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第24 章 圆（单元测试·基础卷）
【要点回顾】
圆
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，在 中， ， ， ．以点 为圆心， 为半径作圆，当点 在
内且点 在 外时， 的值可能是（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
2．已知平面内有 和点 ， ，若 半径为 ，线段 ， ，则直线 与
的位置关系为（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
3．在 中，直径 弦 于点 若 ，则 的长为（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，点 在 上， ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．如图， 是锐角三角形 的外接圆， ，垂足分别为 ，连
接 ．若 的周长为21，则 的长为（ ）
A．8 B．4 C．3.5 D．36．如图所示， 是 的直径，弦 交 于点E，连接 ，若 ，则 的
度数是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，⊙O是等边 ABC的外接圆，若AB=3，则⊙O的半径是（ ）
△
A． B． C． D．
8．如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，∠ABC＝25°，OC的延长线交PA于点P，则∠P
的度数是（ ）
A．25° B．35° C．40° D．50°
9．大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，
多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形
，若对角线 的长约为8mm，则正六边形 的边长为（ ）A．2mm B． C． D．4mm
10．如图， 是等边 的外接圆，点 是弧 上一动点（不与 ， 重合），下列结论：①
；② ；③当 最长时， ；④ ，其中一定正确的结论有
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 在 轴正半轴上，以点 为圆心， 长
为半径作弧，交 轴正半轴于点 ，则点 的坐标为 ．
12．如图，在⊙O中，弦 的长为4，圆心 到弦 的距离为2，则 的度数为 ．13．如图，点C、D分别是半圆AOB上的三等分点，若阴影部分的面积为 ，则半圆的半径OA的长
为 ．
14．如图，四边形 内接于 ，延长 至点 ，已知 ，那么 ．
15．如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点 处安装了一台监视器，它的监控角度是
，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器 台．
16．如图， 内接于 是直径，过点A作 的切线 ．若 ，则 的度数是
度．17．在 中，若 ， ，则 的面积的最大值为 ．
18．如图， 的半径为 ， 为 的弦，点 为 上的一点，将 沿弦 翻折，使点
与圆心 重合，则阴影部分的面积为 ．（结果保留 与根号）
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA
与⊙O的另一个交点为E，连结AC，CE．
（1）求证：∠B=∠D；
（2）若AB=4，BC-AC=2，求CE的长．20．（8分）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度 米，拱高 米，
（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即 米是否要
采取紧急措施？
21．（10分）如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点 ，过点 作 ，
垂足为点 ．
（1）求证： ；
（2）判断直线 与⊙O的位置关系，并说明理由．22．（10分）如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交 于点D，过点D作
⊙O的切线，交BA的延长线于点E．
（1）求证：AC∥DE；
（2）连接CD，若OA=AE=a，写出求四边形ACDE面积的思路．
23．（10分）已知 为 的直径，点C为 上一点，点D为 延长线一点，连接 .
（Ⅰ）如图①， ，若 与 相切，求 和 的大小；
（Ⅱ）如图②， 与 交于点E， 于点F，连接 ，若 ，求 的大小.
24．（12分）“抖空竹”在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．小颖玩“抖空
竹”游戏时发现可以将某时刻的情形抽象成数学问题．如图， ， 分别与 相切于点 ， ，延长， 交于点 ，连接 ， ， 的半径为2， ．
（1）连接 ， ，判断四边形 的形状，并说明理由；
（2）求劣弧 的长；
（3）若某时刻 ， 与 交于点 ，求 的长．
参考答案
1．C
【分析】先利用勾股定理可得 ，再根据“点 在 内且点 在 外”可得 ，由此即
可得出答案．
解： 在 中， ， ， ，
，
点 在 内且点 在 外，
，即 ，
观察四个选项可知，只有选项C符合，
故选：C．
【点拨】本题考查了勾股定理、点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题关键．
2．D
【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
解：∵⊙O的半径为2cm，线段OA=3cm，线段OB=2cm，
即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，∴点A在⊙O外．点B在⊙O上，
∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切，
故选：D．
【点拨】本题考查了直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键．
3．C
【分析】先连接OD,然后利用垂径定理和勾股定理解答即可．
解：如图连接OD
∵直径AB＝15，
∴DO=BO＝7.5，
∵OC：OB＝3：5，
∴CO＝4.5，
∵DE⊥AB，
∴DC＝
∴DE＝2DC＝12．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，正确作出辅助线并灵活运用垂径定理是解答本题的关
键．
4．D
【分析】先证明 再利用等弧的性质及圆周角定理可得答案．
解： 点 在 上， ，
故选：【点拨】本题考查的两条弧，两个圆心角，两条弦之间的关系，圆周角定理，等弧的概念与性质，掌
握同弧或等弧的概念与性质是解题的关键．
5．B
【分析】根据三角形外接圆的性质得出点D、E、F分别是 的中点，再由中位线的性质
及三角形的周长求解即可．
解：∵ 是锐角三角形 的外接圆， ，
∴点D、E、F分别是 的中点，
∴ ，
∵ 的周长为21，
∴ 即 ，
∴ ，
故选：B．
【点拨】题目主要考查三角形外接圆的性质及中位线的性质，理解题意，熟练掌握三角形外接圆的性
质是解题关键．
6．D
【分析】如图所示，连接 ，先由同弧所对的圆周角相等得到 ，再由直径所对
的圆周角是直角得到 ，则 ．
解：如图所示，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
故选D．【点拨】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，正确求出
的度数是解题的关键．
7．C
【分析】作直径AD，连接CD，如图，利用等边三角形的性质得到∠B=60°，关键圆周角定理得到
∠ACD=90°，∠D=∠B=60°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求解．
解：作直径AD，连接CD，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，
∵AD为直径，
∴∠ACD=90°，
∵∠D=∠B=60°，则∠DAC=30°，
∴CD= AD，
∵AD2=CD2+AC2，即AD2=（ AD）2+32，
∴AD=2 ，
∴OA=OB= AD= ．
故选：C．
【点拨】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，
叫做三角形的外心．也考查了等边三角形的性质、圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系．
8．C
【分析】根据圆周角定理可得 ，根据切线的性质可得 ，根据直角三角形两个
锐角互余即可求解．
解： ，∠ABC＝25°，，
AB是⊙O的直径，
，
．
故选C．
【点拨】本题考查了圆周角定理，切线的性质，掌握圆周角定理与切线的性质是解题的关键．
9．D
【分析】如图，连接CF与AD交于点O，易证△COD为等边三角形，从而CD=OC=OD= AD，即可
得到答案．
解：连接CF与AD交于点O，
∵ 为正六边形，
∴∠COD= =60°，CO=DO，AO=DO= AD=4mm，
∴△COD为等边三角形，
∴CD=CO=DO=4mm，
即正六边形 的边长为4mm，
故选：D．
【点拨】本题考查了正多边形与圆的性质，正确把握正六边形的中心角、半径与边长的关系是解题的
关键．
10．C
【分析】根据等边三角形的性质可得 ，从而得到∠ADB=∠BDC，故①正确；根据点 是
上一动点，可得 不一定等于 ，故②错误；当 最长时，DB为圆O的直径，可得∠BCD=90°，再
由 是等边 的外接圆，可得∠ABD=∠CBD=30°，可得 ，故③正确；延长DA至点E，使AE=AD，证明△ABE≌△CBD，可得BD=AE，∠ABE=∠DBC，从而得到△BDE是等边三角形，可得到
DE=BD，故④正确；即可求解．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°，
∴ ，
∴∠ADB=∠BDC，故①正确；
∵点 是 上一动点，
∴ 不一定等于 ，
∴DA=DC不一定成立，故②错误；
当 最长时，DB为圆O的直径，
∴∠BCD=90°，
∵ 是等边 的外接圆，∠ABC=60°，
∴BD⊥AC，
∴∠ABD=∠CBD=30°，
∴ ，故③正确；
如图，延长DA至点E，使AE=DC，
∵四边形ABCD为圆O的内接四边形，
∴∠BCD+∠BAD=180°，
∵∠BAE+∠BAD=180°，
∴∠BAE=∠BCD，
∵AB=BC，AE=CD，
∴△ABE≌△CBD，
∴BD=AE，∠ABE=∠DBC，
∴∠ABE+∠ABD=∠DBC+∠ABD=∠ABC=60°，∴△BDE是等边三角形，
∴DE=BD，
∵DE=AD+AE=AD+CD，
∴ ，故④正确；
∴正确的有3个．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了圆周角定理，三角形的外接圆，圆内接四边形的性质，垂径定理，等边三角
形的判定和性质等知识，熟练掌握圆周角定理，三角形的外接圆，圆内接四边形的性质，垂径定理，等边
三角形的判定和性质等知识是解题的关键．
11．
【分析】连接 ，先根据点 的坐标可得 ，再根据等腰三角形的判定可得 是等腰三角
形，然后根据等腰三角形的三线合一可得 ，由此即可得出答案．
解：如图，连接 ，
点 的坐标为 ，
，
由同圆半径相等得： ，
是等腰三角形，
，
（等腰三角形的三线合一），
又 点 位于 轴正半轴，
点 的坐标为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了同圆半径相等、等腰三角形的三线合一、点坐标等知识点，熟练掌握等腰三角形
的三线合一是解题关键．12．
【分析】先根据垂径定理可得 ，再根据等腰直角三角形的判定与性质即可得．
解：由题意得： ， ，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握垂径定理是解题关键．
13．
【分析】如图，连接 证明 再证明 从而可以列方程求解半径．
解：如图，连接
点C、D分别是半圆AOB上的三等分点，
为等边三角形，
解得： （负根舍去），
故答案为：【点拨】本题考查的圆的基本性质，弧，弦，圆心角之间的关系，平行线的判定与性质，扇形面积的
计算，掌握以上知识是解题的关键．
14．
【分析】根据圆周角定理得到 ，再根据圆内接四边形性质和平角的定义即可得解．
解：∵ ，
∴ ，
∵四边形 内接于 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】此题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的性质、圆周角定理是解
题的关键．
15．4
【分析】圆周角定理求出 对应的圆心角的度数，利用 圆心角的度数即可得解．
解：∵ ，
∴ 对应的圆心角的度数为 ，
∵ ，
∴最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器 台；
故答案为：4
【点拨】本题考查圆周角定理，熟练掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半，是解题的关键．
16．35
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，可得∠BAC=55°，再根据切线的性质可得∠BAD=90°，即可
求解．
解：∵AB为直径，
∴∠C=90°，
∵ ，∴∠BAC=55°，
∵AD与 相切，
∴AB⊥AD，即∠BAD=90°，
∴∠CAD=90°-∠BAC=35°．
故答案为：35
【点拨】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质，直径所对的圆周角是直角
是解题的关键．
17．9 +9
【分析】首先过C作CM⊥AB于M，由弦AB已确定，可得要使△ABC的面积最大，只要CM取最大值
即可，即可得当CM过圆心O时，CM最大，然后由圆周角定理，证得△AOB是等腰直角三角形，则可求得
CM的长，继而求得答案．
解：作△ABC的外接圆⊙O，过C作CM⊥AB于M，
∵弦AB已确定，
∴要使△ABC的面积最大，只要CM取最大值即可，
如图所示，当CM过圆心O时，CM最大，
∵CM⊥AB，CM过O，
∴AM＝BM（垂径定理），
∴AC＝BC，
∵∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°，
∴OM＝AM＝ AB＝ ×6＝3，
∴OA＝ ，
∴CM＝OC＋OM＝ ＋3，∴S ＝ AB•CM＝ ×6×（ ＋3）＝9 +9．
ABC
△
故答案为：9 +9．
【点拨】此题考查了圆周角定理以及等腰直角三角形性质．注意得到当CM过圆心O时，CM最大是关
键．
18．
【分析】根据折叠的性质得出 是等边三角形，则 ， ，根据阴影部分面
积 即可求解．
解：如图所示，连接 ，设 交于点
∵将 沿弦 翻折，使点 与圆心 重合，
∴ ，
又
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ,
∴阴影部分面积
故答案为： ．
19．（1）见分析（2）【分析】（1）由AB为⊙O的直径，易证得AC⊥BD，又由DC=CB，根据线段垂直平分线的性质，可
证得AD=AB，即可得：∠B=∠D；
（2）首先设BC=x，则AC=x-2，由在Rt△ABC中， ，可得方程： ，
解此方程即可求得CB的长，继而求得CE的长．
解：（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°
∴AC⊥BC
∵DC=CB
∴AD=AB
∴∠B=∠D
（2）设BC=x，则AC=x－2，
在Rt△ABC中， ，
∴ ，解得： （舍去）．
∵∠B=∠E，∠B=∠D，
∴∠D=∠E
∴CD=CE
∵CD=CB，
∴CE=CB= ．
20．（1） 米；（2）不需要采取紧急措施，理由见分析
【分析】（1）连接 ，利用 表示出 的长，在 中根据勾股定理求出 的值即可；
（2）连接 ，在 中，由勾股定理得出 的长，进而可得出 的长，据此可得出结论．
解：（1）连接 ，
由题意得： ，
在 中，由勾股定理得： ，
解得， ；（2）连接 ，
，
在 中，由勾股定理得： ，
即： ，
解得： ．
．
，
不需要采取紧急措施．
【点拨】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求
解是解答此题的关键．
21．（1）见分析；（2）直线 与⊙O相切，理由见分析．
【分析】（1）AB为⊙O的直径得 ，结合AB=AC，用HL证明全等三角形；
（2）由 得BD=BC，结合AO=BO得OD为 的中位线，由 得 ，
可得直线DE为⊙O切线．
解：（1）∵AB为⊙O的直径
∴
在 和 中
∴ （HL）
（2）直线 与⊙O相切，理由如下：
连接OD，如图所示：由 知： ，
又∵OA=OB
∴OD为 的中位线
∴
∵
∴
∵OD为⊙O的半径
∴DE与⊙O相切．
【点拨】本题考查了全等三角形的证明，切线的判定，熟知以上知识的应用是解题的关键．
22．（1）证明见分析；（2） .
【分析】（1）欲证明AC∥DE，只要证明AC⊥OD，ED⊥OD即可．
（2）作DM⊥OA于M，连接CD，CO，AD，首先证明四边形ACDE是平行四边形，根据S
平行四边形
ACDE=AE•DM，只要求出DM即可．
解：（1）∵ED与⊙O相切于D，
∴OD⊥DE，
∵F为弦AC中点，
∴OD⊥AC，
∴AC∥DE．
（2）作DM⊥OA于M，连接CD，CO，AD．
∵AC∥DE，AE=AO，
∴OF=DF，
∵AF⊥DO，
∴AD=AO，
∴AD=AO=OD，
∴△ADO是等边三角形，同理△CDO也是等边三角形，∴∠CDO=∠DOA=60°，AE=CD=AD=AO=DD=a，
∴AO∥CD，又AE=CD，
∴四边形ACDE是平行四边形，易知DM= ，
∴平行四边形ACDE面积= ．
【点拨】本题考查切线的性质．熟练掌握切线的性质和两直线平行的判定是解决问题的关键.
23．（Ⅰ） ， ； （Ⅱ） .
【分析】（Ⅰ）根据直角三角形的性质求出 的大小，利用圆周角定理求出 的大小；
（Ⅱ）首先根据直径所对的圆周角是90°，得出 ，然后根据圆内接四边形的性质得出
，即可得出 .
解：（Ⅰ）连接 ，如图所示，
∵ 是 的切线，
∴ .
∴ .
∵ ，
∴ ，
∴ .
∴ .
∴ ；（Ⅱ）连接 ，如图所示：
∵ 是 的直径，
∴ .
∴ .
∵ ，
∴ .
∵四边形 是 的内接四边形，
∴ .
∵ ，
∴ ，
∴ .
【点拨】此题属于容易题，主要考查切线的性质与判定、圆周角定理及其圆内接四边形的性质.失分原
因：（1）不能根据直角三角形的性质求出 的大小，不能利用圆周角定理求出 的大小；（2）未掌
握直径所对的圆周角是90°，不能灵活运用圆内接四边形的性质.
24．（1）四边形 为正方形，理由见分析；（2）劣弧 的长为 ；（3）
【分析】（1）根据切线的性质得到 ，根据正方形的判定定理即可得到结论；
（2）求得圆心角 ，利用弧长公式即可求解；
（3）过点 作 于点 ，在 中，得到 ， ，再设
，据此求解即可．
（1）解：四边形 为正方形．
理由：∵ ， 分别与 相切，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，∴四边形 为矩形，
∵ ，
∴四边形 为正方形；
（2）解：由（1）可知，四边形 为正方形，
∴ ，
∴劣弧 的长 ；
（3）解：如图，过点 作 于点 ，
由（1）可知，四边形 为正方形，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ， ，
设 ，则 ， ．
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
【点拨】本题是圆的综合题，考查了正方形的判定，切线的性质，直角三角形的性质，弧长公式，正
确的作出辅助线是解题的关键．
