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专题9 勾股定理中的最值问题突破技巧（原卷版）
类型一 求一条线段的最小值
技巧1 利用垂线段最短求最值
典例1（2022•路北区）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，若点P在边AC上移动，则BP的最小值是（
）
A．5 B．6 C．4 D．4.8
变式训练
1．（2022•安徽）已知点 O 是边长为 6 的等边△ABC 的中心，点 P 在△ABC 外，△ABC，△PAB，
△PBC，△PCA的面积分别记为S ，S ，S ，S ．若S +S +S ＝2S ，则线段OP长的最小值是（ ）
0 1 2 3 1 2 3 0
3√3 5√3 7√3
A． B． C．3√3 D．
2 2 2
技巧2 转化为其他线段，再根据垂线段最短
典例 2（2022•苍溪县模拟）如图，在△ABC 中，BC＝6，AC＝8，AB＝10，点 M 在 AB 上运动，
MP⊥BC，MN⊥AC，Q为PN的中点，则CQ的最小值为（ ）
24 48 12 6
A． B． C． D．
5 5 5 5
变式训练
1．（2022春•思明区校级月考）如图，等腰三角形△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝3．
（1）求BC的长．
（2）如图，点D在CA的延长线上，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，连EF，求EF的最小值．技巧3 利用二次函数的性质或配方法求最小值（数形结合）．
典例3 （2021秋•昌江区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝6，CB＝8，点P为此三角形
内部（包含三角形的边）的一点且P到三角形三边的距离和为7，则CP的最小值为 ．
变式训练
1．（2022春•仓山区期末）在平面直角坐标系中，点A（a，a﹣1），点B（b+3，b），连接AB，则AB的
最小值是（ ）
A．1 B．√2 C．2 D．3
技巧4 一点与直角顶点相连时，再取斜边中点，三点共线时求的最小值（一箭穿心法）
典例4（2021秋•宜兴市期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，AB＝8，P为AC边上的一个动
点，D为PB上的一个动点，连接AD，当∠CBP＝∠BAD时，线段CD的最小值是（ ）
A．√2 B．2 C．2√2-1 D．4√2-4
变式训练
1．（2021秋•西城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是△ABC内的一个动点，满足AC2﹣
AD2＝CD2.若AB＝2√13，BC＝4，则BD长的最小值为 ．技巧5用定长减去最大值求最小值
典例5（2022秋•乳山市期中）如图，将一根长20cm的铅笔放入底面直径为9cm，高为12cm的圆柱形笔筒
中，设铅笔露在笔筒外面的长度为xcm，则x的最小值是（ ）
A．5 B．7 C．12 D．13
变式训练
1．（2022春•绵阳期末）如图，在长方体ABCD﹣EFGH盒子中，已知AB＝4cm，BC＝3cm，CG＝5cm，
长为10cm的细直木棒IJ恰好从小孔G处插入，木棒的一端I与底面ABCD接触，当木棒的端点Ⅰ在长
方形ABCD内及边界运动时，GJ长度的最小值为（ ）
A．（10﹣5√2）cm B．3cm C．（10﹣4√2）cm D．5cm
类型二 求两条线段和的最小值
技巧1 将军饮马模型用轴对称法求最值
典例6（2022春•龙华区期末）如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点D是底边BC的中点，以
1
A、C为圆心，大于 AC的长度为半径分别画圆弧相交于两点E、F，若直线EF上有一个动点P，则线
2
段PC+PD的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12变式训练
1．（2022春•开福区校级月考）如图，长方形 ABCD中，AB＝8，BC＝10，在边CD上取一点E，将
△ADE折叠后点D恰好落在BC边上的点F处
（1）求CE的长；
（2）在（1）的条件下，BC边上是否存在一点P，使得PA+PE值最小？若存在，请求出最小值；若不
存在，请说明理由．
技巧2 构造全等，利用三角形两边之和大于第三边，在三点共线时，求出最小值
典例7（2022春•上虞区期末）在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，点P，Q分别是边AB和BC
上的动点，始终保持AP＝BQ，连结AQ，CP，则AQ+CP的最小值为（ ）
A．3√5 B．√34 C．3√3 D．6
变式训练
1．（2022秋•武汉月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB=4√2，AC＝6，BC＞4，点E，F分别在
BC，AC边上，且AF＝CE，则AE+BF的最小值为 ．
技巧3 两个动点的时候，轴对称法与垂线段最短结合求最值
典例8（2021秋•广阳区校级期末）如图，在△ABC中，BA＝BC，BH平分∠ABC，点P，D分别是BH和
AB上的任意一点，设PA+PD＝m．
（1）连接CD交BH于点E，则m CD（填表示相等或大小关系的符号）；
（2）若BA＝BC＝5，AC＝6，BH＝4，则m的最小值是 ．类型三 立体图形上求最短路径
技巧1 化曲为直法求最小值
典例9（2022春•吴江区期末）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为
10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿
3cm的点A处，则该蚂蚁要吃到饭粒需爬行的最短路径长是（ ）
A．13cm B．3√61cm C．√61cm D．2√61cm
针对训练
1．（2019春•东湖区校级期中）如图是一块长，宽，高分别是6cm，4cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁
要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需
要爬行的最短路径的长是（ ）
A．（3+2√13） cm B．√97 cm C．√85 cm D．√109 cm
类型四 求一条线段的最大值
技巧1 构造有两边已知的三角形，用一边小于等于两边之和求最大值。
典例10（2022春•武汉期末）如图，四边形ABCD中，AD⊥CD于点D，BC＝2，AD＝8，CD＝6，点E是
AB的中点，连接DE，则DE的最大值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9技巧2 构造等腰直角三角形，此时斜边为最大值
典例11（2022•湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，
在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2．若点P是这个
网格图形中的格点，连结PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（
）
A．4√2 B．6 C．2√10 D．3√5
技巧3 一点与直角顶点相连，取斜边中点，三点共线时求最大值（一箭穿心法）
典例12（2022春•丹江口市期末）如图，已知，∠MON＝∠BAC＝90°，且点A在OM上运动，点B在ON
上运动，若AB＝8，AC＝6，则OC的最大值为 ．
1
技巧4 用基本不等式 xy≤ （x2+y2）求最大值
2
典例13（2022•南京一模）如图，在△ABC中，AB＝2，∠ACB＝60°，DC⊥BC，DC＝BC，则AD的长的
最大值为 ．第二部分 专题提优训练
1．（2022秋•南宫市期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AD＝3，若P是
BC上的动点，则线段DP的最小值是（ ）
A．3 B．2.4 C．4 D．5
2．已知△ABC，AB＝5，BC＝12，AC＝13，点P是AC上一个动点，则线段BP长的最小值是（ ）
60 30
A． B．5 C． D．12
13 13
3．（2022春•宜兴市校级月考）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点，
PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（ ）
24
A．5 B． C．4 D．3
5
4．（2022•长沙开学）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标
1
为（3，√3），点 C 的坐标为（ ，0），点 P 为斜边 OB 上的一个动点，则 PA+PC 的最小值为
2
（ ）
√13 √31 3+√19
A． B． C． D．2√7
2 2 2
5．（2022秋•秦淮区校级月考）如图，在等腰△ABC和等腰△ABE中，∠ABC＝120°，AB＝BC＝BE＝2，
D为AE的中点，则线段CD的最小值为（ ）A．2 B．√7-1 C．2√3-1 D．√6-1
6．（2022春•昭阳区校级月考）如图，BD⊥CD，垂足为D，∠ABD＝30°，∠A＝90°，且AD＝4，DC＝
6，点P是边BC上的一动点，则DP的最小值是（ ）
A．7.1 B．6.5 C．4.8 D．3.2
7．（2022春•海门市期末）A（a，0），B（1，3）是平面直角坐标系中的两点，线段AB的最小值为
．
8．（2020秋•成华区校级月考）将一根24cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱体中，如图，
设筷子露出在杯子外面长为hcm，则h的最小值 ，h的最大值 ．
9．（2022春•东平县期末）如图，等腰△ABC的底边BC＝20，面积为120，点F在边BC上，且BF＝
3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则△CDF周长的最小值为 ．
10．（2022秋•泰山区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点P是AC边上的一个动点，
当点P在AC边上移动时，BP为最小值时，PC的长是 ．11．（2022春•如皋市校级月考）平面直角坐标系xOy中，已知点P（m，3n2﹣9），且实数m，n满足m
﹣n2+4＝0，则点P到原点O的距离的最小值为 ．
12．（2021秋•胶州市期末）如图，点M为线段AB上的一个动点，在AB同侧分别以AM和BM为边作等
边△AMC和等边△BMD，若AB＝12，则线段CD的最小值为 ．
13．（2022秋•铁岭期中）如图，三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，P为直线AB上一动点，
连PC，则线段PC的最小值是 ．
14．（2022春•中山市期末）平面直角坐标系中有两点A（m，﹣1），B（3，4），当m取任意实数时，
线段AB长度的最小值为 ．
15．（2022春•海安市期末）平面直角坐标系xOy中，已知点P（m，2n2﹣4），且实数m，n满足m﹣
n2+4＝0，则点P到原点O的距离的最小值为 ．
16．（2021秋•锦江区校级期末）如果一个直角三角形的两边长分别是3，4，那么这个直角三角形斜边上
的高长最小值为 ．
17．（2022春•铜梁区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（﹣3.2，0），点B（1.8，0），
点C在y轴上，且AC⊥BC，AC＝4，BC＝3，点P为线段AB上一动点，连接CP，过点P作PM⊥AC
PN
于点M，作PN⊥BC于点N，则当线段CP取最小值时， 的值为 ．
PM
18．（2022•牡丹区月考）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．若点P在边AC上移动，则BP的最小值是．
19．（2022春•如皋市校级月考）如图，线段 AB的长为8，C为AB上一动点，分别以AC、BC为斜边在
AB的同侧作两个直角三角形△ACD和△BCE，其中∠A＝30°，∠B＝60°，那么DE长的最小值是
．
20．（2021秋•鄞州区校级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，A（5，0），点B在y
轴上运动，以AB为边作等腰Rt△ABC，∠BAC＝90°（点A，B，C呈顺时针排列），当点B在y轴上运
动时，点C也随之运动．在点C的运动过程中，OC+AC的最小值为 ．
21．（2022春•郧西县月考）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．
（1）求△ABC的周长；（2）求证：∠ABC＝90°；
（3）若点P为直线AC上任意一点，则线段BP的最小值为 ．
22．（2022春•铜梁区校级期末）已知，△ABC中，BC＝8，AC＝6，AB＝10．
（1）如图1，若点D是AB的中点，且∠B＝40°，求∠DCA的度数；
（2）如图2，若点E是AB边上的动点，求线段CE的最小值．23．（2021秋•长丰县期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AB＝4，AD＝
3，若点P在BC上运动．
（1）求线段DP的最小值；
（2）当DP最小时，求△CDP的面积．
