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第12 章 全等三角形（单元测试·培优卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图标中，不是由全等图形组合成的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知 与 全等，A、B、C的对应点分别为D、E、F，且E点在AE上，B、F、C、D四
点共线，如图所示 若 ， ，则下列叙述何者正确？（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
3．如图所示， ， ，欲证 ，则可增加的条件是（ ）
A． B． C． D．
4．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处， 与地面垂直，两脚在地面
上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到
的水平距离 、 分别为 和 ， ．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高
度是（ ）A． B． C． D．
5．如图，正方形 的顶点 在直线 上，将直线 向上平移线段 的长得到直线 ，直线 分
别交 ， 于点 ， ．若求 的周长，则只需知道( )
A． 的长 B． 的长 C． 的长 D．DF的长
6．如图，在 中，已知 是 边上的高线， 平分 ，交 于点 ， ， ，
则 的面积等于（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知 ，小明按如下步骤作图：
（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于点E
（2）分别以点D、E为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在 的内部相交于点C
（3）画射线OC
根据上述作图步骤，下列结论正确的有（ ）个
①射线OC是 的平分线；②点O和点C关于直线DE对称；③射线OC垂直平分线段DE；④
.A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图， ， ，点 在线段 上，过点 作 ，且与 交于点
，则 为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为M．若∠ABC＝30°，∠C＝38°，则∠CDE的度
数为（ ）
A．68° B．70° C．71° D．74°
10．在 中， ，中线 ，则 边的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．在如图所示的 正方形网格中， 等于 ．12．如图是教科书中的一个片段，由画图我们可以得到 ，判定这两个三角形全等的
依据是 ． △
（1）画 ；
（2）分别以点 ， 为圆心，线段 ， 长为半径画弧，两弧相交于点 ；
（3）连接线段 ， ．
13．已知，如图，AD=AC，BD=BC，O为AB上一点，那么图中共有 对全等三角形．
14．如图，在 中，已知 ， ， ．若 ，则 的度数为
．
15．如图，在 中， ， ， 的平分线 与 相交于点 ，过点 作
交 的延长线于点 ．分别延长 相交于点 ．判断 的数量关系． ____.
16．如图， ， ， 为射线， ，点P从点B出发沿 向点C运动，速度为1
个单位/秒，点Q从点C出发沿射线 运动，速度为x个单位/秒；若在某时刻， 能与 全等，
则 ．
17．如图， 的角平分线 、 相交于点 、若 ， 交 于 、 交 于
．直接写出 、 、 的数量关系 ．
18．如图，在 ABC中，BD=CD，BE交AD于F，AE=EF，若BE=7CE， ，则BF= ．
△
三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）已知：如图， ， ， ， 相交于点 ，过点 作 ，垂足
为 ．求证：
(1) ．
(2) ．
20．（8分）如图，在△ABC和△BDE中， ， 为锐角， ，
，连接AE、CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N．
(1)△ABE与△CBD全等吗？为什么？
(2)AE与CD有何特殊的位置关系，并说明理由．21．（10分）已知：如图，AC∥BD，AE、BE分别平分∠CAB和∠ABD，点E在CD上．用等式表示
线段AB、AC、BD三者之间的数量关系，并证明．
22．（10分）如图，AD是△ABC的高，AD＝BD＝4，E是AD上一点，BE＝AC＝5，S ABC＝14，
△
BE的延长线交AC于点F．
(1)求证：△BDE≌△ADC；
(2)求证：BE⊥AC；
(3)求EF与AE的长．23．（10分）如图，在等边三角形 中， 是 边上的动点，以 为一边向上作等边三角形
，连接 ．
（1）求证： ≌ ；
（2）求证： ；
（3）当点 运动到 的中点时， 与 有什么位置关系？并说明理由．
24．（12分）已知： ， ， ， ．
（1）试猜想线段 与 的位置关系，并证明你的结论．
（2）若将 沿 方向平移至图2情形，其余条件不变，结论 还成立吗？请说明理由．
（3）若将 沿 方向平移至图3情形，其余条件不变，结论 还成立吗？请说明理由．参考答案
1．C
【分析】根据全等图形的概念分析即可．
解：A、该图像是由三个全等的图形构成，故该选项不符合题意；
B、该图像是由五个全等的图形构成，故该选项不符合题意；
C、该图像不是由全等图形构成，故该选项符合题意；
D、该图像是由两个全等的图形构成，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了全等图形，熟练掌握能够完全重合的两个图形是全等图形是解题的关键．
2．B
【分析】由 与 全等，A、B、C的对应点分别为D、E、F，可得 ， ，
，可得 ； ， 可得 ，由大角对大边可得 ；
利用 ，可得 ，即 ，由上可得正确选项．
解： ≌ ，
， ， ，
，．
， ，
．
．
，
，即 ．
．
， ．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质．利用全等三角形对应角相等，对应边相等是解题的关键．
3．D
【分析】根据全等三角形的判定逐一判断即可．
解：由图可知 ，故A选项不符合题意，
当 时，根据 不能判定两个三角形全等，故B选项不符合题意，
当 时，根据 不能判定两个三角形全等，故C选项不符合题意，
当 时，
，
∴在 和 中，
，
，
故选：D．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有 ， ， ，
．
4．D
【分析】利用全等三角形判定 ，证得 与 全等，根据全等三角形性质可求出 和
的值，进而求出 的值，最后根据 ，即可求出问题答案．
解： ，
，， ，
， ，
， ，
又 ，
，
， ，
．
故选：D．
【点拨】本题考查了利用三角形全等测距离的问题，理解题意及熟知三角形的性质与判定是解题关键．
5．A
【分析】过 作 于 ，连接 ， ，然后利用已知条件可以证明 )，
)，接着利用全等三角形的性质即可解决问题．
解：过 作 于 ，连接 ， ，
直线 向上平移线段 的长得到直线 ，
，
而 ， ，
)，
，
同理 )，
，
的周长为： ．
求 的周长，则只需知道 的长．
故选：A．【点拨】本题主要考查了平移的性质和全等三角形的性质和判定，同时也利用了三角形周长的定义，
掌握平移的性质以及全等三角形的性质与判定是解题的关键．
6．A
【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质求得EF=DE=2，然后根据三角形面积公式求得即可．
解：作EF⊥BC于F，
∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，
∴EF=DE=2，
故选A
【点拨】本题考查了角的平分线的性质以及三角形的面积，作出辅助线求得三角形的高是解题的关键．
7．B
【分析】根据题意可知 ， ，可通过证明三角形全等或线段垂直平分线的判
定进行判断.
解：解:连接CD、CE，由作图步骤可知 ，又 ， ，
， 射线OC是 的平分线，①正确；
连接DE,因为 不全等，所以点O和点C关于直线DE不对称， ②④错误；
射线OC垂直平分线段DE，③正确.
所以正确的是①③，有2个.
故选B
【点拨】本题考查了角平分线的尺规作图，灵活应用作图步骤所提供的条件是解题的关键.8．A
【分析】根据全等三角形的性质得出 ，根据垂直的定义，直角三角形的两锐角互
余，得出 ，根据邻补角即可求解．
解：∵ ， ，
∴ ,
∵ ，
∴ ,
∴ ，
故选：A．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质，垂直的定义，直角三角形的两锐角互余，邻补角，熟练掌握
全等三角形的性质是解题的关键．
9．D
【分析】利用三角形内角和定理求出∠BAC=112°，利用全等三角形的性质证明∠BED=∠BAD即可解
决问题．
解：∵∠ABC=30°，∠C=38°，
∴∠BAC=112°，
在△BMA和△BME中，
．
∴△BMA≌△BME（ASA），
∴BA=BE，
在△BDA和△BDE中，
，
∴△BDA≌△BDE（SAS），
∴∠BED=∠BAD=112°，
∴∠CED=68°，
∴∠CDE=180°-∠C-∠CED=74°，
故选：D．【点拨】本题考查三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等
三角形解决问题，属于中考常考题型．
10．B
【分析】延长 至 ，使 ，然后利用“边角边”证明 和 全等，根据全等三角
形对应边相等可得 ，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三
边求出 的取值范围，即为 的取值范围．
解：如图，延长 至 ，使 ，
∵ 是 的中线，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
即
∴ ．
故选：B．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边
之差小于第三边．“遇中线，加倍延”构造全等三角形是解题的关键．
11． /225度【分析】根据图形和正方形的性质可知 ， ， ，再把它们相加可得
的度数．
解：观察图形可知 与 所在的三角形全等，二角互余， 与 所在的三角形全等，二角互余，
，
∴ ， ， ，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】此题结合网格的特点考查了余角，注意本题中 ， ， 是解
题的关键．
12．
【分析】根据全等三角形的判定方法解决问题即可．
解：在 和△ 中，
，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了作图−复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活应用
所学知识解决问题．
13．3
【分析】由已知条件，结合图形可得△ADB≌△ACB，△ACO≌△ADO，△CBO≌△DBO共3对．找寻时要由
易到难，逐个验证．
解：∵AD=AC，BD=BC，AB=AB，
∴△ADB≌△ACB；
∴∠CAO=∠DAO，∠CBO=∠DBO，
∵AD=AC，BD=BC，OA=OA，OB=OB
∴△ACO≌△ADO，△CBO≌△DBO．
∴图中共有3对全等三角形．
故答案为3．14．70°
【分析】（1）证△BED≌△CDF；
（2）利用AB=AC得到∠B与∠C
（3）利用整体法求得∠EDF
解：∵AB=AC，∴∠B=∠C
∵BD=CF，BE=CD
∴△BED≌△CDE，∴∠EDC=∠BED
∵∠A=40°
∴∠B=∠C=70°
∴在△BED中，∠BED+∠BDE=110°
∴∠EDB+∠FDC=110°
∴∠EDF=70°
【点拨】求角度，常见的方法有：
（1）方程思想；
（2）整体思想；
（3）转化思想
本题就是利用全等，结合整体思想求解的角度
15． /0.5
【分析】由 ， ，通过 可证 ，
可得 ，再证明 ，可得 ．
解：
在 和 中∴ ；
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
在 和 中
，
∴ ；
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查三角形全等的判定，角平分线的性质，熟练掌握三角形判定定理是解决本题的
关键．
16． 或
【分析】设运动时间为 秒，由题意可知， ， ，分两种情况讨论：①当
时；②当 时，利用全等三角形的性质，分别求出 的值，即可得到答案．
解：设运动时间为 秒，
由题意可知， ， ，
，
，
①当 时， ， ，，解得： ，
②当 时， ， ，
，解得： ，
综上可知， 的值为 或 ，
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质，利用分类讨论的思想，熟练掌握全等三角形的性质是解题关
键．
17．
【分析】由三角形定理得 由角平分线定义得 ， ，在
上截取 ，连接 ，证明 进一步得出 ，再证明
得出 ，从而可得出结论
解：在 中，
∵ 平分 ， 平分
∴
∴
∴
∴
在 上截取 ，连接在 和 中，
∴
∴
在 和 中，
∴
∵
∴
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，线段的和与差，正确作出辅助线构造全等三角形
是解答本题的关键
18． /
【分析】延长AD至G，使DG＝AD，连接BG，可证明 ，则BG＝AC，
，根据AE＝EF，得到 ，可证出 ，即得出AC＝BF，从而得出BF
的长．
解：如图，延长AD至G，使DG＝AD，连接BG，在 和 中，
∴
∴BG＝AC， ，
又∵AE＝EF，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴BG＝BF，
∴AC＝BF，
又∵BE＝7CE，AE＝ ，
∴BF＋EF＝ ，
即BF＋ ＝ ，
解得BF＝ ．
故答案为：
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明线段相等，一般转化为证明三角形全等，正确地
作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．19．(1)见解析；(2)见解析
【分析】（1）利用 证明 ；
（2）根据全等三角形的性质得出 ，则 ，根据等腰三角形的性质可得出结论．
解：（1）证明：在 和 中，
，
∴
（2）证明：∵
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点拨】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用 证明 是解题的关键．
20．(1)全等，见解析；(2)AE与CD互相垂直，见解析
【分析】(1)利用“SAS”可判断△ABE≌△CBD；
(2)利用△ABE≌△CBD得到∠BAE=∠BCD，再根据三角形内角和得到∠NMC=∠ABN=90°，即可判断
AE⊥CD
解：△ABE与△CBD全等；
理由如下：
，
，即 ，
在 和△CBD中，
；
（2）解：AE与CD互相垂直；
理由如下：
，，
，
，
．
【点拨】本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形内角和定理，熟悉以上定理是解题的关键．
21．AC+BD=AB，理由见见解析
【分析】在BA上截取BF=BD，连接EF，先证得 ，可得到∠BFE=∠D，再由AC∥BD，
可得∠AFE=∠C，从而证得 ，可得AF=AC，即可求解．
解：AC+BD=AB，证明如下：
在BA上截取BF=BD，连接EF，如图所示：
∵AE、BE分别平分∠CAB和∠ABD，
∴∠EAF=∠EAC，∠EBF=∠EBD，
在△BEF和△BED中，
，
∴ （SAS），
∴∠BFE=∠D，
∵AC∥BD，
∴∠C+∠D=180°，
∵∠AFE+∠BFE=180°，
∴∠AFE+∠D=180°，
∴∠AFE=∠C，
在△AEF和△AEC中，
，
∴ （AAS），
∴AF=AC，∵AF+BF=AB，
∴AC+BD=AB．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的
关键．
22．(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)EF＝ ，AE＝1．
【分析】（1）利用直角三角形的判定定理证明即可；
（2）利用全等三角形的性质证明∠EBD＝∠CAD，再利用对顶角相等证明∠BED＝∠AEF，进一步可
证明∠AFE＝∠ADB＝90°，即BE⊥AC；
（3）利用三角形面积求出BC＝7，进一步求出CD＝3，利用 ，
证明ED＝CD＝3，进一步求出AE＝AD－ED＝4－3＝1，再利用三角形面积求出BF＝ ，即可求出
EF＝BF－BE＝ －5＝ ．
解：（1）证明：∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△BDE和Rt△ADC中，
，
∴ ．
（2）证明：∵ ，
∴∠EBD＝∠CAD，
∵∠BED＝∠AEF，
∴∠AFE＝∠ADB＝90°，
∴BE⊥AC．（3）解：∵S ABC＝ AD•BC＝14，AD＝4，
△
∴BC＝7，
∵BD＝4，
∴CD＝3，
∵ ，
∴ED＝CD＝3，
∴AE＝AD－ED＝4－3＝1，
∵S ABC＝ BF•AC＝14，BE＝AC＝5，
△
∴BF＝ ，
∴EF＝BF－BE＝ －5＝ ．
【点拨】本题考查全等三角形的判定及性质，对顶角相等，垂直的定义，解题的关键是掌握全等三角
形的判定及性质．
23．（1）见解析；（2）见解析；（3） ，见解析．
【分析】（1）根据 和 是等边三角形，得到边角关系，即 ， ，
，根据等式性质得到 ，最后利用 证明全等即可；
（2）根据 ≌ ，可知对应角 ，又因为 ，等量代换可知
，进而得到 ；
（3） ，由 是等边三角形，点 为 的中点，根据三线合一可知 ，
再根据 ≌ ，进而得到 ，最后可求得 的度数．
解：（1） 和 是等边三角形；
， ， ，
，
即 ，
在 与 中
，≌ ；
（2） ≌ ，
；
，
，
；
（3） ，理由如下：
是等边三角形，点 为 的中点，
， ， ，
，
，
≌ ，
，
，
．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质，等式的性质以及平行线的判定等
知识点，准确的运用这些性质是解题的关键．
24．（1） ，见解析；（2）成立，理由见解析；（3）成立，理由见解析
【分析】（1）先用 判断出 ，得出 ，进而判断出
，即可得出结论；
（2）同（1）的方法，即可得出结论；
（3）同（1）的方法，即可得出结论．
解：（1） 理由如下：
∵ ， ，
∴
在 和 中
∴ ，
∴∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）成立，理由如下：
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ；
（3）成立，理由如下：
∵ ， ，
∴
在 和 中 ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ．
【点拨】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，判断出
是解本题的关键．
