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第六章 实数 达标检测
一、单选题:
1．在实数 ， ， ， ， ，3.212212221…中，无理数的个数是（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】无理数常见的三种类型（1）开不尽的方根；（2）特定结构的无限不循环小数；（3）含有π的绝
大部分数，如2π．
【详解】−1.414是有限小数，是有理数， 是无理数，π是无理数， 无限循环小数是有理数，
是无理数，3.212212221…是无限不循环小数是无理数，
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是无理数的认识，掌握无理数的常见类型是解题的关键．
2．下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据立方根，算术平方根逐项判断即可．
【详解】解：A. ，故该选项正确；
B. ，故该选项错误；
C. ，故该选项错误；
D. ，故该选项错误．
故选：A．
【点睛】本题考查立方根，算术平方根，解题关键是理解立方根与算术平方根的意义．
3．下列说法正确的是（ ）
A． 平方根是 B． 的平方根是
C．平方根等于它本身的数是1和0 D． 一定是正数【答案】D
【分析】A、根据平方根的概念即可得到答案；
B、 的平方根其实是9的平方根；
C、平方根等于它本身的数与算术平方根是它本身的数要分清楚；
D、先判断出 ，再利用算术平方根的性质直接得到答案．
【详解】A、 是负数，负数没有平方根，不符合题意；
B、 ，9的平方根是 ，不符合题意；
C、平方根等于它本身的数是0，1的平方根是 ，不符合题意；
D、 ，正数的算术平方根大于0，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了平方根及算术平方根的定义及性质，熟练掌握相关知识是解题关键．
4．下列关于 的说法中，错误的是（ ）
A． 是无理数 B．
C．5的平方根是 D．
【答案】C
【分析】根据无理数的定义，算术平方根的估算，平方根和化简绝对值依次判断即可．
【详解】解：A、 是无理数，说法正确，不符合题意；
B、2＜ ＜3，说法正确，不符合题意；
C、5的平方根是± ，故原题说法错误，符合题意；
D、 ，说法正确, 不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了平方根、算术平方根的估算，无理数的定义．注意一个正数的平方根有两个，它们互
为相反数．5．计算：－ ＋ － 的结果是( )
A．1 B．－1 C．5 D．－3
【答案】D
【分析】首先求出各个根式的值，进而即可求解．
【详解】－ ＋ － ，
=-3+2-2，
=-3.
故选D.
【点睛】此题主要考查了实数的运算，解题关键是能够求解一些简单的二次根式的加减问题．
6．如图，在数轴上表示实数 的点可能（ ）．
A．点P B．点Q C．点M D．点N
【答案】C
【分析】确定 是在哪两个相邻的整数之间，然后确定对应的点即可解决问题．
【详解】解：∵9＜15＜16，
∴3＜ ＜4，
∴ 对应的点是M．
故选：C．
【点睛】本题考查实数与数轴上的点的对应关系，解题关键是应先看这个无理数在哪两个有理数之间，进
而求解．
7．有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为4时，输出的y是( )
A．4 B．2 C． D．－
【答案】C【分析】直接利用规定的运算顺序计算得出答案．
【详解】解：4的算术平方根为： =2，则2的算术平方根为： ，是无理数.
故选C．
【点睛】本题考查算术平方根、有理数和无理数定义，正确把握运算顺序是解题关键．
8．若 与 互为相反数，则 的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据相反数与立方根的性质计算即可得答案．
【详解】解：∵ 与 是相反数，
∴ = =
∴3x－1=2y－１，
整理得：3x=2y，即 ，
故选A．
【点睛】本题主要考查立方根的性质，正数的立方根是正数，负数的立方根还是负数，一个数只有一个立
方根，熟练掌握立方根的性质是解题关键．
9．如图所示，直径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达A点，则A点表示的数是（
）
A．﹣2 ﹣1 B．﹣1+ C．﹣1+2 D．﹣
【答案】πD π π π
【分析】先求出圆的周长π，即得到OA的长，然后根据数轴上的点与实数一一对应的关系即可得到点A
表示的数．
【详解】∵直径为单位1的圆的周长＝π×1＝π，
∴OA＝π，∴点A表示的数为﹣π，
故选D．
【点睛】本题考查了实数与数轴，解题的关键是熟知数轴上的点与实数一一对应．
10．如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是( )
A．2 B． C．5 D．
【答案】B
【分析】根据三角形数列的特点，归纳出每一行第一个数的通用公式，即可求出第9行从左至右第5个数.
【详解】根据三角形数列的特点，归纳出每n行第一个数的通用公式是 ，所以，第9行从左至
右第5个数是 = .
故选B
【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，根据每一行第一个数的取值规律，利用累加法求出第9行第五个
数的数值是解决本题的关键，考查学生的推理能力．
二、填空题:
11． 的算术平方根是_________； 的平方根是____________．
【答案】 2
【分析】根据算术平方根和平方根的定义求解即可．
【详解】解∵ ，
∴ 的算术平方根是2， 的平方根是±3．
故答案为：2，±3．
【点睛】本题主要考查了算术平方根，平方根的定义，解题的关键在于能够熟练掌握平方根和算术平方根
的定义．12． _____； ______； ______； ______．
【答案】 2 3.5
【分析】根据平方根的定义、算术平方根的定义以及立方根的定义，即如果一个数的平方等于a，这个数
就叫做a的平方根；一般地，如果一个正数x的平方等于a，即 ，那么这个正数x叫做a的算术平方
根，记作 ；如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果 ，
那么x叫做a的立方根，记作： ．计算即可．
【详解】原式=2；
原式 ；
原式 ；
原式 ；
故答案为：2， ， ， ．
【点睛】本题主要考查了平方根，算术平方根以及立方根，熟记相关定义是解答本题的关键．
13．若将三个数 ， ， 表示在数轴上，其中一个数被墨迹覆盖（如图所示），则这个被覆盖的
数是______．
【答案】
【分析】根据被覆盖的数的范围求出被开方数的范围，然后即可得解．
【详解】设被覆盖的数是 ，根据图形可得
，
∴ ，∴三个数 ， ， 中符合范围的是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了实数与数轴的关系，根据数轴确定出被覆盖的数的取值范围是解题的关键．
14．若一个正数的平方根是2a+1和﹣a+2，则a＝_____，这个正数是_____．
【答案】 -3 25
【分析】根据已知得出方程2a+1﹣a+2＝0，求出即可．
【详解】解：∵一个正数的平方根是2a+1和﹣a+2，
∴2a+1﹣a+2＝0，
解得：a＝﹣3，
即这个正数是[2×（﹣3）+1]2＝25，
故答案为：﹣3；25．
【点睛】本题考查了对平方根的应用，注意：正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数
没有平方根．
15．计算： ＝___．
【答案】3
【分析】原式利用绝对值的代数意义，以及二次根式性质化简即可得到结果．
【详解】解：∵ ＞0， ＜0，﹣2＜0，
∴原式＝ ﹣（ ）+|﹣2|
＝ ﹣2+3- +2
＝3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了绝对值的化简，二次根式的性质，准确掌握性质是解题的关键．
16．比较大小： ____ ； ____ ； ____ ； ____ ．
【答案】 <， <， >， >
【分析】根据实数的比较大小，将根指数不同的根式化为与之相等的同根式比较，利用放缩法比较，利用
中间过渡法比较，利用有理数化为根式形式比较．【详解】解：∵ ， ，8＜9，
∴ _＜_ ；
∵ ，即 ，
∴ _＜___ ；
∵ ， ，
∴ ，
∴ __＞__ ；
∵7= ，
_＞__ ．
故答案为＜；＜；＞；＞．
【点睛】本题考查实数的大小比较，掌握实数的比较方法，化为同次根式，比较被开方数大小，放缩法比
较大小，中间过渡法比较是解题关键．
17．若 与 互为相反数，则 ________．
【答案】2．
【分析】根据相反数的概念列式，根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可．
【详解】解：由题意得： ，
则：a−1＝0，b＋1＝0，
解得：a＝1，b＝−1，
则 1＋1＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非
负数都为0．18．若2+ 的小数部分为a，5－ 的小数部分为b，则a+b的值为______．
【答案】1
【分析】估算确定出a与b的值，即可求出所求．
【详解】解：∵4＜6＜9，
∴2＜ ＜3，即4＜2+ ＜5，2＜5- ＜3，
则a=2+ -4，b=5- -2，
则a+b=2+ -4+5- -2=1．
故答案为1.
【点睛】本题考查有理数的大小，弄清估算的方法是解本题的关键．
19．已知 的立方根是3， 的算术平方根是4，c是 的整数部分，则 的平方根为
___________．
【答案】±4
【分析】利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值，代入代数式求
出值后，进一步求得平方根即可．
【详解】∵5a＋2的立方根是3，3a＋b-1的算术平方根是4，
∴5a＋2＝27，3a＋b-1＝16，
∴a＝5，b＝2，
∵c是 的整数部分，
∴c＝3，
∴
∴ 的平方根是±4．
故答案为：±4．
【点睛】本题主要考查的知识点是立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、
代数式求值，解题关键是读懂题意，掌握解答顺序，正确计算即可．20．已知 ，若 ，则 ______；
________； _________；若 ，则 _______．
【答案】 214000 214
【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的概念依次求解即可．
【详解】解：∵ ，且 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 且 ，
∴ ，
故答案为：214000，±0.1463，-0.1289，214．
【点睛】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的概念等，属于基础题，熟练掌握其定义是解决本类题
的关键．
三、解答题:
21．把下列各数分别填入相应的集合中：－(－230)， ，0，－0.99，1.31，5， ，3.14246792…，－ .
(1)整数集合：{ …}
(2)非正数集合：{ …}
(3)正有理数集合：{ …}
(4)无理数集合：{ …}
【答案】(1)整数集合：{－(－230)，0,5，…}；(2)非正数集合：{0，－0.99，－ ，…}；(3)正有理数集合：
{－(－230)， ，1.31,5，…}；(4)无理数集合：{ ，3.142 467 92…，…}【分析】根据整数、非负数、有理数、无理数的定义判断可得答案.
【详解】解：根据整数、非负数、有理数、无理数的定义可得：
(1)整数集合：{－(－230)，0,5，…}；
(2)非正数集合：{0，－0.99，－ ，…}；
(3)正有理数集合：{－(－230)， ，1.31,5，…}；
(4)无理数集合：{ ，3.142 467 92…，…}
【点睛】本题主要考查整数、非负数、有理数、无理数的定义.
22．求下列各式的值：
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．
【答案】（1） ；（2） ；（3）0.4；（4）0.3
【分析】根据平方根和立方根的定义，即可求解．
【详解】解：（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【点睛】本题主要考查了平方根和立方根的定义，熟练掌握一般地，如果一个数 的平方等于 ，则称
是 的一个平方根，记作： ；如果一个数 的立方等于 ，则称 是 的一个立方根，记作：
是解题的关键．
23．比较下列各组数的大小：
（1） 与6；（2） 与 ；
（3） 与 ．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）直接化简二次根式进而比较得出答案；
（2）直接估算无理数的取值范围进而比较即可；
（3）直接估算无理数的取值范围进而比较即可．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ；
（3）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了实数比较大小，正确估算无理数取值范围是解题关键．
24．计算:（1） （2）
【答案】（1） （2）9
【分析】（1）根据绝对值的意义去绝对值，然后合并即可；
（2）先进行开方运算，然后进行加法运算．【详解】解：（1）原式=
=2 -4；
（2）原式=-（-2）+5+2
=2+5+2
=9．
25．求下列各式中的x：
（1） ； （2）
（3） ； （4） ．
【答案】（1） ；（2） ；（3） 或 ；（4）
【分析】（1）先移项，系数化为1，再根据平方根定义进行解答．
（2）由 得 ＝ ，再根据立方根定义即可解答．
（3）由 得： ，再开平方后解一元一次方程即可．
（4）由 得： ，再开平方后解一元一次方程即可．
【详解】（1） 移项得： ，
系数化为1： ，
∵ ，
∴ ．
（2）由 得： ，
∵ ，
∴ ，解得： ．
（3）由 得： ，
∴ 或 ，
解得： 或 ．
（4）由 得： ，
，
∴ 或 ，
解得： ．
【点睛】本题考查平方根、立方根的意义，等式的性质，掌握等式的性质和平方根、立方根的求法是正确
计算的前提．
26．已知 的平方根是 ， 的算术平方根是4，求 的平方根．
【答案】
【分析】根据平方根和算术平方根的定义即可求出 和 的值，进而求出a和b的值，将a和b
的值代入 即可求解．
【详解】解：∵ 的平方根是 ， 的算术平方根是4，
∴ =9， =16，
∴a=4，b=-1
把a=4，b=-1代入 得：3×4-4×(-1)=16，
∴ 的平方根为： ．
【点睛】本题主要考查了算术平方根和平方根，熟练掌握算术平方根和平方根的定义是解题的关键．注意：
一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
27．已知M 是m+3的算术平方根，N 是n﹣2的立方根．求（n﹣m）2008．
【答案】
【分析】由M 是m+3的算术平方根，N 是n﹣2的立方根，建立方程组：，解方程组可得答案．
【详解】解： M 是m+3的算术平方根，N 是n﹣2的立方根．
即：
解得： ，
【点睛】本题考查的是算术平方根，立方根的含义，二元一次方程组的解法，乘方符号的确定，掌握以上
知识是解题的关键．
28．观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：
（1） ， ， ，……
， ， ，……
由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向______移动______位．
（2）已知 ， ，则 _____； ______．
（3） ， ， ，……
小数点的变化规律是_______________________．
（4）已知 ， ，则 ______．
【答案】（1）两；右；一；（2）12.25；0.3873；（3）被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根
的小数点向右（左）移动一位；（4）-0.01
【分析】（1）观察已知等式，得到一般性规律，写出即可；
（2）利用得出的规律计算即可得到结果；
（3）归纳总结得到规律，写出即可；（4）利用得出的规律计算即可得到结果．
【详解】解：（1） ， ， ，……
， ， ，……
由此可见，被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位．
故答案为：两；右；一；
（2）已知 ， ，则 ； ；
故答案为：12.25；0.3873；
（3） ， ， ，……
小数点的变化规律是：被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；
（4）∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴y=-0.01．
【点睛】此题考查了立方根，以及算术平方根，弄清题中的规律是解本题的关键．
