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第 08 讲 整式的加减（5 个知识点+4 种题型+过关检测）
知识点1．同类项
（1）定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
同类项中所含字母可以看成是数字、单项式、多项式等．
（2）注意事项：
①一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可；
②同类项与系数的大小无关；
③同类项与它们所含的字母顺序无关；
④所有常数项都是同类项．
知识点2．合并同类项
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学科网（北京）股份有限公司（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．
（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
（3）合并同类项时要注意以下三点：
①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字
母指数；
②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式
的目的；
③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．
知识点3．去括号与添括号
（1）去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数
是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
（2）去括号规律：①a+（b+c）＝a+b+c，括号前是“+”号，去括号时连同它前面的“+”号一起去掉，括号内各项
不变号；②a﹣（b﹣c）＝a﹣b+c，括号前是“﹣”号，去括号时连同它前面的“﹣”号一起去掉，括号内各项都要
变号．
说明：①去括号法则是根据乘法分配律推出的；②去括号时改变了式子的形式，但并没有改变式子的值．
（3）添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号
里的各项都改变符号．
添括号与去括号可互相检验．
知识点4．整式的加减
（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．
（2）整式的加减实质上就是合并同类项．
（3）整式加减的应用：
①认真审题，弄清已知和未知的关系；
②根据题意列出算式；
③计算结果，根据结果解答实际问题．
【规律方法】整式的加减步骤及注意问题
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学科网（北京）股份有限公司1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后
括号内的各项都要改变符号．
知识点5．整式的加减—化简求值
给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值
直接代入整式中计算．
题型一、整式加减运算
1．（23-24七年级上·四川攀枝花·期中）一个多项式与 的和是 ，则这个多项式为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知 ，则 ．
3．（2024七年级上·全国·专题练习）马虎同学在计算一个多项式 减去另一个多项式 时，错将减号抄成
了加号，于是他得到的结果是 ，请问如果不抄错，正确答案该是多少？
题型二、整式加减应用
4．（23-24七年级上·贵州遵义·期末）已知某个长方形相邻的两边长为 和 ，那么这个长方形的周长为
（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25七年级上·全国·单元测试）一列火车原有 人，中途有一半人下车，又有若干人上车，现在车上有
人，则上车的人数是 ．
6．（24-25七年级上·全国·单元测试）将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表．
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学科网（北京）股份有限公司(1)十字框中的五个数之和与中间数15有什么关系？
(2)设中间数为a，如何用代数式表示十字框中五个数之和？
(3)若将十字框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述的规律吗？
(4)十字框中的五个数之和能为2018吗？ 能为2025吗？
题型三、整式的加减中的化简求值
7．（2024·山东济南·二模）已知a是方程 的解，则代数式 的值为（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
8．（24-25七年级上·全国·单元测试）已知 ， ，则代数式 的值是 ．
9．（24-25七年级上·全国·课后作业）我们知道， ，类似地，我们把 看成一个整体，
则 ．“整体思想”是中学数学中一种重要的思想方法，它在多项
式的化简与求值中应用极为广泛．
(1)把 看成一个整体，化简： ；
(2)已知 ，求（1）中整式的值；
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学科网（北京）股份有限公司(3)先化简，再求值： ，其中 ．
题型四、整式加减中的无关问题
10．（24-25七年级上·全国·单元测试）多项式 与 的差中不含 项，则m的值为（ ）
A．9 B．3 C．1 D．
11．（24-25七年级上·全国·课后作业）当关于x的多项式 中不含二次项和一次项时，
， ．
12．（2024七年级上·全国·专题练习）老师写出一个整式： ，其中 、 为常数，且表示为
系数，然后让同学们给 、 赋予不同的数值进行计算．
(1)甲同学给出了一组数据，然后计算的结果为 ，则甲同学给出 、 的值分别是 ， ；
(2)乙同学给出了 ， ，请按照乙同学给出的数值化简整式；
(3)丙同学给出一组数，计算的最后结果与x的取值无关，请直接写出丙同学的计算结果．
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学科网（北京）股份有限公司一、单选题
1．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列运算中正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．对多项式 添括号，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．不改变代数式的值，把 的二次项放在前面带有“+”号的括号里，把一次项放在前面带有“-”号的括
号里，正确的是（ ）
6
学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
7．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．设A是一个三次多项式，B是一个四次多项式，则 的次数是（ ）
A．7 B．4 C．3 D．4或3
9．如图，六边形是由9个等边三角形拼成的，若中间的小等边三角形的周长为 ，那么六边形的周长为（ ）．
A． B． C． D．
10．任意写下一个两位数，用它两个数位的数字和的10倍减去这个两位数，得差．然后对差重复这一运算程序……，
以下结论正确的是（ ）
A．差是7的倍数 B．差是8的倍数 C．差是9的倍数 D．差是10的倍数
二、填空题
11．化简： ．
12．若a＜3，则|a﹣3|﹣（1﹣a）的值是 ．
13．若关于x的多项式 中不含二次项，则 ．
14．若两个单项式 与 的和仍然是单项式，则和的次数为 ．
15．当 的值为 时， 与 的和不含 的一次项．
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学科网（北京）股份有限公司16．已知有理数 ， ， 对应的点在数轴上的位置如图所示，且 ，化简： 的结果为 ．
17．甲、乙、丙三名同学在课间玩卡牌互动游戏：首先三名同学手上有着相同数量的卡牌（假定每名同学手中的卡牌
数量足够多），然后依次完成以下三个步骤：
第一步，甲同学拿出三张卡牌给乙同学；
第二步，丙同学拿出五张卡牌给乙同学；
第三步，甲同学手中此时有多少张卡牌，乙同学就拿出多少张卡牌给甲同学．
请你确定，最终乙同学手中剩余的卡牌的张数为 ．
18．对数轴上的点P按照如下方式进行操作：先把点P表示的数乘以3，再把表示得到的这个数的点沿数轴向右平移
1个单位长度，得到点P′．这样的操作称为点P的“倍移”，数轴上的点A、B经过“倍移”后，得到的点分别为
A′、B′，将点A′、B′，若A′B′＝2022，则AB＝ ．
三、解答题
19．小林到某纸箱厂参加社会实践，该厂计划用50张白板纸制作某种型号的长方体纸箱，如图，每张白板纸有
三种剪裁方法，其中 种裁法：裁成4个侧面； 种裁法：裁成3个侧面与2个底面； 种裁法：裁成2个侧
面与4个底面．已知四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱．设按 种方法剪裁的白板纸有 张，按 种方法剪裁
的白板纸有 张．
(1)按 种方法剪裁的白板纸有______张．（用含 的式子表示）
(2)将50张白板纸剪裁完后，一共可以裁出多少个侧面与多少个底面？（用含 的式子表示，结果要化简）
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学科网（北京）股份有限公司20．小亮房间窗户的窗帘如图（1）所示，它是由两个四分之一圆组成（半径相同）．
(1)如图（1），请用代数式表示窗帘的面积：________；用代数式表示窗户能射进阳光的面积：__________；（结果
保留π）
(2)小亮又设计了如图（2）的窗帘（由一个半圆和两个四分之一圆组成，半径相同），请你用代数式表示窗户能射进
阳光的面积：________；（结果保留π）
(3)当 米， 米时，图（2）中窗户能射进阳光的面积与图（1）中窗户能射进阳光的面积的差为________（π
取3）
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学科网（北京）股份有限公司21．整式加减：
(1)整式化简： ．
(2)先化简，再求值： ，其中 ， ．
22．有一个三位数，其百位数字为 ，十位数字为 ，个位数字为 ．若这个三位数百位数字的4倍加上十位数字的2
倍，再加上个位数字的和能被8整除，则称这个三位数是“航天数”．如：232， ，故232是
“航天数”．
（1）请你写出最小的三位“航天数”______；并判断448是否是“航天数”；
（2）请证明任何一个三位“航天数”能被8整除，
23．我校七年级有象棋、足球、演讲、美术共四个社团，参加象棋社团的有x人，参加足球社团的人数比象棋社团的
人数的两倍少y人，参加演讲社团的人数比足球社团人数的一半多1人，每个学生都限报一项，参加社团的学生共有
人．
(1)足球社团有________人，演讲社团有________人．（用含x，y的式子表示）
(2)若 ， ，求美术社团的人数．
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学科网（北京）股份有限公司24．“歌唱家在家唱歌”“蜜蜂酿蜂蜜”这两句话从左往右读和从右往左读，结果完全相同．文学上把这样的现象称
为“回文”，数学上也有类似的“回文数”，比如252，7887，34143．小明在计算两位数减法的过程中意外地发现有
些等式从左往右读的结果和从右往左读的结果一样，如： ； ； ．数学
上把这类等式叫做“减法回文等式”．
(1)观察以上等式，请你再写出一个“减法回文等式”；
(2)请归纳“减法回文等式”的被减数 （十位数字为 ，个位数字为 ）与减数 应满足的条件，并证明．
25．如图：
(1)在数轴上标出数 、 、 、 所对应的点 、 、 、 ；
(2) 、 两点间距离=______； 、 两点间距离=______； 、 两点间距离 ______；
(3)设数轴上两点 、 ，点 对应的数为 、 点对应的数为 ，（点 在点 的左侧），那么 、 两点之
间的距离 ______；
(4)若动点 、 分别从点 、 同时出发，沿数轴负方向运动；已知点 的速度是每秒 个单位长度，点 的速度是
每秒 个单位长度，则 秒后 、 两点之间的距离是______．
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学科网（北京）股份有限公司(5)有理数 ， 在数轴上对应的位置如图所示，试简化： ．
26．某“综合与实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为 （ ）的正方形纸板制作出
两种不同方案的长方体盒子（图 为无盖的长方体纸盒，图 为有盖的长方体纸盒），请你动手操作验证制作的可行
性并解答问题．（纸板厚度及接缝处忽略不计）
【动手操作一】根据图 方式制作一个无盖的长方体纸盒．方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为 （ ）
的小正方形，再沿虚线折合起来．
(1)该长方体纸盒的底面面积为 ；（用含 ， 的代数式表示）
(2)若 ， ，则长方体纸盒的底面积为 ，体积为 ．
【动手操作二】根据图 方式制作一个有盖的长方体纸盒．方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为 （ ）的
小正方形和两个同样大小的边长适当的小长方形，再沿虚线折合起来．
(3)该长方体纸盒的底面积为 ；（用含 ， 的代数式表示）
(4)长方体纸盒的体积为 ．（用含 ， 的代数式表示）
【问题解决】
(5)现有两张边长均为 的正方形纸板，分别按图 、图 的要求制作无盖和有盖的两个长方体盒子，那么无盖盒子的
体积是有盖盒子体积的多少倍？
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