文档内容
宁夏回族自治区 2023 年初中学业水平考试数学试题
注意事项：
1．本试卷满分120分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上规定位置，认真核对条形码上
的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在指定位置上．
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在
本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一个是
符合题目要求的）
1. 的绝对值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据绝对值的性质解答即可．
【详解】 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了绝对值，掌握绝对值的性质是解答本题的关键．
2. 下面是由七巧板拼成的图形（只考虑外形，忽略内部轮廓），其中轴对称图形是（ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．是轴对称图形，故此选项合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据合并同类项，同底数幂的除法，完全平方公式，积的乘方，逐一计算判断即可．
【详解】解：A、 ，故选项A错误；
B、 ，故选项B错误；
C、 ，故选项C错误；
D、 ，故选项D正确；
故选D．
【点睛】本题考查整式的运算．熟练掌握合并同类项，同底数幂的除法，完全平方公式，积的乘方法则，
是解题的关键．
4. 劳动委员统计了某周全班同学的家庭劳动次数 （单位：次），按劳动次数分为 4组： ，， ， ，绘制成如图所示的频数分布直方图．从中任选一名同学，则该同学这
周家庭劳动次数不足6次的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用概率公式进行计算即可．
【详解】解：由题意，得： ；
故选A．
【点睛】本题考查直方图，求概率．解题的关键是从直方图中有效的获取信息．
5. 估计 的值应在（ ）
A. 和4之间 B. 4和 之间
C. 和5之间 D. 5和 之间
【答案】C
【解析】
【分析】先找到所求的无理数在哪两个和它接近的有理数之间，然后判断出所求的无理数的范围．
【详解】∵ ，
∴ ，排除A和D，
又∵23更接近25，
∴ 更接近5，∴ 在 和5之间，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了无理数的大小估算，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，
“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
6. 将一副直角三角板和一把宽度为2cm的直尺按如图方式摆放：先把 和 角的顶点及它们的直角边
重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角板的斜边分别交直尺上
沿于 ， 两点，则 的长是（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得 ，由含30度角直角三角形的性质可得
，由勾股定理可得 的长，即可得到结论．
【详解】解：如图，在 中， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，含 角直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理
是解题的关键．
7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数 与 图的象如图所示，则下列
结论错误的是（ ）
A. 随 的增大而增大
B.
C. 当 时，
D. 关于 ， 的方程组 的解为
【答案】C
【解析】
【分析】结合图象，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、 随 的增大而增大，故选项A正确；
B、由图象可知，一次函数 的图象与 轴的交点在 的图象与 轴的交点的下方，即 ，故选项B正确；
C、由图象可知：当 时， ，故选项C错误；
D、由图象可知，两条直线的交点为 ，
∴关于 ， 的方程组 的解为 ；
故选项D正确；
故选C．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从
函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键．
8. 如图，在 中， ， ， ．点 在 上，且 ．连接
，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ， ．则 的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】证明 ，得到 ，推出 为直角三角形，利用
的面积等于 ，进行求解即可．
【详解】解：∵ ， ，∴ ， ，
∵将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 的面积等于 ；
故选B．
【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握旋转的性质，得
到三角形全等是解题的关键．本题蕴含手拉手全等模型，平时要多归纳，多总结，便于快速解题．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9. 计算： ________．
【答案】
【解析】
【分析】根据同分母分式加法法则计算即可．【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查分式的加法，题目较为基础．
10. 如图，在边长为2的正方形 中，点 在 上，连接 ， ．则图中阴影部分的面积是
________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据正方形 的 ， ，边长为2，阴影部分面积等于 与
面积的和，运用三角形面积公式，即可求解．
【详解】∵四边形 为正方形，
∴ ， ，
∵正方形 的边长为2，
∴
．故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了正方形，三角形面积．熟练掌握正方形的边角性质，三角形面积公式，是解题的
关键．
11. 方程 有两个相等的实数根，则 的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据方程有两个相等的实数根 ，进行求解即可．
【详解】解：∵方程有两个相等的实数根，
∴ ，
解得： ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查根的判别式，熟练掌握 ，方程有两个相等的实数根，是解题的关键．
12. 如图，在标有数字1，2，3，4的四宫格里任选两个小方格，则所选方格中数字之和为4的概率是
________．
【答案】
【解析】
【分析】利用列表法求概率即可．
【详解】解：列表如下：
1 2 3 4
1 3 4 5
2 3 5 6
3 4 5 74 5 6 7
共有12种等可能的结果，其中和为4有2种等可能的结果，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查列表法求概率．熟练掌握列表法，是解题的关键．
13. 如图，四边形 内接于 ，延长 至点 ，已知 ，那么 ________
．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆周角定理得到 ，再根据圆内接四边形性质和平角的定义即可得解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵四边形 内接于 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故答案为： ．
【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的性质、圆周角定理是解题的
关键．
14. 如图，点 ， ， 在数轴上，点 表示的数是 ，点 是 的中点，线段 ，则点 表
示的数是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据两点间的距离公式和中点平分线段进行计算即可．
【详解】解：∵点 是 的中点，线段 ，
∴ ，
∴点 表示的数是： ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，以及线段的中点．熟练掌握线段中点的定义，以及数轴上两点间
的距离公式，是解题的关键．
15. 如图是某种杆秤．在秤杆的点 处固定提纽，点 处挂秤盘，点 为0刻度点．当秤盘不放物品时，
提起提纽，秤砣所挂位置移动到点 ，秤杆处于平衡．秤盘放入 克物品后移动秤砣，当秤砣所挂位置与
提扭的距离为 毫米时秤杆处于平衡．测得 与 的几组对应数据如下表：
/克 0 2 4 6 10
1
/毫米 10 18 22 30
4
由表中数据的规律可知，当 克时， ________毫米．【答案】50
【解析】
【分析】根据表格可得y与x的函数关系式，再将 代入求解即可．
【详解】解：由表格可得，物品每增加2克，秤砣所挂位置与提扭的距离增加4毫米，则物品每增加1克，
秤砣所挂位置与提扭的距离增加2毫米，
当不挂重物时，秤砣所挂位置与提扭的距离为10毫米，
∴y与x的函数关系式为 ，
当 时， ，
故答案为：50．
【点睛】本题考查由表格得函数关系式以及求函数值，通过表格得出函数关系式是解题的关键．
16. 如图是由边长为1的小正方形组成的 网格，点 ， ， ， ， ， ， 均在格点上．下列
结论：
①点 与点 关于点 中心对称；
②连接 ， ， ，则 平分 ；
③连接 ，则点 ， 到线段 的距离相等．
其中正确结论的序号是________．
【答案】①②③
【解析】【分析】根据描述，作图，逐一进行判断即可；
【详解】解：①如图：
点 与点 关于点 中心对称；故①正确；
②如图：
由图可知： ，
∴ 为等腰三角形，
∵ 经过 的中点，
∴ 平分 ，故②正确；
③如图， 点到 的距离为 ， 点到 的距离为 ，∴ ，
∴点 ， 到线段 的距离相等，故③正确；
综上，正确的有①②③；
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查中心对称图形，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，正方形的判定和性质．解题的关
键是根据描述，正确的画图，熟练掌握相关知识点．
三、解答题（本题共10小题，其中17~22题每小题6分，23、24题每小题8分，25、26题每
小题10分，共72分）
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】先化简各式，在按照运算顺序进行计算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查特殊角三角函数值，实数的混合运算．解题的关键是熟记特殊角的三角函数值，掌握相
关运算法则，正确的进行计算．
18. 解不等式组
下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务：
解：由①得：
第1步
第2步
第3步第4步
任务一：该同学的解答过程第_______步出现了错误，错误原因是_______，不等式①的正确解集是
_______；
任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集．
【答案】任务一：4，不等号的方向没有发生改变， ；任务二： ，
【解析】
【分析】任务一：系数化1时，系数小于0，不等号的方向要发生改变，即可得出结论；
任务二：移项，合并同类项，系数化1，求出不等式②的解集，进而得出不等式组的解集即可．
【详解】解：任务一：∵ ，
∴ ；
∴该同学的解答过程第4步出现了错误，错误原因是不等号的方向没有发生改变，不等式①的正确解集是
；
故答案为：4，不等号的方向没有发生改变， ；
任务二： ，
，
，
；
又 ，
∴不等式组的解集为： ．
【点睛】本题考查解一元一次不等式，求不等式组的解集．解题的关键是正确的求出每一个不等式的解集，
注意系数化1时，系数是负数，不等号的方向要发生改变．
19. 如图，已知 ， ， 分别是 和 上的点， ．求证：四边形 是
平行四边形．【答案】见解析
【解析】
【分析】根据平行线的性质和判定证得 ，再根据平行四边形的判定即可证得结论．
【详解】证明： ，
，
又 ，
，
，
，
四边形 是平行四边形．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，平行四边形的判定，根据平行线的性质和判定证得
是解决问题的关键．
20. “人间烟火味，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．某经营者购进了 型和
型两种玩具，已知用520元购进 型玩具的数量比用175元购进 型玩具的数量多30个，且 型玩具单
价是 型玩具单价的 倍．
（1）求两种型号玩具的单价各是多少元？
根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程：
甲： ，解得 ，经检验 是原方程的解．
乙： ，解得 ，经检验 是原方程的解．
则甲所列方程中的 表示_______，乙所列方程中的 表示_______；的
（2）该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号 玩具共200个，则最多可购进 型玩具多少
个？
【答案】（1） 型玩具的单价；购买 型玩具的数量
（2）最多购进 型玩具 个
【解析】
【分析】（1）根据方程表示的意义，进行作答即可；
（2）设最多购进 型玩具 个，根据题意，列出方程进行求解即可．
【小问1详解】
解：对于甲： 表示的是：用520元购进 型玩具的数量比用175元购进 型玩具的数量多
30个，
∴ 分别表示 型玩具和 型玩具的数量，
∴ 表示 型玩具的单价；
对于乙： 表示的是： 型玩具单价是 型玩具单价的 倍，
∴ ，分别表示表示 型玩具和 型玩具的单价，
∴ 表示购买 型玩具的数量；
故答案为： 型玩具的单价；购买 型玩具的数量
【小问2详解】
设购进 型玩具 个，则购买 型玩具 个，
由（1）中甲同学所列方程的解可知： 型玩具的单价为5元，则 型玩具的单价为 元，
由题意，得： ，
解得： ，
∵ 为整数，∴ ；
答：最多购进 型玩具 个．
【点睛】本题考查分式方程和一元一次不等式的应用．读懂题意，找准等量关系，正确的列出方程和不等
式，是解题的关键．
21. 给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压 是气体体积 （ ）的
反比例函数，其图象如图所示．
（1）当气球内的气压超过 时，气球会爆炸．若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至
少为多少时气球不会爆炸（球体的体积公式 ， 取3）；
（2）请你利用 与 的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎．
【答案】（1）气球的半径至少为 时，气球不会爆炸；
（2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．
【解析】
【分析】（1）设函数关系式为 ，用待定系数法可得 ，即可得当 时，
，从而求出 ；
（2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．
【小问1详解】设函数关系式为 ，
根据图象可得： ，
，
当 时， ，
，
解得： ，
，
随 的增大而减小，
要使气球不会爆炸， ，此时 ，
气球的半径至少为 时，气球不会爆炸；
【小问2详解】
由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，涉及立方根等知识，解题的关键是读懂题意，掌握待定系数法求出
反比例函数的解析式．
22. 如图，粮库用传送带传送粮袋，大转动轮的半径为10cm，传送带与水平面成 角．假设传送带与转
动轮之间无滑动，当大转动轮转 时，传送带上点 处的粮袋上升的高度是多少？（传送带厚度忽略
不计）
【答案】粮袋上升的高度是 cm【解析】
【分析】先求出粮袋移动的距离，再根据含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可．
【详解】解：如图，设大转动轮转 时，粮袋移动到点 ，
则： ，
过点 作 ， 于点 ，
∴ ，
∴ ，即：粮袋上升的高度是 cm．
【点睛】本题考查求弧长，含30度的直角三角形．解题的关键是掌握粮袋移动的距离为大轮转动的距离．
23. 学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试（满分100分）．已知七、八年级各有200人，
现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩 （单位：分）进行统计：
七年级 86 94 79 84 71 90 76 83 90 87
八年级 88 76 90 78 87 93 75 87 87 79
整理如下：
中位
年级 平均数 众数 方差
数
七年
84 90
级
八年
84 87
级
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空： _______， ________．
同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是________年级的学生；
（2）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数；
（3）你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出一条理由．
【答案】（1）85，87，七；
（2）220 （3）八年级，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可求出答案；
（2）分别求出七、八年级优秀的比例，再乘以总人数即可；
（3）两组数据的平均数相同，通过方差的大小直接比较即可．
【小问1详解】
解：把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：71，76，79，83，84，86，87，90，90，94，
根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为 ，
八年级10名学生的成绩中87分的最多有3人，所以众数 ，
A同学得了86分大于85分，位于年级中等偏上水平，由此可判断他是七年级的学生；
故答案为：85，87，七；
【小问2详解】
（人），
答：该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数为220人；
【小问3详解】
我认为八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好，
理由：因为七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，所以
八年级的学生掌握防震减灾科普知识的总体水平较好．
【点睛】本题考查中位数、众数、方差的意义和计算方法以及用样本估计总体，理解各个概念的内涵和计
算方法是解题的关键．
24. 如图，已知 是 的直径，直线 是 的切线，切点为 ， ，垂足为 ．连接
．（1）求证： 平分 ；
（2）若 ， ，求 的半径．
【答案】（1）见解析 （2） 的半径为
【解析】
【分析】（1）连接 ，根据切线的性质可得 ，证明 ，根据平行线的性质和等腰三
角形的性质求出 即可；
（2）连接 ，过点O作 于F，证明 ，根据正切的定义列式求出 ，再根
据勾股定理求出 即可．
【小问1详解】
证明：连接 ，
∵直线 是 的切线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，即 平分 ；
【小问2详解】
解：连接 ，过点O作 于F，则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 的半径为 ．
【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，垂径定理，解直角三角形以
及勾股定理等知识，灵活运用各性质进行推理论证是解题的关键．
25. 如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ．已知点 的坐标是，抛物线的对称轴是直线 ．
（1）直接写出点 的坐标；
（2）在对称轴上找一点 ，使 的值最小．求点 的坐标和 的最小值；
（3）第一象限内的抛物线上有一动点 ，过点 作 轴，垂足为 ，连接 交 于点 ．
依题意补全图形，当 的值最大时，求点 的坐标．
【答案】（1）
（2）点 ， 的最小值为
（3）
【解析】
【分析】（1）根据抛物线的对称性，进行求解即可；
（2）根据抛物线的对称性，得到 ，得到当 三点共线时， 的
值最小，为 的长，求出直线 的解析式，解析式与对称轴的交点即为点 的坐标，两点间的距离公
式求出 的长，即为 的最小值；
（3）根据题意，补全图形，设 ，得到 ， ，将的最大值转化为二次函数求最值，即可得解．
【小问1详解】
解：∵点 关于对称轴的对称点为点 ，对称轴为直线 ，
∴点 为 ；
【小问2详解】
当 时， ，
∴ ，
连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵点 关于对称轴的对称点为点 ，
∴ ，
的
∴当 三点共线时， 值最小，为 的长，
设直线 的解析式为： ，
则： ，解得： ，
∴ ，∵点 在抛物线的对称轴上，
∴ ；
∴点 ， 的最小值为 ；
【小问3详解】
过点 作 轴，垂足为 ，连接 交 于点 ，如图所示，
∵ ，
设抛物线的解析式为： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则： ，
由（2）知：直线 ： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 有最大值，此时 ．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用抛物线的对称性以及数形结合的思
想进行求解，是解题的关键．
26. 综合与实践
问题背景
数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为 的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探
究．
探究发现
如图1，在 中， ， ．（1）操作发现：将 折叠，使边 落在边 上，点 的对应点是点 ，折痕交 于点 ，连
接 ， ，则 _______ ，设 ， ，那么 ______（用含 的式子表示）；
（2）进一步探究发现： ，这个比值被称为黄金比．在（1）的条件下试证明：
；
拓展应用：
当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1中的 是黄金三角
形．如图2，在菱形 中， ， ．求这个菱形较长对角线的长．
【答案】（1） （2）证明见解析，拓展应用：
【解析】【分析】（1）利用等边对等角求出 的长，翻折得到 ，
，利用三角形内角和定理求出， ， ，表示
出 即可；
（2）证明 ，利用相似比进行求解即可得出 ；
拓展应用：连接 ，延长 至点 ，使 ，连接 ，得到 为黄金三角形，进而得到
，求出 的长即可．
【详解】解：（1）∵ ， ，
∴ ，
∵将 折叠，使边 落在边 上，
∴ ， ，
∴ ， ；
故答案为： ；
（2）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
整理，得： ，
解得： （负值已舍掉）；
经检验 是原分式方程的解．
∴ ；
拓展应用：
如图，连接 ，延长 至点 ，使 ，连接 ，
∵在菱形 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ 为黄金三角形，
∴ ，
∴ ．即菱形的较长的对角线的长为 ．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质．解题的关键是理解
并掌握黄金三角形的定义，利用相似三角形的判定和性质，得到黄金三角形的底边与腰长的比为 ．
