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专题 26.21 实际问题与反比例函数（基础篇）（专项练习）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．越野滑雪起源于北欧，又称北欧滑雪，是世界运动史上最古老的运动项目之一．在
北京冬奥会男子30km越野滑雪比赛中，某运动员的滑行速度 （单位：km/h）与滑行时间
（单位：h）之间的函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
2．古希腊学者阿基米德发现了著名的“杠杆原理”：杠杆平衡时，阻力×阻力臂=动
力×动力臂．几位同学玩撬石头游戏，已知阻力（石头重量）和阻力臂分别为1600N和
0.5m，小明最多能使出500N的力量，若要撬动这块大石头，他该选择撬棍的动力臂（
）
A．至多为 B．至少为 C．至多为 D．至少为
3．疫情期间，某校工作人员对教室进行消毒时，室内每立方米空气中的含药量y（毫
升）与喷洒消毒液的时间x（分钟）成正比例关系，喷洒完成后，y与x成反比例关系（如
图所示）．已知喷洒消毒液用时6分钟，此时室内每立方米空气中的含药量为16毫升．问
室内每立方米空气中的含药量不低于8毫升的持续时间为（ ）
A．7分钟 B．8分钟 C．9分钟 D．10分钟
4．某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强
是气球体积 的反比例函数，其图像经过点A（如图）．当气球内的气压大于
144kPa时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，该气球的体积应（ ）A．不大于 B．不小于 C．不大于 D．不小于
5．如图是一个闭合电路，其电源的电压为定值，电流 （A）是电阻 （ ）的反比
例函数．当 时， ．若电阻 增大 ，则电源 为（ ）
A．3A B．4A C．7A D．12A
6．某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度
为18℃的条件下生长最快的新品种蔬菜．上图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大
棚内温度y（℃）随时间x（小时）变化的函数图像，其中BC段是双曲线 （k≠0）的
一部分，则当x ＝ 16时，大棚内的温度约为（ ）
A．18℃ B．15.5℃ C．13.5℃ D．12℃
7．一杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固
定不变．甲、乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力 ，
将相同重量的水桶吊起同样的高度，若 ，则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是（ ）
A．甲同学 B．乙同学 C．丙同学 D．丁同学
8．如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电
流的变化来实现，如图2是该台灯的电流 与电阻 成反比例函数的图象，该图象经
过点 ．根据图象可知，下列说法正确的是（ ）
A．当 时，
B． I与R的函数关系式是
C．当 时，
D．当 时，I的取值范围是
9．某项工作，已知每人每天完成的工作量相同，且一个人完成需12天．若m个人共
同完成需n天，选取6组数对 ，在坐标系中进行描点，则正确的是（ ）A． B．
C． D．
10．小明在实验中测得一组导线电阻 与横截面积 的对应值如图, 根据图
中数据, 关于 的函数表达式可为( )
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．研究发现，近视镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例函数关系，小明佩
戴的400度近视镜片的焦距为0.25米，经过一段时间的矫正治疗加之注意用眼和健康，现
在镜片焦距为0.5米，则小明的近视镜度数可以调整为__________度．
12．一辆汽车前灯电路上的电压U（V）保持不变，选用灯泡的电阻为R（Ω），通过
的电流强度为I（A），由欧姆定律可知，I ．当电阻为40Ω时，测得通过的电流强度
为0.3A．为保证电流强度不低于0.2A且不超过0.6A，则选用灯泡电阻R的取值范围是
____．13．一辆汽车从甲地开往乙地，随着汽车平均速度 的变化，到达时所用的时
间 的变化情况如图所示，那么行驶过程中 与 的函数表达式为________．
14．我国自主研发多种新冠病毒有效用药已经用于临床救治．某新冠病毒研究团队测
得成人注射一针某种药物后体内抗体浓度y（微克/ml）与注射时间x天之间的函数关系如
图所示（当 时，y与x是正比例函数关系；当 时，y与x是反比例函数关系）．
则体内抗体浓度y高于70微克/ml时，相应的自变量x的取值范围是______．
15．小明要把一篇文章录入电脑，所需时间 与录入文字的速度 （字 ）之
间的反比例函数关系如图所示，如果小明要在 内完成录入任务，则小明录入文字的速
度至少为______字 ．16．设矩形的两条邻边长分别为x，y，且满足 ．若此矩形能被分割成3个全等的
正方形，则这个矩形的对角线长是________．
17．如图，每个台阶的高和宽分别是1和2，台阶凸出的角的顶点记作 （其中 为
1～8的整数），函数 的图象为曲线 ．若曲线 使得 这些点分布在它的
两侧，每侧各4个点，则 的取值范围为______．
18．某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体实验．测
得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（时）之间的函数关系如图所
示（当 时，y与x成反比）.则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为
_________小时
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以 的平均速度用 到达目的
地．
（1）当他按原路匀速返回时，汽车的速度v与时间t有怎样的函数关系？
（2）如果该司机必须在 之内回到甲地，那么返程时的平均速度不能小于多少？20．（8分）已知某蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻
R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1) 求这个反比例函数的解析式；
(2) 如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过3A，那么用电器可变电阻应
控制在什么范围？
21．（10分）已知学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如下图所示，
当 和 时，函数图象是线段；当 时，图象是反比例函数的一
部分，BC∥AD∥x轴．
(1) 求点D坐标；
(2) 当x满足什么条件时，学生注意力指标不低于30．22．（10分）如图1，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记
录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示：
桌面所受压强P（Pa） 400 500 800 1000 1250
受力面积S（ ） 0.5 0.4 a 0.2 0.16
(1) 根据表中数据，求出压强P（Pa）关于受力面积S（ ）的函数表达式及a的值．
(2) 如图2，将另一长，宽，高分别为60cm，20cm，10cm，且与原长方体相同重量的
长方体放置于该水平玻璃桌面上．若玻璃桌面能承受的最大压强为2000Pa，问：这种摆放
方式是否安全？请判断并说明理由．
23．（10分）如图点A是反比例函数图像上的一点， 轴，垂足为B，三角形
ABO面积为1500．
(1) 直接写出y与x之间的函数表达式______；
(2) 若图像的另一支可以表示老李从家里出发步行到单位所需时间 与速度
之间的关系，则：
① 老李家距离单位_____m；
② 若老李每天都七点一刻出发，单位上班时间为8点，但是员工必须提前5分钟到岗，
请你用函数的性质说明老李步行速度至少为多少 才能不迟到？24．（12分）西安市某校为进一步预防“新型冠状病毒”，对全校所有的教室都进行
了“熏药法消毒”处理，已知该药物在燃烧释放过程中，教室内空气中每立方米的含药量
y（mg）与燃烧时间x（min）之间的函数关系如图所示，其中当x＜6时，y是x的正比例
函数，当 时，y是x的反比例函数，根据图象提供的信息，解答下列问题：
(1) 求当x≥6时，y与x的函数关系式．
(2) 求点A的坐标．
(3) 药物燃烧释放过程中，若空气中每立方米的含药量不小于1.5mg的时间超过30分
钟，即为有效消毒，请问本题中的消毒是否为有效消毒？参考答案
1．B
【分析】根据速度乘以时间等于定值30即可求解．
解：在北京冬奥会男子30km越野滑雪比赛中，某运动员的滑行速度 （单位：km/h）
与滑行时间 （单位：h）之间的函数关系式是 ，
故选B．
【点拨】本题考查了反比例函数的应用，根据题意列出关系式是解题的关键．
2．B
【分析】直接利用：阻力×阻力臂=动力×动力臂，进而得出F与l之间的函数表达式；
把F=500N代入所求的函数解析式即可得到结论．
解：由题意可得：1600×0.5=Fl，
则F与l的函数表达式为：F= ；
当动力F=500N时，
500= ，
解得l= =1.6，
答：动力F=500N时，动力臂至少为1.6m，
故选：B．
【点拨】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出F与l之间的关系是解题关键．
3．C
【分析】分0≤x≤6和x＞6两种情况，利用待定系数法分别求出对应的一次函数和反比例函数解析式，在两个函数解析式中求出y=8时，x的值，从而得到有效消毒时间．
解：当0≤x≤6时，设y=mx，
将点（6，16）代入，得：16=6m，解得m= ，
∴y= ；
当x＞6时，设y= ，
将点（6，16）代入，得：16= ，
解得：n=96，
∴y= ；
综上，y= ；
当0≤x≤6时，若y=8，则 x=8，
解得x=3；
当x＞6时，若y=8，则 ，
解得x=12；
∴12-3=9（分钟），
故室内每立方米空气中的含药量不低于8毫升的持续时间为9分钟．
故选：C．
【点拨】本题主要考查反比例函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析
式．
4．B
【分析】根据题意可知温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m3）
的反比例函数，且过点（1，96）故P•V=96；故当P≤144，可判断V≥ ．
解：设球内气体的气压P（kPa）和气体体积V（m3）的关系式为P=
∵图象过点（1，96）∴k=96，
即P=
在第一象限内，P随V的增大而减小，
∴当P≤144时，V≥ ．
故选：B．
【点拨】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据图象上的已知点的坐标，
利用待定系数法求出函数解析式．
5．B
【分析】根据 ，可得 ，当 时，代入 即可求得
解： ，当 时， ．
当 时，
故选B
【点拨】本题考查了反比例函数的应用，掌握物理电学公式是解题的关键．
6．C
【分析】利用待定系数法求反比例函数解析式后将x=16代入函数解析式求出y的值即
可．
解：∵点B（12，18）在双曲线 上，
∴ ，
解得：k=216．
当x=16时，y= =13.5，
所以当x=16时，大棚内的温度约为13.5℃．
故选：C．
【点拨】此题主要考查了反比例函数的应用，求出反比例函数解析式是解题关键．
7．B
【分析】根据物理知识中的杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂，力臂越大，用力
越小，即可求解．解：由物理知识得，力臂越大，用力越小，
根据题意，∵ ，且将相同重量的水桶吊起同样的高度，
∴乙同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远，
故选：B．
【点拨】本题考查反比例函数的应用，属于数学与物理学科的结合题型，立意新颖，
掌握物理中的杠杆原理是解答的关键．
8．D
【分析】先求出I与R的函数关系式是 ，可得I随R的增大而减小，再
逐项判断即可求解．
解：解∶设电流 与电阻 的函数关系式为 （R＞0），
把点 代入得： ，解得： ，
∴I与R的函数关系式是 ，故B错误；
∴I随R的增大而减小，
当R=0.25时，I=880，
∴当 时， ，故A错误；
当R=1000时，I=0.22，
∴当 时， ，故C错误；
当R=880时，I=0.25，
∴当 时，I的取值范围是 ，故D正确；
故选：D
【点拨】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性
质是解题的关键．
9．C
【分析】根据题意建立函数模型可得 ，即 ，符合反比例函数，根据反比
例函数的图象进行判断即可求解．
解：依题意，，
， 且为整数．
故选C．
【点拨】本题考查了反比例数的应用，根据题意建立函数模型是解题的关键．
10．B
【分析】根据图中数据可得，所有点的横纵坐标之积约等于6，可得
解：观察图中数据， ， ， ， ， ， ，所有点的横
纵坐标之积约等于6，
∴
故选B
【点拨】本题考查了反比例函数的定义，观察函数图象各点的特点是解题的关键．
11．200
【分析】设函数的解析式为 ，由x= 400时，y= 0.25可求k，进而可求函数
关系式，然后把x = 0.5代入解析式，即可求得答案．
解：设函数的解析式为 ，
∵400度近视镜片的焦距为0.25米，
∴ ，
解得k=100，
∴函数的解析式为 ，
∴当x = 0.5时， ，
∴小明的近视镜度数可以调整为200度．
故答案为：200．
【点拨】本题考查了反比例函数的应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关
键．
12．【分析】由题意易得 V，然后根据反比例函数的性质可进行求解．
解：由题意得： V，
∴ ，
∴在每个象限内，I随R的增大而减小，
∴当 A时，则有： Ω；当 A时，则有： Ω；
∴选用灯泡电阻R的取值范围是 ；
故答案为 ．
【点拨】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题
的关键．
13．
【分析】观察图象可知 与 成反比例函数关系，可设 与 的关系式为： ，将点
代入求得 ，进而得到 与 的关系式．
解：由图象可知 与 成反比例函数关系，
设 与 的关系式为： ，
将点 代入得： ，
∴ ，
∴ 与 的关系式为： ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了反比例函数的应用，理解题意和熟练掌握待定系数法是解本题的
关键．
14．
【分析】根据函数图像求得正比例函数和反比例函数，进而根据题意求得 时的
自变量x的取值范围．
解：根据题意设 时，正比例函数为 ， 时，反比例函数为，将点 代入，得
，
当 时，当 时，
当 时，当 时，
根据函数图像可知，则体内抗体浓度y高于70微克/ml时，相应的自变量x的取值范
围是
故答案为：
【点拨】本题考查了正比例函数和反比例函数的应用，从函数图像获取信息是解题的
关键．
15．
【分析】先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再求出 时， 的值，然后
根据反比例函数的增减性即可得．
解：设反比例函数的解析式为 ，
将点 代入得： ，
则反比例函数的解析式为 ，
当 时， ，
反比例函数的 在 内， 随 的增大而减小，
如果小明要在 内完成录入任务，则小明录入文字的速度至少为 字 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法是解题关键．
16．
【分析】由题意可得 ，则有 ，然后问题根据勾股定理可求解．
解：∵矩形能被分割成3个全等的正方形，
∴ ，∵ ，
∴ ，解得： ，
∴ ，则 ，
∴矩形的对角线长为 ；
故答案为 ．
【点拨】本题主要考查勾股定理、矩形的性质、反比例函数的应用及正方形的性质，
熟练掌握勾股定理、矩形的性质、反比例函数的应用及正方形的性质是解题的关键．
17．
【分析】先求出各点的坐标，再求得经过各点时k的值，根据题意即可求解．
解：∵每个台阶的高和宽分别是1和2，
∴T（-16，1），T（-14，2），T（-12，3），T（-10，4），T（-8，5），T（-6，
1 2 3 4 5 6
6），T（-4，7），T（-2，8），
7 8
∵L过点T，
1
∴k=-16×1=-16，
若曲线L过点T（-14，2），T（-4，7）时，k=-14×2=-28，
2 7
若曲线L过点T（-12，3），T（-6，6）时，k=-12×3=-36，
3 6
若曲线L过点T（-10，4），T（-8，5）时，k=-40，
4 5
若曲线L过点T（-2，8）时，k=-16，
8
∵曲线L使得T～T 这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，
1 8
∴-36＜k＜-28，
故答案为：-36＜k＜-28．
【点拨】本题考查了反比例函数的应用，求出各点的坐标是本题的关键．
18．
【分析】分别求出当 和 时y与x的表达式，再根据血液中药物浓度不
低于4微克/毫升求出持续时间即可．
解：当 时，函数为正比例函数，设： ，
∵函数经过点 ，
∴ ，即 ，∴当 时， ，
∴当药物浓度为4微克/毫升时，即 时，
∴ ，
当 时，函数为正比例函数，设： ，
∵函数经过点 ，
∴ ，即 ，
∴当 时， ，
∴当药物浓度为4微克/毫升时，即 时，
∴ ，
∴根据图象可以判断出：当 时，血液中药物浓度不低于4微克/毫升，
∴持续时间为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了一次函数和反比例函数的应用，根据图象求出一次函数和反
比例函数的表达式是解答本题的关键．
19．（1） ；（2）
【分析】(1)直接求出总路程，再利用路程除以时间=速度，进而得出关系式；(2)由题
意可得 ≤5，进而得出答案．
解：（1）由题意得，两地路程为80×6=480（km），
故汽车的速度v与时间t的函数关系为：v= ．
（2）由v= ，得t= ，
又由题知：t≤4，
∴ ≤4．
∵v＞0∴480≤4v．
∴v≥120．
答：返程时的平均速度不能低于120 km/h．
【点拨】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键．
20．(1)函数的解析式为I= ；(2)用电器可变电阻应控制在12Ω以上的范围内．
【分析】（1）先由电流I是电阻R的反比例函数，可设I= ，将点（20，1.8），利
用待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式；
（2）将I≤3代入（1）中所求的函数解析式即可确定电阻的取值范围．
(1)解：（1）电流I是电阻R的反比例函数，设I= ，
∵图象经过（20，1.8），
∴1.8= ，
解得k=1.8×20=36，
∴I= ；
(2)解：∵I≤3，I= ，
∴ ≤3，
∴R≥12，
即用电器可变电阻应控制在12Ω以上的范围内．
【点拨】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，
并利用函数的知识解决实际问题．
21．(1)（45，20）(2)当4≤x≤30时，学生注意力指标不低于30．
【分析】（1）求出反比例函数解析式，即可求解；
（2）先求出直线AB的解析式，可得y≥30时，x的取值范围，再由反比例函数
可得y≥30时，x的取值范围，即可求解．
（1）解：设当 时，反比例函数解析式为 ，
把点C（20，45）代入得：，解得：k=900，
∴反比例函数解析式为 ，
∴当x=45时， ，
∴D（45，20）；
（2）解：根据题意得：A（0，20），
设当0≤x<10时，AB的解析式为y=mx+n，
将A（0，20）、B（10，45）代入得：
，解得： ，
∴直线AB的解析式为 ，
当y≥30时， ，解得：x≥4，
由（1）得反比例函数解析式为 ，
当y≥30时， ，解得：x≤30，
∴当4≤x≤30时，学生注意力指标不低于30．
【点拨】本题考查函数图象的应用，涉及一次函数、反比例函数及不等式等知识，解
题的关键是求出一次函数和反比例函数的解析式．
22．(1) ，0.25(2)这种摆放方式不安全，理由见分析
【分析】（1）观察图表得：压强P与受力面积S的乘积不变，故压强P是受力面积S
的反比例函数，然后用待定系数法可得函数关系式，令P=800，可得a的值；
（2）算出S，即可求出P，比较可得答案．
（1）解：观察图表得：压强P与受力面积S的乘积不变，故压强P是受力面积S的反
比例函数，
设压强P（Pa）关于受力面积S（ ）的函数表达式为 ，把（400，0.5）代入得： ，
解得：k=200，
∴压强P（Pa）关于受力面积S（ ）的函数表达式为 ，
当P=800时， ，
∴a=0.25；
（2）解：这种摆放方式不安全，理由如下：
由图可知S=0.1×0.2=0.02（ ），
∴将长方体放置于该水平玻璃桌面上的压强为 ，
∵10000>2000，
∴这种摆放方式不安全．
【点拨】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，能列出函数关系式．
23．(1) (2)①3000；②75
【分析】（1）根据反比例函数比例系数k的几何意义，即可求解；
（2）①根据路程=速度×时间即可求解；②将y=40代入函数解析式，求出x，再根据
反比例函数的性质得出结论．
（1）解：设y与x之间的函数表达式为 ，
∵点A是反比例函数图像上的一点， 轴，垂足为B，三角形ABO面积为
1500．
∴ ，解得：k=±3000，
∵图象位于第三象限，
∴k＞0，
∴k=3000，
∴y与x之间的函数表达式为 ；
故答案为：（2）解：①根据题意得： ，
∴xy=3000，
∴老李家距离单位3000m；
故答案为：3000
②∵ ，
∴当y=60-15-5=40时， ，
解得：x=75，
∴老李步行速度至少为多少 才能不迟到．
【点拨】本题考查了反比例函数的应用，反比例函数比例系数k的几何意义，反比例
函数的性质，求出y与x之间的函数表达式是解题的关键．
24．(1) (2) (3)是有效消毒
【分析】（1）设 与 的函数关系式为 ，根据点 ，利用待定系数法
即可得；
（2）根据（1）的结果，求出 时， 的值，由此即可得；
（3）先利用待定系数法求出 所在直线的表达式，再求出 时 的值，由此即
可得．
（1）解：设 与 的函数关系式为 ，
将点 代入得： ，
解得 ，
则当 时， 与 的函数关系式为 ．
（2）解：对于反比例函数 ，
当 时， ，
则点 的坐标为 ．
（3）解：设 所在直线的表达式为 ，将点 代入得： ，解得 ，
则 所在直线的表达式为 ，
将 代入 得： ，解得 ，
将 代入 得： ，解得 ，
因为 ，
所以本题中的消毒是有效消毒．
【点拨】本题考查了反比例函数和正比例函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题关
键．
