文档内容
第15章分式备考提分专项训练（原卷版）
第一部分 知识梳理
一、分式
1.分式的概念：
A A
一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子B 叫做分式.分式B 中，A叫做分子，
B叫做分母.
A
2.分式B 有意义的条件：
当______时分式有意义；当______时分式无意义.
3.分式值为零的条件：
A
当____________时，分式B 的值为零.
4.分式的基本性质：
分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变.
A A⋅C A A÷C
= =
B B⋅C ，B B÷C (C≠0)其中A，B，C是整式.
5.分式的约分：
根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分.
分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式.
注意：分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得的结果成为最简分式或整式.
约分的基本步骤
(1)若分子﹑分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同字母的最低次幂；
(2)若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子﹑分母所有的公因式.
6.分式的通分：
根据分式的基本性质，使分子、分母同乘适当的整式(即最简公分母)，把分母不相同的分式变成分母
相同的分式，这种变形叫分式的通分.
为通分先要确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，叫做最简公分
母.
二、分式的运算
a c a⋅c a c a d a⋅d
⋅ = ÷ = ⋅ =
1.分式的乘除法则：b d b⋅d ，b d b c b⋅c .
(a) n an
=
b bn
2.分式的乘方法则： .
3.分式的加减法则：
a b a±b
± =
(1)同分母：c c c
a c ad bc ad±bc
± = ± =
(2)异分母：b d bd bd bd
4.分式的混合运算：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的. 计算结果要化为最简分式或整式.
三、整数指数幂
(1) am·an=am+n (m，n是整数)；
(2) (am)n=amn (m，n是整数)；
(3) (ab)n=anbn (n是整数).
1
a−n
=
一般地，当 n 是正整数时，
an
(a≠0).这就是说，a-n (a≠0)是 an 的倒数.
此外，当a≠0时，a0=1 (0指数幂的运算).
四、分式方程
1.分式方程的定义
分母中含未知数的方程叫做分式方程.
2.分式方程的解法
(1)在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.
(2)解这个整式方程.
(3)把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否
则必须舍去(增根).
3.分式方程的应用
列分式方程解应用题的一般步骤：
(1)审:清题意，并设未知数；
(2)找:相等关系；
(3)列:出方程；
(4)解:这个分式方程；
(5)验:根(包括两方面:①是否是分式方程的根；②是否符合题意)；
(6)写:答案.
第二部分 数学思想
方法1 转化思想
1．（2021秋•崇川区校级月考）解方程：
1 3 x x−4
（1） = ； （2） +3= ．
x−1 x x−2 2−x
方法2 转化思想
2．（2022•荷塘区校级二模）先化简，再求值： x−1 x−2 2x2−x ，其中x满足x2－2x﹣2＝0．
( − )÷
x x+1 x2+2x+1方法3 建模思想
3．（2022春•社旗县期中）【问题呈现】
为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了20%，现在
生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天，问原先每天生产多少万剂
疫苗？
【分析交流】
慧慧组用表格的形式对本问题的信息进行了梳理，请你把表格内容补充完整，
时间 原先 现在
生产量
生产总量（单位：万剂） 240
每天生产量（单位：万剂） x
【建模解答】
（请你完整解答本题）
【解题收获】
通过本问题的解决，我的收获是： ．
第三部分 常考题型突破
题型1 分式的运算
5 m−3 1
4．（2022秋•抚顺县期末）先化简，再求值：(m+2− )÷ ，其中m=( ) −2+20．
m−2 m−2 2题型2 分式的化简求值
1 a−2 a−1
5．（2023春•鹤壁期末）先化简：(1− )÷ + ，再从1≤a＜❑√10的范围内选取一个
a−1 2 a2−2a+1
合适的整数作为a的值代入求值．
题型3 解分式方程
2x 1
6．（2022•宿迁）解方程： =1+ ．
x−2 x−2
题型4 根据分式方程无解求字母参数的值
2 m
7．（2022•遂宁）若关于x的方程 = 无解，则m的值为（ ）
x 2x+1
A．0 B．4或6 C．6 D．0或4
题型5 分式方程的实际应用
8．（2022•聊城）为了解决雨季时城市内涝的难题，我市决定对部分老街道的地下管网进行改造．在改造
一段长3600米的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了 20%，按这样的进度可以比原计划
提前10天完成任务．
（1）求实际施工时，每天改造管网的长度；
（2）施工进行20天后，为了减少对交通的影响，施工单位决定再次加快施工进度，以确保总工期不超
过40天，那么以后每天改造管网至少还要增加多少米？第四部分 全章模拟测试
π 1+x 2x−1 3
1．（2022秋•岱岳区校级月考）在代数式 ， ， ， 中，分式有（ ）
2 5 x2 x−3
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
x2−1
2．（2022秋•津南区期中）若分式 的值是0，则x的值是（ ）
x+1
A．±1 B．0 C．﹣1 D．1
3．（2022春•鼓楼区期末）下列分式变形中，正确的是（ ）
A．a a+3 B．a a−3 C．a 3a D．a a3
= = = =
b b+3 b b−3 b 3b b b3
1
4．（2022春•牟平区期中）一种病毒的直径是1.18 m，变异后直径是原来的 ，用科学记数法表示病毒
10
μ
变异后的直径（单位：m）是（ ）
A．11.8×10﹣8 B．118×10﹣8 C．1.18×10﹣7 D．1.18×10﹣6
2a+3ab+2b
5．（2022秋•涟源市月考）已知a+b＝2ab，那么 =（ ）
a−ab+b
A．6 B．7 C．9 D．10
6．（2022秋•离石区期末）截止2022年6月，烟台市累计开通5G基站10366个，居全省第三．5G网络
峰值速率为4G网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G网络比4G网络快45秒，求
这两种网络的峰值速率．设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据，依题意，可列方程是（ ）
500 5000 500 500
A． − =45 B． − =45
x x x 10x
500 500 5000 500
C． − =45 D． − =45
10x x x x
7．（2022春•临漳县期末）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前
一个人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一个人，最后完成化简．过程如图，接力中，自
己负责的一步出现错误的是（ ）
老师x2−2x x2 →甲x2−2x 1−x→乙x2−2x x−1→丙x(x−2) x−1→丁x−2
÷ ⋅ ⋅ ⋅
x−1 1−x x−1 x2 x−1 x2 x−1 x2 2
A．只有乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．乙和丁{ m−4x＞4 )
7．（2019•渝中区校级模拟）如果关于x的不等式组 11 1 有且仅有三个奇数解，且关于x
x− ＜3(x+ )
2 2
2−mx 30
的分式方程 − =13有非负数解，则符合条件的所有整数m的和是（ ）
2−x x−2
A．15 B．27 C．29 D．42
2
8．（2022秋•和平区校级期末）要使分式 有意义，则x的取值应满足的条件是 ．
x−5
1 x−1 x
9．（2022秋•宁远县校级月考）三个分式： ， ， 的最简公分母是
x2−1 x(x+1) x+1
．
10．（2022春•溧阳市期中）用漫灌方式给绿地浇水，a天用水10吨，改用喷灌方式后，10吨水可以比原
来多用5天，那么喷灌比漫灌平均每天节约用水 吨．
11．（2022•无为市三模）某校有210名学生参加课后延时服务，原计划平均分成若干组，实际分组时每组
人数是原计划的1.5倍，最终组数比原计划少7组．求实际分组时每组的人数 人 ．
x+1 m
12．（2023春•上城区期末）若关于x的分式方程 =2− 有增根，则常数m的值是（ ）
x−4 4−x
A．3 B．5 C．﹣3 D．﹣5
1 1
13．（2022•内江）对于非零实数a，b，规定a b= − ．若（2x﹣1） 2＝1，则x的值为 ．
a b
⊕ ⊕
14．（2022秋•朝阳区校级期中）先化简，再求值：（ x2−2x 3 ） x−3 ，其中x＝﹣1．
− ÷
x2−4x+4 x−2 x2−4
15．（2022秋•中山区期中）解方程：
2 1 x 3
（1） = ； （2） −1= ．
x+3 x−1 x−1 (x−1)(x+2)
16．（2023•德城区一模）【调查活动】：
小峰同学为了完成老师布置的社会活动作业：《A市初中生阅读水平的现状》，随机走访了A市的甲、
乙两所初中，收集到如下信息：
①甲、乙两校图书室各藏书18000册；②甲校比乙校人均图书册数多2册；
③甲校的学生人数比乙校的人数少10%．
【问题解决】：
请你根据上述三个信息，就甲、乙两校的“人数”或“人均图书册数”提出一个用分式方程解决的问题，
并写出解题过程．
