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解密07讲：任意角的三角函数、诱导公式与恒等式
【考点解密】
1．角的概念
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
(2)分类
(3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为
－α.
(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示．
(2)公式
角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝°
弧长公式 弧长l＝αr
扇形面积公式 S＝lr＝αr2
3.任意角的三角函数
设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．
三个三角函数的性质如下表：
第一象限 第二象 第三象 第四象限
三角函数 定义域
符号 限符号 限符号 符号
sin α R ＋ ＋ － －
cos α R ＋ － － ＋
tan α {α|α≠kπ＋，k∈Z} ＋ － ＋ －
4．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：＝tan α .
5．三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α
余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切 tan α tan α －tan α －tan α
口诀 奇变偶不变，符号看象限
6．常见特殊角的三角函数值
n 0° 180°
30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 270° 360°
π π π π 3π
α 0 π
6 4 3 2 2 2π
sinα 0 1 0 -1 0
cosα 1 0 -1 0 1
- - -
tanα 0 1 -1 0 0
-
-
7．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1) sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；
(2) cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β；
tanα±tanβ
(3) tan(α±β)＝ ．
1∓tanαtanβ
8．二倍角公式
(1)基本公式：
①sin 2α＝2sin αcos α；
②cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
③tan 2α＝.
(2)公式变形：
由cos 2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α可得
降幂公式：cos2α＝；sin2α＝；
升幂公式：cos 2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.9．辅助角公式
asin x＋bcos x＝sin(x＋θ). （其中 ）
＝cos(x—φ). （其中 ）
【方法技巧】
1．求三角函数值
(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求
出角α终边的位置．
(2)判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角
函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．
2．同角三角函数基本关系式的应用
(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；利用＝tan α可以实现角
α的弦切互化．
(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos
α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．
(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
3．诱导公式
(1)诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．
②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
(2)含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算．
如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.4．三角函数式化简的常用方法
(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数．
(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．
(3)注意“1”的代换：1＝sin2α＋cos2α＝tan.
5．给值求值的解题策略
(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角
与凑角．
①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求
角”变成“已知角”．
(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：
①α＝(α－β)＋β；
②α＝＋；
③2α＝(α＋β)＋(α－β)；
④2β＝(α＋β)－(α－β)．
6．已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．
(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数．
(3)结合三角函数值及角的范围求角．
提醒：在根据三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案．
7．利用公式T(α±β)化简求值的两点说明
㈠分析式子结构，正确选用公式形式：
T(α±β)是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是
正用、逆用还是变形用，并注意整体代换．
(1)整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．
(2)熟知变形：两角和的正切公式的常见四种变形：
①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；②1－tan αtan β＝；
③tan α＋tan β＋tan α·tan β·tan(α＋β)＝tan(α＋β)；
④tan α·tan β＝1－.
提醒：当一个式子中出现两角正切的和或差时，常考虑使用两角和或差的正切公式．
㈡化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：
当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”，“”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，
如“1＝tan ”，“＝tan ”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值．
【核心题型】
题型一：定义法求三角函数值
1．（2022·吉林延边·高三阶段练习）若点 在函数 的图象上，则 的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．
【答案】D
【详解】由题意知:9= ,解得 =2,所以 ,故选D.
2．（2023秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知角 的终边上有一点 ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角函数定义可知 ，再利用三角恒等变换和同角三角函数之间的基本关系即可求得结果.
【详解】角 的终边上有一点 ，
根据三角函数定义得 ，所以.
故选：C
3．（2021秋·江苏扬州·高三邵伯高级中学校考阶段练习）已知锐角 终边上一点A的坐标为 ，则
角 的弧度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据定义得 正切值，再根据诱导公式求解
【详解】 ，
又 ， 为锐角，
∴ ，
故选：A.
题型二：利用三角函数符号判断角所在象限
4．（2017·全国·校联考二模）若 ，则 是( )
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】D
【分析】运用诱导公式先化简后根据符号定象限.
【详解】 ，即 是第一或第四象限的角，
，即 是第三或第四象限的角，
综上， 是第四象限的角.
故选：D.5．（2019秋·河北衡水·高三统考阶段练习）已知 ，则点P 所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【详解】试题分析：∵ ，∴ ，即 是第三象限角，∴ ，∴点P在第四象限.
考点：三角函数值符号判断.
6．（2022·浙江·模拟预测）已知 ，则“ ”是“角 为第一或第四象限角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要
【答案】B
【分析】利用定义法进行判断.
【详解】充分性：当 时，不妨取 时轴线角不成立.故充分性不满足；
必要性：角 为第一或第四象限角，则 ，显然成立.
故选：B.
题型三：知一求二
7．（2021秋·福建三明·高三三明市第二中学校考阶段练习）已知 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将题设条件等式两边平方，可得 ，再将目标式平方并结合角的范围即可求 .
【详解】 ，则 ，
而 ，又 ，
∴ ，则 .
故选：A
8．（2022秋·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已知 ，则 的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先把已知的等式平方得到 ，再化简代入即得解.
【详解】由 ，
所以 ，
∴ ，
所以 .
故选：A．
9．（2022秋·安徽滁州·高三校考阶段练习）在三角形 中，已知 ， ，若
，则 的值为__________．
【答案】 或
【分析】由 ， 解出A，B，C的正余弦值，将等式化简后代入，解出 .
【详解】因为 ， ， ， ，
所以 ， ， ， ，
．
，
即 ，
所以 ，解得 或 .故答案为： 或 ．
题型四：齐次式法求值
10．（2022秋·辽宁抚顺·高三校联考阶段练习）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意可知 ，根据二倍角公式及同角的三角函数关系可得
，即可得答案.
【详解】解：因为 ，
所以 .
故 .
故选：C.
11．（2022秋·云南昆明·高三校考阶段练习）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先对原式利用两角和与差的正余弦公式化简，然后再利用同角三角函数的关系化简变形，再代值计算即
可.
【详解】因为 ，
所以，
故选：A
12．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式化简已知等式可求得 ，结合二倍角公式，由正余弦齐次式的求法可求得结果.
【详解】由 得： ，
即 ， ，
.
故选：B.
题型五：整体代换法诱导公式化简求值
13．（2014·高三课时练习）已知 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由 可得 ，化简则 ，从而
可得结果.【详解】
，
，故选C.
【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细
观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊
角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在
于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，
再求角的范围，确定角．
14．（2022·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由 ，然后根据正切的和差公式求解即可．
【详解】解： ， ，
．
故选：D．
15．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，且 ，则 ______.
【答案】
【分析】根据诱导公式进行三角恒等变换，根据已知三角函数值和角的范围进一步细化角的范围，再利用同角的三角函数基本关系式即可求解.
【详解】 ，
又 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
所以 为负值，
所以 .
故答案为： .
题型六：给值求角
16．（2022秋·山东青岛·高三青岛二中校考期中）已知 ， ， ， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出 的取值范围，利用同角三角函数的基本关系以及两角差的正弦公式求出 的值，即可
得解.
【详解】因为 ，则 ，因为 ，则 ，可得 ，
因为 ，则 ， ，
所以， ， ，所以，
，
所以， .
故选：A.
17．（2022秋·黑龙江双鸭山·高三双鸭山一中校考开学考试）已知 ， ，且 ， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用二倍角的正切公式求出 ，再根据 结合两角和的正切公式
求得 ，根据 求出 ，从而可得 的范围，即可得出 的范围，即可
得解.
【详解】解：因为 ，
所以 ，
故 ，
由 ，所以 ，
又 ,
所以 ，故 ，
所以 .
故选：A.
18．（2022·河南·安阳一中校联考模拟预测）已知 ，且 ，
求 的值为_____．
【答案】 ##
【分析】注意到 ，利用诱导公式和两角和的正弦公式求解，注意 范围的确定.
【详解】 ，则 ，注意到
，于是
，不妨记
，于是 ，而 ，于是
（负值舍去），又 ，则 （正值舍去），于是计算可得：
，而 ，于是
.
故答案为： .
题型七：利用三角函数恒等变换解决三角函数性质问题19．（2023·全国·高三专题练习）以下关于 的命题，正确的是（ ）
A．函数 在区间 上单调递增
B．直线 是函数 图象的一条对称轴
C．点 是函数 图象的一个对称中心
D．将函数 图象向左平移 个单位，可得到 的图象
【答案】D
【分析】根据三角函数恒等变换化简 为 ，计算出
，根据正弦函数的单调性，可判断A;采用代入验证的方法可判断 ;根据三角函数的平移变换
可得平移后的函数解析式，判断D.
【详解】由题意得 ，
当 时， ，由于函数 在 不单调，
故函数 在区间 上不是单调递增函数，A错误；
当 时， ，故直线 不是函数 图象的对称轴，B错误；
当 时， ，故点 不是函数 图象的对称中心，C错误；
将函数 图象向左平移 个单位，可得到 的图象，D正确，
故选：D20．（2021秋·陕西榆林·高三陕西省神木中学校考阶段练习）函数 的最小值
为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【分析】利用三角函数恒等变换的应用可求函数解析式为 ，由 ，根据正弦函数的性质
即可求解最小值．
【详解】解：
，
因为 ，所以 ，则函数 的最小值为 ．
故选：A．
21．（2021秋·北京昌平·高三昌平一中校考期中）已知函数 .
(1)求 的值；
(2)求函数的 最小值及相应的 值；
(3)若 ，求函数 的增区间（直接写出结论）.
【答案】(1)
(2)当 ， 时，函数 取得最小值为
(3)【分析】（1）利用二倍角公式，两角和的正弦公式化简函数解析式可得 ，再求值即可.
（2）令 ， ，即可得解.
（3）利用正弦函数的单调性即可求解.
【详解】（1） ，
，
，
；
（2）令 ， ，
解得 ， ，
即 ， 时，函数 取得最小值为 .
（3）令 ， ，
解得 ， ，
又 ，
函数 的增区间为 .
题型八：三角恒等变换与平面向量结合问题
22．（2022秋·广东·高三校联考阶段练习）已知向量 ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】根据向量垂直得出 ，根据 ，以及正弦、余弦倍角公式即可求解.
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，
结合 ，
得 ，
，
，
又 ，
所以 ，
所以原式 .
故选：D.
23．（2022春·上海金山·高一上海市金山中学校考期末）已知向量 ．
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求函数 的单调增区间．
【答案】(1) ；(2) .
【分析】（1）由 列方程化简可求得结果；
（2）由向量的数量积运算结合三角函数恒等变换公式可得 ，由 可求出
函数的增区间.
【详解】（1）因为 ，且 ，
所以 ，
由上式可知 ，所以 ；
（2） ，
令 ，得 ，
所以函数 的单调增区间为 ．
24．（2020秋·吉林·高三校考期中）已知向量 且
(1)用 表示 及 .
(2)求函数 的最小值及 的值.
【答案】(1) ，
(2)最小值为-1，此时
【分析】（1）利用向量数量积运算公式及三角恒等变换得到 ，再由向量线性运算法则及
模长公式求出 ；
（2）在第一问的基础上，化简得到 ，结合 ，求出 的最小值，及此时 的值.
【详解】（1）
，
，
故，
因为 ，所以 ，
所以 ；
（2） ，
因为 ， ，且 单调递减，
故当 ， 时， 取得最小值，且最小值为 .
【高考必刷】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则 的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】两边平方得 ，进而得 或 ， ，，再分 为偶
数和 为奇数两种情况讨论求解即可.
【详解】解：由 ，平方得： ，则 ，即 ，
则 或 ， ，即有 或 ，
，
当 为偶数时， 位于第二象限， ， ， ，不成立，
当 为奇数时， 位于第四象限， ， ，成立.
∴角 的终边在第四象限.
故选：D.
【点睛】本题考查正弦的二倍角公式，根据三角函数的符号求角的范围，考查运算求解能力，分类讨论思想，是中档题.本题解题的关键在于根据题意得 ，进而根据函数符号得 的范围，再分类讨论求解.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知点 在第一象限，则在 内的 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由第一象限点的坐标的符号列出三角函数的不等式，根据三角函数的性质求解，结合 ，求出角
的取值范围．
【详解】由已知点 在第一象限得：
， ，即 ， ，
当 ，可得 ， ．
当 ，可得 或 ， ．
或 ， ．
当 时， 或 ．
，
或 ．
故选：B．
【点睛】本题的考点是利用三角函数性质求三角函数的不等式，需要根据题意列出三角函数的不等式，再由三角
函数的性质求出解集，结合已知的范围再求出交集，属于中档题．
3．（广东省河源市2022-2023学年高三上学期期末数学试题）已知角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的非负半
轴重合，终边过点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用三角函数定义和诱导公式六得出点 与角 的关系，再利用诱导公式一即可计算出结果.【详解】因为 ，得到点 在第四象限，即 为第四象限角，
由三角函数定义得 ，
所以 ，
所以 .
故选：D.
4．（2022秋·四川内江·高三威远中学校校考阶段练习）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由二倍角公式可得 ，再结合已知可求得 ，利用同角三角函数的基本
关系即可求解.
【详解】
，
， ， ，解得 ，
， .
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出 .
5．（2021秋·广东梅州·高三梅州市梅江区梅州中学校考阶段练习）已知 ，则 ．
A． B． C． D．
【答案】A【详解】 .
所以选A.
【点睛】本题考查了二倍角及同角正余弦的差与积的关系，属于基础题.
6．（2022·全国·高三专题练习）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【分析】先根据诱导公式化简得 ,再结合半角公式整理得
.
【详解】由诱导公式化简整理得： ，
由于 ，
所以
故选：A
【点睛】本题考查诱导公式化简，半角公式，同角三角函数关系，考查运算求解能力，本题解题的关键在于寻找
与 之间的关系，从半角公式入手化简整理.考生需要对恒等变换的相关公式熟记.
7．（2021·全国·高三专题练习）已知 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由所给等式利用同角三角函数的关系可求得 ，再利用降幂公式及二倍角公式将
整理为 ，代入相应值即可得解.
【详解】由 可得
所以 ，即 ，即
故选：C
【点睛】关键点睛：本题考查同角三角函数的关系、降幂公式、二倍角公式，解答本题的关键是由条件有
，从而可得 ，由 可解，属
于中档题.
8．（2020秋·江苏苏州·高三校联考阶段练习）已知向量 ，且 ，则 的
值为（ ）
A．1 B．2 C． D．3
【答案】A
【分析】由 ，转化为 ，结合数量积的坐标运算得出 ，然后将所求代数式化为
，并在分子分母上同时除以 ，利用弦化切的思想求
解．
【详解】由题意可得 ，即 ．
∴ ，
故选A．【点睛】本题考查垂直向量的坐标表示以及同角三角函数的基本关系，考查弦化切思想的应用，一般而言，弦化
切思想应用于以下两方面：
（1）弦的分式齐次式：当分式是关于角 弦的 次分式齐次式，分子分母同时除以 ，可以将分式由弦化为
切；
（2）弦的二次整式或二倍角的一次整式：先化为角 的二次整式，然后除以 化为弦的二次分式齐次
式，并在分子分母中同时除以 可以实现弦化切．
9．（2023秋·江西·高三校联考阶段练习）若 是第二象限角，且 ，则 （ ）
A． B． C． D． ，
【答案】D
【分析】由已知和 求出 ，再代入两角和的正切展开式可得答案.
【详解】 是第二象限角，所以 ， ，
由 ， 得 ， ，
所以 ，则 .
故选：D.
10．（2022·陕西西安·西安市第三十八中学校考一模）若 ，则 （ ）
A．3 B． C．2 D．4
【答案】A
【分析】根据正切两角差公式，凑角得 的值，再将所求式子利用平方公式和正弦二倍角公式化成齐次式，再
利用商数关系，化成含 的式子，代入求值即可.
【详解】解：因为 ，所以 ．
故选：A.
11．（2022秋·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）曲线 在 处的切线的倾斜角为 ，
则 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】由导数的几何意义求出曲线 在 处的切线的斜率，由此可得 ，再结合二倍角公式和同角
关系求 .
【详解】因为 在 处的切线的倾斜角为 ，
所以 ，又 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
故选：B.
12．（2022秋·河南郑州·高三温县第一高级中学校联考阶段练习）已知 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出 ，再分析得到 ，即得解.
【详解】解： ，所以
∵ ， ，
∴ .
∴ .
故选：A.
13．（2022秋·山东·高三校联考阶段练习）设 ，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据切化弦公式及逆用二倍角公式求解即可．
【详解】解： ，
故选：C．
14．（2018·高三课时练习）已知在 ABC中，cos ＝－ ，那么sin ＋cosA＝( )
△
A． B．－
C． D．
【答案】B
【详解】因为cos ＝－ ，即cos ＝－ ，所以sin ＝－ ，则sin ＋cosA＝sinAcos ＋
cosAsin ＋cosA＝ sin ＝－ .故选B.
15．（2022秋·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考阶段练习）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】对 进行通分化简，再左右两边同时平方且 求出 ，进而得到答案
【详解】 ，
，
，
，
，
.
，
，
，
，
故选：D.
16．（2022秋·广西钦州·高三校考阶段练习）已知 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】设 ，化简得到 ， ，代入计算得到答案.
【详解】设 ， ，则 ， ，
即 ， ， ，
故 ， .
故选：D
17．（2023秋·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）若 ， 是第二象限的角，则 （ ）
A． B． C．2 D．-5
【答案】D
【分析】先通过三角恒等变换构造齐次式求出 ，再估算 的范围，进而求得结论．
【详解】解： ，
整理得 ，
解得 或 ，
∵ 是第二象限的角，
，
，
，
，
∴ 原式 ．故选：D．
18．（2023·湖南湘潭·统考二模）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】直接利用三角函数恒等变换进行凑角化简，再根据 ， 的范围即可求出结果.
【详解】由已知可将 ， ，
则 ，
，
，即 或 ．
又 ，所以 ，
所以 ，所以选项A，B错误，
即 ，则 ，所以 ．则C错，D对，
故选：D
19．（2022·全国·高三专题练习）已知 、 都是锐角，且 ， ，那么 、
之间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】推导出 ，可得出 ，求出 的取值范围，即可得解.【详解】因为 ，则 ，
所以， ，
因为 、 都是锐角，由题意可得 ，
所以， ，
所以， ，
因为 、 都是锐角，则 且 ，则 ，
所以， ，因此， .
故选：D.
20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若函数 在 上单调
递减，则 不能取（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】化简 ，得 ，求出函数 的单调递减区间为 ，再根
据 ，得 ， ，再分别令 ， ， ， 求
出整数 ，由此可得答案.
【详解】因为
，
由 ， ，
得 ， ，所以函数 的单调递减区间为 .
又函数 在 上单调递减，所以 ，
所以 ， ，因为 ，所以 ， ，
当 时，得 ，得 ，不成立；所以 不可取；
当 时，得 ，得 ，因为 ，所以 时， 可取到；
当 时，得 ，得 ，因为 ，所以 时， 可取到；
当 时，得 ，得 ，因为 ，所以 时， 可取到.
综上所述： 不能取 .
故选：A
21．（2023秋·广西河池·高三统考期末）已知函数 ，则下列说法正确的是
（ ）
A． 的一条对称轴为
B． 的一个对称中心为
C． 在 上的值域为
D． 的图象可由 的图象向右平移 个单位得到
【答案】C
【分析】化简可得 ，利用代入检验法可判断AB的正误，利用正弦函数的性质可判断C的正误，
求出平移后的解析式可判断D的正误.
【详解】 ，因为 ，故 不是对称轴，故A错误.
， 不是 的一个对称中心，
故B错误.
当 时， ，故 ，
所以 ，即 在 上的值域为 ，
故C正确.
的图象向右平移 后对应的解析式为 ，
当 时，此时函数对应的函数值为 ，而 ，
故 与 不是同一函数，故D错误.
故选：C.
22．（2022秋·河南·高三校联考阶段练习）已知函数 在 内有且仅有1个
零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用三角恒等变换化简 ，再根据余弦函数的图像和性质求解即可.
【详解】由题意得
当 时， ，因为 在 内有且仅有1个零点，
所以 ，解得 ，
故选：D
23．（2022秋·甘肃兰州·高三兰州一中校考阶段练习）已知：函数 ，则下列说法错
误的是（ ）
A．将 的图像向右平移 个单位长度得 的图像
B． 在 上的值域为
C．若 ，则 ，
D． 的图像关于点 对称
【答案】C
【分析】对函数化简变形得 ，再利用正弦函数的图像与性质依次判断选项即可.
【详解】化简
对于A，将 的图像向右平移 个单位长度得 ，故A正确；
对于B， ， ， ，故B正确；
对于C， 的最小正周期为 ，故 ，则 ， ，故C错误；
对于D， ，故 的图像关于点 对称，故D正确；
故选：C二、多选题
24．（2022秋·福建·高三统考阶段练习）已知 为锐角，且 ，则（ ）
A．
B．
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】BC
【分析】利用两角和差正弦公式化简已知等式可求得 ，知A错误；由 的范围可求得
，结合 的范围可知B正确；由已知等式可求得 ，利用同角三角函数平方关
系可构造方程求得 的值，知C正确；利用二倍角正切公式化简 可求得 ，进而知D错误.
【详解】由 得： ，
；
对于A，由 得： ，A错误；
对于B， ， ， ， ，
则 ，解得： ，
又 ， ，B正确；
对于C， ， ， ，
， ， ；
，又 ， ，， ， ，C正确；
对于D， ， ， ，
， ，解得： ， ，则 ，
，D错误.
故选：BC.
25．（2023秋·吉林长春·高三长春市第二中学校考期末）已知 ， ，若 与 共
线，则下列说法错误的是（ ）
A．将 的图象向左平移 个单位得到函数 的图象
B．函数 的最小正周期为
C．直线 是 的一条对称轴
D．点 是 的一个对称中心
【答案】BCD
【分析】由已知可得 .根据平移变换得出解析式，即可判断A项；根据周期公式求出函数
的最小正周期，即可判断B项；整理代入即可判断C、D项.
【详解】因为 与 共线，所以 ，
所以 .
对于A项，将 的图象向左平移 个单位得到函数 ，故A项说法正
确；对于B项，因为 ，所以 ,故B项说法错误；
对于C项，因为 ，所以直线 不是 的对称轴，故C项说法错误；
对于D项，因为 ，所以点 不是 的对称中心，故D项说法错误.
因本题选择的是说法错误的，所以应当选择BCD.
故选：BCD.
26．（2022·浙江·模拟预测）已知向量 ， ， ，函数 的最小
正周期是 ，则（ ）
A．
B． 在 上单调递减
C． 的图象向左移 个单位，图像关于 轴对称
D． 取最大值时，x的取值集合为
【答案】BD
【分析】化简 ，根据最小正周期是 可得 ，从而得到 ，再根据正弦型函数的单
调性、图像平移与对称性，结合对称轴方程逐个判断即可.
【详解】因为 ， ，则
，
由 ，可得 ，则
选项A： .判断错误；
选项B：由 ，可得 ，
由 ，得 在 上单调递减.判断正确；选项C： 的图象向左移 个单位，可得 ，图像不关于 轴对称.判断错误
选项D：由 ，可得
则 取最大值时，x的取值集合为 .判断正确.
故选：BD
27．（2022秋·福建宁德·高三校考期末）已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据二倍角公式，诱导公式，同角三角函数关系依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解：对于A选项， ，故A正确；
对于B选项，由 得 ， 为第二或第四象限角，
所以 ，解得 （ 为第四象限角）或 （ 为第二象限角），故
B错误；
对于C选项，由于 ，整理得 ，解得 ，故C正确；
对于D选项， ，故D正确；
故选：ACD
28．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】根据商的关系化简条件可求 ，利用平方关系求 ，再由商的关系求 ，再利用 ，结合二倍角公式及同角三角函数关系求 ， .
【详解】因为 ，
所以 ，又 ，
所以 ， ，故A错误，B正确．
，
所以 ，
，
故C错误，D正确．
故选：BD.
三、填空题
29．（2022·高一课时练习）已知 ， 是方程 的两根，则 _________.
【答案】
【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系得 ， ，再运用余弦、正弦和和差公
式，以及同角三角函数间的关系，代入可得答案.
【详解】解：由已知得 ， ，
.故答案为： .
30．（2018·高三课时练习）若 ，则 的值等于________．
【答案】 ##-0.5
【分析】由已知条件求出 的值，即可求解
【详解】因为 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
解得 ，
所以 ，
故答案为：
31．（2022秋·广东深圳·高三深圳中学校考阶段练习）已知 ， 为锐角，且 ， ，则
___________.
【答案】 ##
【分析】计算 ，根据 ， 解得答案.
【详解】 为锐角， ，则 ，，且 ， ，解得
故答案为：
32．（2022秋·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）已知 ，则
___________.
【答案】
【分析】对条件和结论分别作恒等变换，再运用二倍角公式即可求解.
【详解】由条件： 得： ，
即 ， ；
；
故答案为： .
33．（2022秋·江西·高三校联考阶段练习）已知 ， ，且 ， ，则
的值是___________.
【答案】
【分析】由平方关系求得 ， ，再求出 即可得解.
【详解】解：因为 ， ，且 ， ，
所以 ， ，且 ，则 ，
所以 .
故答案为： .
34．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ， ， ，则
________．
【答案】
【分析】利用同角三角函数的基本关系结合两角差的余弦公式可求得 的值，求出 的取值范围，即
可得解.
【详解】因为 ， ，则 ， ， ，
所以， ， ，
所以，
，
因此， .
故答案为： .
35．（2022秋·宁夏银川·高三校考阶段练习）已知角 ， ，则 ______.
【答案】【分析】化简 ，即可得到 ，再根据 的范围，即可求出结果.
【详解】 ， ，
，
，
，
， ，
，则 .
故答案为： .
四、解答题
36．（2022春·海南省直辖县级单位·高一海南二中校考期中）已知 ， 是第三象限角，
，求
(1) ；
(2) .
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系及两角差的余弦公式即可求解；
（2）根据（1）的结论及同角三角函数的商数关系及两角和的正切公式即可求解.
【详解】（1） ， ，，
是第三象限角， ，
，
.
（2）由（1）知 ， ， ， ，
， ，
.
37．（2020秋·上海宝山·高三上海市行知中学校考期中）设 ， .
(1)当 时，求x的值.
(2)若 ，求 的最大值与最小值，并求出相应 的取值.
【答案】(1) ；
(2)当 时，函数 取最小值 ；当 时，函数 取最大值 .
【分析】(1)根据向量垂直的坐标表示列方程，结合正切函数性质解方程可得；
(2)根据数量积的坐标运算公式和三角恒等变换公式化简 ，再由正弦函数性质求其最值及相应的 的取值.
【详解】（1）由 得 ，又 ，
所以 ，所以 ，即 ，
由于 ，所以 ，即： .
（2）因为 ， ，
所以
所以 ，
因为 ，所以
当 时，即 时，函数 取最小值 ；
当 时，即 时，函数 取最大值 .
38．（2021秋·安徽滁州·高三校考阶段练习）已知平面向量 ， 定义函数 ．
(1)求函数 的值域；
(2)若函数 图像上的两点 的横坐标分别为和 ， 为坐标原点，求 的面积．
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）利用向量点乘的坐标公式，辅助角公式将 进行化简后求值域即可；
（2）求出 坐标，利用两点间的距离公式得到 的长度，判断出 为直角三角形，从而易
得其 的面积.
【详解】（1） ，由 ，故函数 的值域为 .
（2） ，依题意， ，故 ，
， ，于是 ，由勾股定理，，于是 的面积为： .
39．（2021秋·陕西榆林·高二陕西省神木中学校考阶段练习）已知向量 ， ，其中
.
(1)若 ，求 的值；
(2)记 ，若函数 在 上单调递增，求 的取值范围.
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示结合三角恒等变换、诱导公式求解；
（2）利用三角函数的性质求解.
【详解】（1）∵ ， ， ，
∴ .
∴ ，即 .
∴ .
（2）由（1）知 .
当 时， .
∵函数 在 上单调递增，
又∵ 的单调递增区间为 ， ，
∴ ， .∴ ， .
∴ ， ，解得 ，又 ，
∴当 时， .
40．（2022秋·江西九江·高三校联考阶段练习）已知向量 ， ，
．
(1)求 的最小正周期；
(2)当 时，求 的最大值与最小值．
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）由三角恒等变换得 ，从而求得最小正周期；
（2）先求得 ，再求 在 的最大值与最小值.
【详解】（1）所以 的最小正周期
（2）∵ ,
∴当 时, 取得最小值 .
当 时, 取得最大值 .
∴ 在 上的值域是 .
所以
