＝4（cm），
∵截面 O半径为5cm，
∴OA＝⊙5cm，
∴OG＝ ＝ ＝4（cm），OH＝ ＝ ＝3
（cm），
即弦AB的弦心距是4cm，弦CD的弦心距是3cm，
则OG﹣OH＝4﹣3＝1（cm），
即当油面没超过圆心O时，油上升了1cm；
当油面超过圆心O时，
同理得OH'＝3cm，
则OG+OH'＝4+3＝7（cm），
即油面AB上升了7cm；
故选：D．
12．（2021秋•呼和浩特期末）直径为10分米的圆柱形排水管，截面如图所示．若管内有
积水（阴影部分），水面宽AB为8分米，则积水的最大深度CD为（ ）
A．2分米 B．3分米 C．4分米 D．5分米
【答案】A【解答】解：连接OA，如图所示：
∵ O的直径为10分米，
∴⊙OA＝5分米，
由题意得：OD⊥AB，AB＝8分米，
∴AC＝BC＝ AB＝4分米，
∴OC＝ ＝ ＝3（分米），
∴水的最大深度CD＝OD﹣OC＝5﹣3＝2（分米），
故选：A．
13．（2022•南海区校级一模）如图，武汉晴川桥可以近似地看作半径为 250m的圆弧，桥
拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为300m，那么这些钢索中
最长的一根为（ ）
A．50m B．45m C．40m D．60m
【答案】A
【解答】解：设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交 于D，连接OA，如图所
示：
则OA＝OD＝250，AC＝BC＝ AB＝150，
∴OC＝ ＝ ＝200，
∴CD＝OD﹣OC＝250﹣200＝50（m），
即这些钢索中最长的一根为50m，
故选：A．
14．（2020秋•甘井子区校级期末）一个圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知 AB＝
16m，半径OA＝10m，则高度CD的长为（ ）A．2m B．4m C．6m D．8m
【答案】B
【解答】解：∵CD垂直平分AB，
∴AD＝ ＝8（m）．
∴OD＝ ＝6（m），
∴CD＝OC﹣OD＝10﹣6＝4（m）．
故选：B．
15．（2021秋•甘州区校级期末）在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，
不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画
出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为 1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆
材的直径为 寸．
【答案】26
【解答】解：设 O的半径为r．
在Rt△ADO中，⊙AD＝5，OD＝r﹣1，OA＝r，
由勾股定理得：r2＝52+（r﹣1）2，
解得：r＝13，
∴ O的直径为26寸，
故⊙答案为：26．
16．（2020秋•饶平县校级期末）如图，AB是 O的直径，AB平分弦CD，交CD于点
E，∠AOC＝60°，OC＝2，求CD的长． ⊙【答案】2 ．
【解答】解：∵AB是 O的直径，AB平分弦CD，
∴OA⊥CD，CE＝ED，⊙
∵∠AOC＝60°，OC＝2，
∴CE＝ ，
∴CD＝2 ．
17．（2021秋•黔西南州期末）如图，在一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为60m，拱高PM
为18m，当洪水泛滥到跨度只有30m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面
只有4m，即PN＝4m时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施．
【答案】不需要采取紧急措施
【解答】解：设圆弧所在圆的圆心为O，连接OA、OA′，设半径为x米，
则OA＝OA′＝OP，
由垂径定理可知AM＝BM，A′N＝B′N，
∵AB＝60米，
∴AM＝30米，且OM＝OP﹣PM＝（x﹣18）米，
在Rt△AOM中，由勾股定理可得AO2＝OM2+AM2，
即x2＝（x﹣18）2+302，解得x＝34，
∴ON＝OP﹣PN＝34﹣4＝30（米），
在Rt△A′ON中，由勾股定理可得A′N＝ ＝ ＝16（米），
∴A′B′＝32米＞30米，∴不需要采取紧急措施
