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专题29.1 投影
1.投影：用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影。
2.平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影。
3.中心投影：由同一点发出的光线形成的投影叫做中心投影。
4.正投影：投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。
【例题1】一位小朋友拿一个等边三角形木框在阳光下玩，等边三角形木框在地面上的影子
不可能是( )
A B C D
【答案】B．
【解析】本题主要考查对平行投影的理解和掌握，能熟练地观察图形得出正确结论是解此题的关键．根据
看等边三角形木框的方向即可得出答案．竖直向下看可得到线段，沿与平面平行的方向看可得到 C，延与
平面不平行的方向看可得到D，不论如何看都得不到一点．
【例题2】某兴趣小组开展课外活动．如图，A，B两地相距12米，小明从点A出发沿AB方向匀速前进，2
秒后到达点D，此时他（CD）在某一灯光下的影长为AD，继续按原速行走2秒到达点F，此时他在同一灯
光下的影子仍落在其身后，并测得这个影长为 1.2米，然后他将速度提高到原来的1.5倍，再行走2秒到
达点H，此时他（GH）在同一灯光下的影长为BH（点C，E，G在一条直线上）．
（1）请在图中画出光源O点的位置，并画出他位于点F时在这个灯光下的影长FM（不写画法）；
（2）求小明原来的速度．【答案】（1）作图见试题解析；（2）1.5m/s．
【解析】本体考点有相似三角形的应用和中心投影．
（1）如图，
（2）设小明原来的速度为xm/s，
则CE=2xm，AM=AF﹣MF=（4x﹣1.2）m，
EG=2×1.5x=3xm，
BM=AB﹣AM=12﹣（4x﹣1.2）=13.2﹣4x，
∵点C，E，G在一条直线上，CG∥AB，
∴△OCE∽△OAM，△OEG∽△OMB，
CE OE EG OE
∴ ， ，
AM OM BM OM
CE EG
∴ ，
AM BM
2x 3x
即 ，
4x1.2 13.24x
解得x=1.5，经检验x=1.5为方程的解，
∴小明原来的速度为1.5m/s．
1.如图所示，不透明圆锥体DEC放在直线BP所在的水平面上，且BP过圆锥底面圆的圆心，圆锥的高为2
m，底面半径为2 m，某光源位于点A处，照射圆锥体在水平面上留下的影长BE＝4 m．(1)求∠ABC的度数；
(2)若∠ACP＝2∠ABC，求光源A距平面的高度．
【答案】见解析。
【解析】(1)过点D作DF⊥BC于点F，
由题意得DF＝2 m，EF＝2m，BE＝4m．
在Rt△DFB中，BF＝BE＋EF＝4＋2＝6(m)，
DB＝ ＝4 (m)，
∴DF＝ BD，∴∠ABC＝30°．
(2)过点A作AH⊥BP于点H．
∵∠ACP＝2∠ABC＝60°，∴∠BAC＝30°，
∴AC＝BC＝8 m，∠CAH＝90°－∠ACP＝90°－60°＝30°．
在Rt△ACH中，∠CAH＝30°，∴CH＝ AC＝ ×8＝4(m)，
∴AH＝ ＝ ＝4 (m)，
即光源A距平面的高度为4 m．
2．如图所示，晚上小亮在广场上乘凉，图中线段AB表示站立在广场上的小亮，
线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯．(1)请你在图中画出小亮在照明灯P照射下的影子；
(2)如果灯杆高PO＝12 m，小亮的身高AB＝1.6 m，小亮与灯杆的距离BO＝13 m，求小亮
影子的长度．
【答案】见解析。
【解析】(1)如图所示，线段BC就是小亮在照明灯P照射下的影子．
(2)在△CAB和△CPO中，∠C＝∠C，∠ABC＝∠POC＝90°，
∴△CAB∽△CPO，∴ ，
∴ ，
∴BC＝2，
∴小亮影子的长度为2 m．
3．如图所示，某校墙边有甲、乙两根木杆，如果乙木杆的影子刚好不落在墙上，
AB＝5 m，BC＝3 m
(1)请你画出此时DE在阳光下的投影；
(2)若同时测量出DE在阳光下的投影长为6 m，请你计算DE的长．
【答案】见解析。
【解析】(1)作直线AC，过D作AC的平行线交BC于F，EF即为DE在阳光下的投影(图略)．
(2)由题意得EF＝6 m，又∵AC∥DF，∴△ABC∽△DEF，
∴ ，
∴ ，
DE＝10 m．
故DE长10 m．4.如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10米的旗杆AB和一根高度未知的电线杆CD，它们都与
地面垂直，为了测得电线杆的高度，一个小组的同学进行了如下测量：某一时刻，在太阳光照射下，旗杆
落在围墙上的影子EF的长度为2米，落在地面上的影子BF的长为10米，而电线杆落在围墙上的影子GH
的长度为3米，落在地面上的影子DH的长为5米，依据这些数据，该小组的同学计算出了电线杆的高度．
（1）该小组的同学在这里利用的是 投影的有关知识进行计算的；
（2）试计算出电线杆的高度，并写出计算的过程．
【答案】（1）平行；（2）7．
【解析】考点有相似三角形的应用和平行投影．
（1）该小组的同学在这里利用的是平行投影的有关知识进行计算的；
（2）过点E作EM垂直AB于M, 过点G作GN垂直CD于N,则MB=EF=2,ND=GH=3,ME=BF=10,NG=DH=5.
所以AM=10-2=8,
由平行投影可知
AM/ME=CN/NG, 8/10=（CD-3）/5
CD=7
所以电线杆的高度为7米。
5.图（1）是一个蒙古包的照片，这个蒙古包可以近似看成是圆锥和圆柱组成的几何体，如图（2）所示．
图（3）是这个几何体的正面示意图，已知蒙古包的顶部离地面的高度EO=6米，圆柱部分的高OO=4米，
1 1
底面圆的直径BC=8米，求∠EAO的度数（结果精确到0.1°）．【答案】26.6°．
【解析】连接EO，如图所示，
1
∵EO=6米，OO=4米，
1 1
∴EO=EO﹣OO=6﹣4=2米，
1 1
∵AD=BC=8米，
∴OA=OD=4米，
在Rt△AOE中，
EO 2 1
tan∠EAO= ，
OA 4 2
则∠EAO≈26.6°．
小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度。一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具
来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示。于是他们先在古树周围的空
地上选择一点D，并在点D处安装了测量器DC，测得古树的顶端A的仰角为45°；再在BD的延长线上确定
一点G，使DG=5米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动带点F时，
他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得FG=2米，小明眼睛与地面的距离EF=1.6米，
测倾器的高度CD=0.5米。已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，求这棵古树
的高度AB。（小平面镜的大小忽略不计）【解析】：如图，过点C作CH⊥AB于点H，
则CH＝BD，BH＝CD＝0.5
在Rt△ACH中，∠ACH＝45°，
∴AH＝CH＝BD
∴AB＝AH＋BH＝BD＋0.5
∵EF⊥FB，AB⊥FB，∴∠EFG＝∠ABG＝90°.
由题意，易知∠EGF＝∠AGB，
∴△EFG∽△ABC
∴＝ 即＝
解之，得BD＝17.5
∴AB=17.5＋0.5＝18(m)．
∴这棵古树的高AB为18m．
