文档文本内容
【赢在中考·黄金八卷】备战2023年中考数学全真模拟卷（天津专
用）
第六模拟
（本卷共25小题，满分120分，考试用时100分钟）
一、单选题( 12小题，每题3分，共36分 )
1．某地2022年元旦的最高气温为5℃，最低气温为−3℃，那么这天的最高气温比最低
气温高（ ）
A．2℃ B．−2℃ C．−8℃ D．8℃
【答案】D
【分析】用最高气温减去最低气温，即可求解．
【详解】解：5−(−3)=8(℃)，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了有理数的减法，解题的关键是掌握有理数的减法法则．
2．4sin260°的值为（ ）
3
A．3 B．1 C． D．
2
【答案】A
【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可得出答案．
2
【详解】解：4sin260°=4×
(√3)
=3，
2
故选：A．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，正确计算是解题的关键．
3．我们应该坚持“勤洗手，戴口罩，常通风”，一双没有洗过的手，带有各种细菌约75
万个，将数据750000用科学记数法表示正确的是（ ）
A．7.5×105 B．75×104 C．7.5×107 D．
0.75×106
【答案】A
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中 ，n为整数．
【详解】解：750000=7.5×105．
故选：A．
【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中 ，
n为整数．确定n的值时，要看把原来的数，变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与
小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数，
确定a与n的值是解题的关键．4．下列电视台标志中，是中心对称图形的是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故A错误；
B．是中心对称图形，故B正确；
C．不是中心对称图形，故C错误；
D．不是中心对称图形，故D错误．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键是熟练掌握中心对称图形的定
义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么
这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
5．如图所示几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都变现在左视图中．
【详解】解：从左视图看，易得到一个长方形，长方形中有一条横行的虚线，
故选：D．
【点睛】本题考查简单组合体的三视图，解题的关键是理解三视图的定义，属于中考常考
题型．
6．估计√6+3的运算结果应在（ ）
A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之
间
【答案】B
【分析】先估算出√6的范围，再估算出√6+3的范围即可．
【详解】解： ∵√4<√6<√9，
∴2<√6<3，
∴5<√6+3<6，
√6+3的运算结果应在5到6之间；故选：B．
【点睛】本题考查了无理数的近似值问题，关键是利用“夹逼法”是估算的一般方法，也
是常用方法．
7．计算 的结果为（ ）
1 x 1 x
A． B． C． D．
x2−x x−1 x−1 x2−x
【答案】A
【分析】先通分化成同分母分式，再进行减法运算即可．
【详解】解：
x x−1
= −
x(x−1) x(x−1)
x−(x−1)
=
x(x−1)
1
=
x2−x
故选：A
【点睛】此题考查了分式的减法，先通分化成同分母分式进行运算是解题的关键．
12
8．若点A(−3,y )，B(−2,y )，C(2,y )都在反比例函数y=− 的图象上，则y ，y ，
1 2 3 x 1 2
y 的大小关系为（ ）
3
A．y <y <y B．y <y <y
1 2 3 2 1 3
C．y <y <y D．y <y <y
3 1 2 3 2 1
【答案】C
【分析】根据反比例函数的性质得到反比例函数图象的两个分支分别在第二象限，第四象
限内，且在每个象限内y都随x的增大而增大，即可判断大小．
【详解】解：∵−12<0，
∴反比例函数图象的两个分支分别在第二象限，第四象限内，且在每个象限内y都随x的
增大而增大，
∵点A(−3,y )，B(−2,y )，C(2,y )都在反比例函数图象上，
1 2 3
∴点A，B在第二象限，点C在第四象限，
∵−3<−2，
∴y <y ，
1 2
∴y <y <y ，
3 1 2
故选：C．【点睛】此题考查了反比例函数的图象及性质，正确掌握反比例函数的增减性判断函数值
的大小是解题的关键．
{ x−2y=5
9．二元一次方程组 解是（ ）
5x+4 y=−3
{ 7
{x=−1 x=− { x=1
A． B． 5 C． D．
y=−3 y=−2
y=1
{
x=2
3
y=−
2
【答案】C
【分析】用加减消元法进行计算即可得．
{ x−2y=5①
【详解】解： ，
5x+4 y=−3②
①×2，得2x−4 y=10③
③+④，得7x=7
x=1，
把x=1代入①，得y=−2，
{ x=1
∴这个方程组的解集是 ，
y=−2
故选：C．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法．
10．在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是(0，0)，(5，
0)，(2，3)，则顶点C的坐标是（ ）
A．(7，3) B．(8，2) C．(3，7) D．(5，3)
【答案】A
【分析】利用平行四边形的对边平行且相等的性质，先利用对边平行，得到D点和C点的
纵坐标相等，再求出CD=AB=5，得到C点横坐标，最后得到C点的坐标．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形．
∴AB=CD且AB∥CD．
∴C点和D的纵坐标相等，都为3．
∴A点坐标为(0，0)，B点坐标为(5，0)，∴AB=CD=5．
∵D点坐标为(2，3)，
∴C点横坐标为2+5=7，
∴C点坐标为(7，3)．
故选：A．
【点睛】本题主要是考查了平行四边形的性质、利用线段长求点坐标，其中，熟练应用平
行四边形对边平行且相等的性质，是解决与平行四边形有关的坐标题的关键．
11．在△ABC中， ，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，点A，B的对应
点分别为D，E，连接AD，当点A，B，D在同一条直线时，下列结论不正确的是
（ ）
A．△ABC≌△DEC B．∠BDE=90° C．AD2=2AC2 D．
BD=DE+AC
【答案】D
【分析】根据旋转的性质可得△ABC≌△DEC，CA=CD，CB=CE， ，再根
据等边对等角和三角形内角和性质证明∠ADC=45°，∠ACD=90°，再逐一分析即可．
【详解】解：∵将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，
∴△ABC≌△DEC，CA=CD，CB=CE， ，故A不符合题意；
∴∠BAC=∠EDC=135°，
∴∠CAD=180°−∠BAC=45°，
∵CA=CD，
∴∠CDA=∠CAD=45°，
∴∠ACD=90°，∠BDE=∠EDC−∠CDA=90°，故B不符合题意；
∴AC2+CD2=AD2 ，
∴AD2=2AC2 ，故C不符合题意；
∴AD=√2AC，
∵ ，
∴BD=DE+AD，
∴BD≠DE+AC，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的
应用，掌握“旋转的性质”是解本题的关键．
12．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：① ；②当m≠1时，a+b>am2+bm；③若ax2+bx =ax2+bx ，且x ≠x ，则x +x =2；④
1 1 2 2 1 2 1 2
a−b+c>0．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】可以根据开口向下判断a<0，根据抛物线与y轴的交点位置判断c>0，然后再根
据对称轴的位置判断出a，b异号，因此b>0，最后根据对称轴的位置，抛物线与x轴的交
点情况进行推理，进而解出此题．
【详解】解：抛物线开口向下判断a<0，
抛物线与y轴的交点在y轴正半轴判断c>0，
抛物线对称轴在y轴右侧，得到a，b异号，故b>0，
∴abc<0
故①错误；
根据图像可得，当x=1时，函数取得最大值，
∴ ，
∵m≠1，
∴a+b>am2+bm，
故②正确；
∵ax2+bx =ax2+bx
，
1 1 2 2
∴ax2+bx −ax2−bx =0，
1 1 2 2
∴a(x +x )(x −x )+b(x −x )=0，
1 2 1 2 1 2
(x −x )[a(x +x )+b]=0，
1 2 1 2
x ≠x ，
1 2
∴a(x +x )+b=0，
1 2
b
x +x =− =2，
1 2 a
故③正确；
当x=−1时，y=a−b+c，
∵抛物线对称轴为x=1，
∴x=3与x=−1时，函数值相等，根据图像可得，当x=3时，y<0，
∴a−b+c<0，
故④错误．
故选：C．
【点睛】本题考查图像与二次函数系数之间的关系，掌握二次函数相关性质是解题的关键．
二、填空题( 6小题，每题3分，共18分 )
13．计算： __．
【答案】a9
【分析】根据同底数幂的乘法进行计算即可求解．
【详解】解：−a4 ⋅(−a3 )⋅a2=a4 ⋅a3 ⋅a2=a4+3+2=a9．
故答案为：a9．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法运算法则是解题的关键．
14．计算：(5−3√2) 2=________．
【答案】43−30√2
【分析】利用完全平方公式计算即可．
【详解】(5−3√2) 2=25−30√2+18=43−30√2，
故答案为：43−30√2．
【点睛】本题主要考查完全平方公式，掌握完全平方公式是关键．
15．袋中装有 4 个黑球和 n 个白球，经过若干次试验，发现“若从袋中任摸出一个球，
恰是黑球的概率为 ”，则这个袋中白球大约有 _______个．
【答案】2
【分析】用黑球的个数除以球的总个数等于 列出关于n的方程，解之即可．
【详解】解：根据题意知： ，
解得n=2，
经检验n=2是分式方程的解，
∴这个袋中白球大约有2个，
故答案为：2．
【点睛】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数
之比．注意方程思想的应用．
16．已知一次函数y=(4−m)x+4−m，当m________时，y随x的增大而增大．
【答案】<4
【分析】根据一次函数的性质（增减性）即可得．
【详解】解：对于一次函数y=(4−m)x+4−m，y随x的增大而增大，则4−m>0，
解得m<4，
即当m<4时，y随x的增大而增大，
故答案为：<4．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是解题关键．
17．如图，在正方形ABCD中，点M，N为CD，BC上的点，且DM=CN，AM与DN
交于点P，连接AN，点Q为AN中点，连接 ，若AB=10，DM=4，则 的长为
________．
【答案】√34
【分析】首先证明△ADM≌△DCN，由全等三角形的性质可得∠DAM=∠CDN，从而
得到确定△APN直角三角形，AN为直角三角形的斜边，，再由直角三角形斜边的中线的
性质和勾股定理求出 的长．
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=DC，∠ADC=∠DCB=90°，
∴在△ADM和△DCN中，
{
AD=DC
∠ADC=∠DCB，
DM=CN
∴△ADM≌△DCN(SAS)，
∴∠DAM=∠CDN，
∵∠DAM+∠DMA=90°，
∴∠CDN+∠DMA=90°，
∴ ，
又∵∠DPM=∠APN，
∴△APN直角三角形，AN为直角三角形的斜边，
∵点Q为AN中点，
1
∴由直角三角形的性质可得PQ= AN，
2
在Rt△APN中，AN=√AB2+BN2=√102+(10−4) 2=2√34，1
∴PQ= AN=√34．
2
故选：C．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、直角三角形的性质、
直角三角形斜边的中线、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A、C、D均为格点，延长DC交格线于
点B，连接AB，以线段AB为直径作半圆．
（1）线段BD的长等于_________．
（2）在半圆上找一点P，使得∠PAB=∠DBA，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格
中画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的_________．（不要求证明）
4√10
【答案】 见解析；找一点Q，使得△HQB∼△BGA，且平移关
3
系
【分析】（1）根据相似三角形的性质即可求解；
（2）根据相似的性质作图即可；
【详解】（1）如图，△CDE∼△BCF
DE CE 3
∴ = =
CF BF 1
1
∴BF=
3
∴BD= √ 42+ ( 1+ 1) 2 = 4√10 ；
3 3
（2）由于CD横3竖1，所以找FA横1竖3，故CD垂直FA.再找一点Q，使得
△HQB∼△BGA，且平移关系，所以QG即为平行于直径的.）【点睛】本题主要考查三角形的相似、勾股定理，掌握三角形的相似性质并进行正确作图
是解题的关键．
三、解答题( 19、20题，每题8分，21-25题，每题10分，共66分 )
{x−3(x−2)≥4, ⋯⋯①
19．解不等式组： 1+2x
>x−1. ⋯⋯②
3
请结合题意填空，完成本题的解答：
解不等式①，得 ；
解不等式②，得 ；
并把不等式①，②解集在数轴上表示出来；
∴原不等式组的解集为 ．
【答案】x≤1，x<4，x≤1，数轴见解析
【分析】根据解一元一次不等式组的方法，可以写出相应的解答过程，从而可以解答本题．
{x−3(x−2)≥4, ⋯⋯①
【详解】解： 1+2x ，
>x−1. ⋯⋯②
3
解不等式①，得x≤1；
解不等式②，得x＜4；
并把不等式①，②解集在数轴上表示出来；
，
∴原不等式组的解集为x≤1．
故答案为：x≤1；x＜4；x≤1，数轴见解析．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，解答本题的关键
是明确解一元一次不等式的方法．
20．疫情期间，学生居家学习，考虑学生们的健康成长，A市教育局依据国家“五项管
理”和“双减政策”，提出了“每天锻炼一小时，健康生活一辈子”活动口号．为了解A
市九年级学生参加体育锻炼的情况，随机抽查了A市部分九年级学生半个月参加体育锻炼（每天锻炼时间超过1小时）的天数，并用得到的数据绘制了两幅不完整的统计图（如
图），请根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)a=______，并写出该扇形所对圆心角的度数为_______°．请补全条形图．
(2)在这次抽样调查中，众数和中位数分别是多少？
(3)如果A市共有九年级学生4000人，请你估计半个月来A市九年级学生“活动时间不少
于6天”的学生人数大约有多少人？
【答案】(1)10%，36，补全条形图见解析
(2)众数和中位数分别是5，6
(3)估计半个月来“活动时间不少于6天”的学生人数大约有2400人
【分析】（1）用1-体育锻炼为其它天数的人数所占百分比，即得出体育锻炼为8天的人
数的百分比，即为a的值．用360°乘其所占百分比即得出其圆心角的度数．用体育锻炼为
5天的人数除以其所占百分比即得出总人数，再利用总人数乘体育锻炼为8天的人数所占
百分比，得出体育锻炼为8天的人数，从而可补全统计图；
（2）由中位数和众数的定义即可解答；
（3）先求出随机抽查的“活动时间不少于6天”的学生人数所占百分比，再乘九年级学生
总人数即可．
（1）a=1−5%−40%−20%−25%=10%，
该扇形所对圆心角的度数为360°×10%=36°．
随机抽查的总人数为240÷40%=600（人）
∴参加体育锻炼为8天的人数为 （人）．
故补全统计图如下：
故答案为：10%，36；
（2）∵参加体育锻炼为5天的人数最多，为240人，∴众数是5．
∵600÷2=300，
∴按锻炼天数由小到大的顺序排列后，第300和第301人都为6天，
∴中位数为6．
120+50×60+30
（3）4000× =2400（人）
600
答：估计半个月来“活动时间不少于6天”的学生人数大约有2400人．
【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图相关联，求中位数和众数，由样本估计总体．
从条形统计图和扇形统计图中得到必要的信息和数据是解题关键．
21．已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上．
(1)如图1，点D在⊙O上，且AC=CD，若∠CDA=24°，求∠BOD；
(2)如图2，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点E，若⊙O的直径为6，AC=3，求
EA．
【答案】(1)84°
(2)3
【分析】（1）如图①，连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠CAD=∠CDA=24°，
根据圆周角定理即可得到结论；
（2）如图②，连接OC，BC，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，求得∠B=30°，得到
∠CAB=60°，根据切线的性质得到 ，求得∠ECA=30°，于是得到结论．
【详解】（1）解：如图①，连接OC，
∵AC=CD，∠CDA=24°，
⏜ ⏜
∴∠CAD=∠CDA=24°， AC=CD ，
∴∠COD=∠AOC=2×24°=48°，
∴∠AOD=96°，∴∠BOD=180°−96°=84°；
（2）解：如图②，连接OC，BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AB=6，AC=3，
∴∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
∵OC=OA，
∴∠ACO=∠CAO=60°，
∵CE是⊙O的切线，
∴ ，
∴∠ECA=30°，
∴∠E=∠CAO−∠ACE=30°，
∴∠E=∠ACE，
∴AE=AC=3 ．
【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的判定和性质，圆周角
定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
22．如图，一艘轮船由西向东航行，在点A处测得小岛C在它的北偏东53°方向，此时轮船
与小岛C相距25nmile．继续航行到达点B处，测得小岛C在它的西北方向，求此时轮船
与小岛的距离BC和轮船航行的距离AB（结果保留小数点后一位）．参考数据：
， ， ，√2取1.414．
【答案】轮船与小岛的距离约为21.2nmile，轮船航行的距离约为35.0nmile．
AD
【分析】过点C作CD⊥AB于D，由 ，cos∠CAD= ，求出CD与AD
AC的长，再由△BCD是等腰直角三角形，得到BD=CD，BC=√2CD，即可得出结果．
【详解】解： 过点C作CD⊥AB，垂足为D．
由题意可知，AC=25，∠CAD=90°−53°=37°，
∠CBD=90°−45°=45°．
AD
∵ 在 中， ，cos∠CAD= ，
AC
∴ CD=AC⋅sin37° (nmile)，AD=AC⋅cos37°≈25×0.8=20(nmile)．
CD CD
∵ 在Rt△BCD中，sin∠CBD= ，tan∠CBD= ，
BC BD
CD
∴ BD=CD，BC= =√2CD≈21.2(nmile)．
sin∠CBD
∴ AB=AD+BD=20+15≈35.0(nmile)．
答：此时轮船与小岛的距离约为21.2nmile，轮船航行的距离约为35.0nmile．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用：方向角概念、锐角三角函数的定义等知识，正
确作出辅助线构建背靠背的直角三角形是解题的关键．
23．在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．
已知学生公寓、阅览室、超市依次在同一条直线上，阅览室离学生公寓 ，超市离学
生公寓2km，小琪从学生公寓出发，匀速步行了12min到阅览室；在阅览室停留70min后，
匀速步行了10min到超市；在超市停留20min后，匀速骑行了8min返回学生公寓．给出
的图象反映了这个过程中小琪离学生公寓的距离ykm与离开学生公寓的时间xmin之间的对
应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
(1)填表：
离开学生公寓的时间/
5 8 50 87 112
min
离学生公寓的距离/km 0.5 1.6(2)填空：
①阅览室到超市的距离为___________km；
②小琪从超市返回学生公寓的速度为___________ ；
③当小琪离学生公寓的距离为1km时，他离开学生公寓的时间为___________min．
(3)当0≤x≤92时，请直接写出y关于x的函数解析式．
【答案】(1)0.8，1.2，2
(2)①0.8；②0.25；③10或116
(3)当0≤x≤12时，y=0.1x；当12<x≤82时，y=1.2；当82<x≤92时，
y=0.08x−5.36
【分析】（1）根据题意和函数图象，可以将表格补充完整；
（2）根据函数图象中的数据，可以将各个小题中的空补充完整；
（3）根据（2）中的结果和函数图象中的数据，可以写出当0≤x≤92时，y关于x的函数
解析式．
【详解】（1）由图象可得，在前12分钟的速度为：1.2÷12=0.1km/min,
故当x=8时，离学生公寓的距离为8×0.1=0.8；
在12≤x≤82时，离学生公寓的距离不变，都是1.2km
故当x=50时，距离不变，都是1.2km；
在92≤x≤112时，离学生公寓的距离不变，都是2km，
所以，当x=112时，离学生公寓的距离为2km
故填表为：
离开学生公寓的时间/
5 8 50 87 112
min
1.
离学生公寓的距离/km 0.5 0.8 1.6 2
2
（2）①阅览室到超市的距离为2-1.2=0.8km；
②小琪从超市返回学生公寓的速度为：
2÷（120-112）=0.25 ；
③分两种情形：
当小琪离开学生公寓，与学生公寓的距离为1km时，他离开学生公寓的时间为：
1÷0.1=10min；
当小琪返回与学生公寓的距离为1km时，他离开学生公寓的时间为：
112+（2-1）÷｛2÷（120-112）｝=112+4=116min；
故答案为：①0.8；②0.25；③10或116
（3）当0≤x≤12时，设直线解析式为y=kx，
把（12，1.2）代入得，12k=1.2,解得，k=0.1
∴y=0.1x；
当12<x≤82时，y=1.2；
当82<x≤92时，设直线解析式为y=mx+n，
把（82，1.2），（92，2）代入得，
{82m+n=1.2
92m+n=2
{m=0.08
解得，
n=−5.36
∴y=0.08x−5.36，
{
y=0.1x(0≤x≤12)
由上可得，当0≤x≤92时，y关于x的函数解析式为 y=1.2(12<x≤82) ．
y=0.08x−5.36(82<x≤92)
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解
答．
24． 将一个直角三角形纸片ABO，放置在平面直角坐标系中，点A（ ，0），点B（0，
1），点O（0，0）．过边OA上的动点M（点M不与点O，A重合）作MN⊥AB于点N，沿着
MN折叠该纸片，得顶点A的对应点A′．设OM =m，折叠后的△A′MN与四边形OMNB重叠
部分的面积为S．
（Ⅰ）如图1，当点A′与顶点B重合时，求点M的坐标；
（Ⅱ）如图2，当点A′落在第二象限时，A′M与OB相交于点C，试用含m的式子表示S；
√3
（Ⅲ）当S= 时，求点M的坐标（直接写出结果即可）．
24
【答案】（Ⅰ） (√3 ,0 ) ．（Ⅱ）S=− 5√3 m2+ 3 m+ √3( 0<m< √3) ．（Ⅲ）
3 8 4 8 3
(2√3 )
,0 ．
3
【详解】解：（Ⅰ）在Rt△ABO中，点A（ ，0），点B（0，1），点O（0，0），
∴OA=√3，OB=1．
由OM=m，得AM=OA−OM=√3−m．根据题意，由折叠可知△BMN≌△AMN，有BM=AM=√3−m．
在Rt△MOB中，由勾股定理可得，BM2=OB2+OM2，
√3
即(√3−m)
2=1+m2，解得m=
．
3
(√3 )
∴点M的坐标为 ,0 .
3
OB 1 √3
（Ⅱ）在Rt△ABO中，tan∠OAB= = = ,
OA √3 3
∴∠OAB=30°．
由MN⊥AB,得∠MNA=90°．
1
∴在Rt△AMN中，得MN=AMsin∠OAB= (√3−m)，
2
√3
AN=AMcos∠OAB= (√3−m)．
2
1 √3
∴S = MN AN= (√3−m) 2 ．
△AMN 2 8
由折叠可知△A′MN≌△AMN，有∠A′=∠OAB=30°，
∴∠A′MO=∠A′+∠OAB=60°．
∴在Rt△COM中，得：CO=OMtan∠AMO=√3m．
1 √3
∴S = OMCO= m2 ．
△COM 2 21 1 √3
又S = OABO= ×1×√3= ,
△ABO 2 2 2
于是，S=S −S −S
△ABO △AMN △COM
√3 √3 √3
= − (√3−m) 2 − m2 ，
2 8 2
=−
5√3
m2+
3
m+
√3(
0<m<
√3)
．
8 4 8 3
（Ⅲ）由第（Ⅰ）、（Ⅱ）问可得，
√3 √3 √3
当0<m< 时， <S≤ ，
3 8 5
√3 √3
当m= 时，S= ，
3 6
√3 √3
∴S= 时， <m<√3，
24 3
此时情况如图所示，
重叠部分即为△A′MN，
A'M=AM=√3−m，∠NA′M =∠NAM =30°，
由MN⊥AB，得∠A′NM =90°,
√3−m √3⋅(√3−m)
∴MN= ，A'N=A'M⋅cos30∘= ，
2 2
1 1 √3−m √3(√3−m)
则S=S = MN⋅A'N= ⋅ ⋅ ．
ΔA'MN 2 2 2 2
√3 1 √3−m √3(√3−m) √3
若S= ，则 ⋅ ⋅ = ，
24 2 2 2 24
1
整理，得(√3−m) 2= ，
3
2√3 4√3
解得，m = ，m = （舍去）．
1 3 2 3
√3 2√3
因此，当S= 时，点M的坐标为（ ，0）．
24 325．已知抛物线 （ 是常数）经过点 .
（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）P(m，t)为抛物线上的一个动点， 关于原点的对称点为 .
①当点 落在该抛物线上时，求 的值；
②当点 落在第二象限内， 取得最小值时，求 的值.
【答案】（1） ，顶点的坐标为（1，-4）；（2） ；
（3） .
【详解】解：(1)∵抛物线 经过点 ，
∴0=1-b-3，解得b=-2.
∴抛物线的解析式为 ，
∵ ，
∴顶点的坐标为（1，-4）.
(2)①由点P(m，t)在抛物线 上，有 .
∵ 关于原点的对称点为 ，有P’（-m，-t）.
∴ ，即
∴
解得
②由题意知，P’（-m，-t）在第二象限，
∴-m<0，-t>0，即m>0，t<0.
又抛物线 的顶点的坐标为（1，-4），得-4≤t<0.
过点P’作P’H⊥x轴，H为垂足，有H（-m，0）.
又 ， ，
则
当点A和H不重合时，在Rt△P’AH中，
当点A和H重合时,AH="0," ，符合上式.
∴ ，即
记 ，则 ，
∴当t=- 时，y’取得最小值.把t=- 代入 ，得
解得
由m>0，可知 不符合题意
∴ .
