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辽宁省中考数学试卷
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中；有一项
是符合题目要求的）
1. 如图是由5个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．找到从上面看所得到的图形即
可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【
详解】从上面看易得上面一层有2个正方形，下面左边有1个正方形．
故选：A．
2. 亚洲、欧洲、非洲和南美洲的最低海拔如下表：
大洲 亚洲 欧洲 非洲 南美洲
最低海拔
其中最低海拔最小的大洲是（ ）
A. 亚洲 B. 欧洲 C. 非洲 D. 南美洲
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了负数的大小比较，掌握负数比较大小，绝对值大的反而小是解题关键．比较各负
数的绝对值，绝对值最大的，海拔就最低，故可得出答案．
【详解】 ， ， ，
∵ ，∴ ，
∴海拔最低的是亚洲．
故选：A．
3. 越山向海，一路花开．在5月24日举行的2024辽宁省高品质文体旅融合发展大型产业招商推介活动中，
全省30个重大文体旅项目进行集中签约，总金额达532亿元．将53200000000用科学记数法表示为（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，
为整数，表示时关键要正确确定 的值以及 的值．
科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．确定 的值时，要看把原数变
成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值 时， 是正整数；
当原数的绝对值 时， 是负整数．
【详解】解： ，
故选：C．
4. 如图，在矩形 中，点 在 上，当 是等边三角形时， 为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
由矩形 得到 ，继而得到 ，而 是等边三角形，因此得到．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、单项式乘以多项式等知识点进行判定即可．
【详解】A． ，故本选项原说法不符合题意；
B． ，故本选项原说法不合题意；
C． ，故本选项原说法不合题意；
D． ，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了整式的运算，涉及的知识有：合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、单项式乘以
多项式的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6. 一个不透明袋子中装有4个白球，3个红球，2个绿球，1个黑球，每个球除颜色外都相同．从中随机摸
出一个球，则下列事件发生的概率为 的是（ ）
A. 摸出白球 B. 摸出红球 C. 摸出绿球 D. 摸出黑球【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了概率，熟练掌握概率公式是解题关键．分别求出摸出四种颜色球的概率，即可得到答
案．
【详解】解：A、摸出白球的概率为 ，不符合题意；
B、摸出红球 ，符合题意；
C、摸出绿球 ，不符合题意；
D、摸出黑球 ，不符合题意；
故选：B．
7. 纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折
叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转 ，如
果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折
叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
8. 我国古代数学著作《孙子算经》中有“雉兔同笼”问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四
足，问雉兔各几何？”其大意是：鸡兔同笼，共有35个头，94条腿，问鸡兔各多少只？设鸡有 只，兔
有 只，根据题意可列方程组为（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系是解题关键．设鸡有 只，兔有 只，根据
“鸡兔同笼，共有35个头，94条腿”列二元一次方程组即可．
【详解】解：设鸡有 只，兔有 只，
由题意得： ，
故选：D．
9. 如图， 的对角线 ， 相交于点 ， ， ，若 ， ，
则四边形 的周长为（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
由四边形 是平行四边形得到 ， ，再证明四边形 是平行四边形，则
，即可求解周长．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，∴ ，
∴周长为： ，
故选：C．
10. 如图，在平面直角坐标系 中，菱形 的顶点 在 轴负半轴上，顶点 在直线 上，
若点 的横坐标是8，为点 的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过点B作 轴，垂足为点D，先求出 ，由勾股定理求得 ，再由菱形的性
质得到 轴，最后由平移即可求解．
【详解】解：过点B作 轴，垂足为点D，
∵顶点 在直线 上，点 横坐标是8，
的
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ 轴，∴由勾股定理得： ，
∵四边形 是菱形，
∴ 轴，
∴将点B向左平移10个单位得到点C，
∴点 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的图像，勾股定理，菱形的性质，点的坐标平移，熟练掌握知识点，正确添
加辅助线是解题的关键．
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 方程 的解为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
先去分母，再解一元一次方程，最后再检验．
【详解】解： ，
，
解得： ，
经检验： 是原方程的解，
∴原方程的解为： ，
故答案为： ．
12. 在平面直角坐标系中，线段 的端点坐标分别为 ， ，将线段 平移后，点 的对应点 的坐标为 ，则点 的对应点 的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移，熟练掌握知识点是解题的关键．
先由点A和点 确定平移方式，即可求出点 的坐标．
【详解】解：由点 平移至点 得，点A向上平移了2个单位得到点 ，
∴ 向上平移2个单位后得到点 ，
故答案为： ．
的
13. 如图， ， 与 相交于点 ，且 与 面积比是 ，若 ，则
的长为______．
【答案】12
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，把握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题的关键．
可得 ，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
故答案为：12．
14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 与相交于点 ， ，点 的坐标为 ，
若点 在抛物线上，则 的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了待定系数求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练求解二次函数的解析式是
解题的关键．先利用待定系数法求得抛物线 ，再令 ，得 ，解得
或 ，从而即可得解．
【详解】解：把点 ，点 代入抛物线 得，
，
解得 ，
∴抛物线 ，
令 ，得 ，
解得 或 ，
∴ ，∴ ；
故答案为： ．
15. 如图，四边形 中， ， ， ， ．以点 为圆心，以 长
为半径作图，与 相交于点 ，连接 ．以点 为圆心，适当长为半径作弧，分别与 ， 相交
于点 ， ，再分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在 的内部相交于点
，作射线 ，与 相交于点 ，则 的长为______（用含 的代数式表示）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了作图﹣作角平分线，平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关
键．
利 用 基 本 作 图 得 到 ， 平 分 ， ， 接 着 证 明 得 到
，然后利用 求解．
【详解】解：由作法得 ， 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．故答案为： ．
三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16. （1）计算： ；
（2）计算： ．
【答案】（1） ；（2）1
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，分式的化简，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）先化简二次根式，去绝对值，再进行加减运算；
（2）先计算乘法，再计算加法即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
．
17. 甲、乙两个水池注满水，蓄水量均为 、工作期间需同时排水，乙池的排水速度是 ．若排
水3h，则甲池剩余水量是乙池剩余水量的2倍．
（1）求甲池的排水速度．
（2）工作期间，如果这两个水池剩余水量的和不少于 ，那么最多可以排水几小时？
【答案】（1）
（2）4小时
【解析】【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题，一元一次不等式的应用，熟练掌握知识点，正确理解题意
是解题的关键．
（1）设甲池的排水速度为 ，由题意得， ，解方程即可；
（2）设排水a小时，则 ，再解不等式即可．
【小问1详解】
解：设甲池的排水速度为 ，
由题意得， ，
解得： ，
答：甲池的排水速度为 ；
【小问2详解】
解：设排水a小时，
则 ，
解得： ，
答：最多可以排4小时．
18. 某校为了解七年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校七年级部分学生进行测试，并对测
试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为100分，学生测试成绩 均为不小于60的整数，分为四
个等级：D： ，C： ，B： ，A： ），部分信息如下：
信息一：信息二：学生成绩在B等级的数据（单位：分）如下：
80，81，82，83，84，84，84，86，86，86，88，89
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求所抽取的学生成组为C等级的人数；
（2）求所抽取的学生成绩的中位数；
（3）该校七年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计成绩为A等级的人数．
【答案】（1）7人 （2）85
（3）120人
【解析】
【分析】本题考查了扇形统计图和频数分布直方图，中位数，用样本估计总体，正确理解题意是解题的关
键．
（1）先根据B的人数以及所占百分比求得总人数，再拿总人数减去A、B、D的人数即可；
（2）总人数为30人，因此中位数是第15和第16名同学的成绩的平均数，由于C中1人，D中7人，B中
12人，故中位数是B中第7和第8名同学的成绩的平均数，因此中位数为： ；
（3）拿360乘以A等级的人数所占百分比即可．
【小问1详解】
解：总人数为： （人），
∴抽取的学生成组为C等级的人数为： （人）；
【小问2详解】
解：总人数为30人，因此中位数是第15和第16名同学的成绩的平均数，
∵C中1人，D中7人，B中12人，故中位数是B中第7和第8名同学的成绩的平均数，∴中位数为： ；
【小问3详解】
解：成绩为A等级的人数为： （人），
答：成绩为A等级的人数为120．
19. 某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量 （件）与每件售价 （元）满足一次函数关系，
部分数据如下表所示：
每件售价 /元
日销售量 /件
（1）求 与 之间的函数关系式（不要求写出自变量 的取值范围）；
（2）该商品日销售额能否达到 元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由．
【答案】（1） ；
（2）该商品日销售额不能达到 元，理由见解析。
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）利用待定系数法求
出 与 之间的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
（1）根据表格中的数据，利用待定系数法即可求出 与 之间的函数表达式；
（2）利用销售额 每件售价 销售量，即可得出关于 的一元二次方程，利用根与系数的关系求解即可．
【小问1详解】
解：设 与 之间的函数表达式为 ，
将 ， 代入 得
，
解得 ，与 之间的函数表达式为 ；
【小问2详解】
解：该商品日销售额不能达到 元，理由如下：
依题意得 ，
整理得 ，
∴ ，
∴该商品日销售额不能达到 元．
20. 如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如
图2，此时测得点 到 所在直线的距离 ， ；停止位置示意图如图3，此时测得
（点 ， ， 在同一直线上，且直线 与平面平行，图3中所有点在同一平面内．定
滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据： ， ，
， ）
（1）求 的长；
（2）求物体上升的高度 （结果精确到 ）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．（1）解 即可求解；
（2）在 中，由勾股定理得， ，解 求得 ，由题意得，
，故 ，则 ．
【小问1详解】
解：由题意得， ，
∵ ， ，
∴在 中，由 ，
得： ，
∴ ,
答： ；
【小问2详解】
解：在 中，由勾股定理得， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
由题意得， ，
∴ ，
∴ ，
答：物体上升的高度约为 ．21. 如图， 是 的外接圆， 是 的直径，点 在 上， ， 在 的延长线
上， ．
（1）如图1，求证： 是 的切线；
（2）如图2，若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】（1）连接 ，则 ，故 ，由 ，得到 ，而
，则 ，由 ，得 ，因此
，故 ，则 是 的切线；
（2）连接 ，可得 ，则 ，故 ，
由 ，得 ，那么 长为 ．
【小问1详解】
证明：连接 ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 为直径，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的切线；
【
小问2详解】
解：连接 ，
由（1）得 ，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 长为： ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，直角三角形的性质，三角形的外角性质，弧长公式等，正
确添加辅助线是解决本题的关键．
22. 如图，在 中， ， ．将线段 绕点 顺时针旋转
得到线段 ，过点 作 ，垂足为 ．
图1 图2 图3
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2， 的平分线与 的延长线相交于点 ，连接 ， 的延长线与 的延长线相
交于点 ，猜想 与 的数量关系，并加以证明；
（3）如图3，在（2）的条件下，将 沿 折叠，在 变化过程中，当点 落在点 的位置时，连接 ．
①求证：点 是 的中点；
②若 ，求 的面积．
【答案】（1）见详解 （2）
（3）30
【解析】
【分析】（1）利用“ ”即可证明；
（2）可知 ，证明 ，则 ，可得 ，
则 ，故 ；
（3）①翻折得 ，根据等角的余角相等得到 ，故 ，则 ，即
点F是 中点；
②过点F作 交 于点M，连接 ，设 ， ，则
，由翻折得 ，故 ，因此 ，在
中，由勾股定理得： ，解得： 或 （舍，此时
） ，在 中，由勾股定理得： ，解得： ，则
，由 ，得到 ， ，因此
，故 ．
【小问1详解】
证明：如图，由题意得， ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
猜想：
证明：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【
小问3详解】
解：①由题意得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即点F是 中点；
②过点F作 交 于点M，连接 ，
∵ ，∴ ，
设 ， ，
∴ ，
由翻折得 ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得： ，
整理得， ，
解得： 或 （舍，此时 ） ，
在 中，由勾股定理得： ，
解得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴点M为 中点，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，翻折的性质，勾股定理解三角形，平
行线分线段成比例定理，正确添加辅助线是解题的关键．23. 已知 是自变量 的函数，当 时，称函数 为函数 的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，
对于函数 图象上任意一点 ，称点 为点 “关于 的升幂点”，点 在函数 的“升
幂函数” 的图象上．例如：函数 ，当 时，则函数 是函数
的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，函数 的图象上任意一点 ，点
为点 “关于 的升幂点”，点 在函数 的“升幂函数” 的图象上．
（1）求函数 的“升幂函数” 的函数表达式；
（2）如图1，点 在函数 的图象上，点 “关于 的升幂点” 在点 上方，当
时，求点 的坐标；
（3）点 在函数 的图象上，点 “关于 的升幂点”为点 ，设点 的横坐标为 ．
①若点 与点 重合，求 的值；
②若点 在点 的上方，过点 作 轴的平行线，与函数 的“升幂函数” 的图象相交于点 ，以
， 为邻边构造矩形 ，设矩形 的周长为 ，求 关于 的函数表达式；
③在②的条件下，当直线 与函数 的图象的交点有3个时，从左到右依次记为 ， ， ，当直线
与函数 的图象的交点有2个时，从左到右依次记为 ， ，若 ，请直接写出 的
值．【答案】（1）
（2）
（3）① 或 ；② ；③ 或
【解析】
【分析】（1）根据“升幂函数”的定义，可得 ，即可求解，
（2）设 ，根据“升幂点”的定义得到 ，由 ， 在点 上方，得到
，即可求解，
（3）①由 ， ，点 与点 重合，得到 ，即可求解，
②由 ，得到 对称轴为 ， 、 关于对称轴对称，结合
，则 ，得到 ，进而得到 ，
，由点 在点 的上方，得到点 在点 的上方，
，解得： ，
，当 ， ，
，当 ，
， ，即可求解，③根据②中结论得到， ， ，将 ， ， 代入，得到 ， ，
，结合图像可得，当 时，直线 与函数 的图象有3个交点，当 时，直
线 与函数 的图象有2个交点，将直线 与函数 联立，由根与系数关系得到 ，
， ，将直线 与函数 联立，由根与系数关系得到 ，
， ，结合 ，可得 ，当 时， ，
解得： ，由 ，得到 ，解得：
，即可求解，
【点睛】本题考查了，求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数综合，根据系数关系，解题的关键
是：熟练掌握二次函数的性质，将题目所给条件进行转化．
【小问1详解】
解：根据题意得： ，
故答案为： ，
【小问2详解】
解：设点 ，则 ，∵ ， 在点 上方，
∴ ， 解得： ，
∴ ；
【小问3详解】
解：①根据题意得： ，则 ，
∵点 与点 重合，
∴ ，解得： 或 ，
②根据题意得： ，
∴ 对称轴为 ， 、 关于对称轴对称，
∵ ，则 ，
∴ ，解得： ，
∴ ， ，
∵点 在点 的上方，
∴ ，解得： ，
∴ ，
当 ，点 在点 右侧时， ，
，
当 ，点 在点 左侧时， ，
，∴ ，
③∵ ，
∴ ， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
∴ ， ， ，
当 时，直线 与函数 的图象有3个交点，
当 时，直线 与函数 的图象有2个交点，直线 与函数 交于 、 两点， ，即： ，
∴ ， ， ，
直线 与函数 交于 、 两点， ，即： ，
∴ ， ，
，
∵ ，
∴ ，整理得： ，
当 时，
，解得： 或 （舍），∴ ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
或 ．
