文档内容
高三开学收心考试模拟卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：高中数学全部内容
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意知 ，
所以 ,
故选：A
2．若复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】设 ， ，因为 ，所以 ， ，
所以 ，又 ，所以 ，
解得 ，所以
故选：C.
3．已知向量 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，
又 ，
知 ，即 .
故选：A
4．在平面直角坐标系 中，以下方程对应的曲线，绕原点旋转一定角度之后，可以成为函数图象的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对于A项，因为 ，所以 ，
所以方程对应的曲线为椭圆，
所以当椭圆绕原点旋转后，其一定不会成为函数图象，故A项不成立；
对于B项，因为 ，所以 ，
所以方程对应的曲线为双曲线， 其渐进线为 ，
所以当其绕原点旋转 后，其一定是函数图象，故B项成立；
对于C项，因为 ，所以方程对应的曲线为圆，
所以当圆绕原点旋转后，其一定不会成为函数图象，故C项不成立；
对于D项，因为 ，所以方程对应的曲线为圆，
所以当圆绕原点旋转后，其一定不会成为函数图象，故D项不成立.
故选：B.
5．中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题：“今有七人差等均钱，甲乙均五十八文，戊己庚均六十
文，问乙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚这七个人，所分到的钱数成等差数列，甲、
乙两人共分到58文，戊、己、庚三人共分到60文，问乙、丁两人各分到多少文钱？则下列说法正确的是
（ ）
A．乙分到28文，丁分到24文 B．乙分到30文，丁分到26文
C．乙分到24文，丁分到28文 D．乙分到26文，丁分到30文
【答案】A
【解析】依题意，设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为 ， ， ， ， ，
， ，
则 ，解得 ，
所以乙分得 （文），丁分得 （文），
故选：A.6．已知 ，则 （ ）
A．－1 B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ，
得 ，
即 ，
则 ，得 ，则 ，
所以
．
故选：A．
7．已知函数 在 上的最大值与最小值分别为 和 ，则经过函数
的图象的对称中心的直线被圆 截得的最短弦长为（ ）
A．10 B．5 C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，
设 ， ，
因为函数 的定义域关于原点对称，
且 ，
所以函数 为奇函数，由已知可得函数 的最大值为 ，最小值为 ，
所以 ，故 ，所以 ，
因为 是奇函数，关于原点对称，
所以 关于 中心对称，
因为
则点 在圆 的内部，
因为点 到坐标原点的距离为 ，
所以所求最短弦长为 .
故选：D.
8．如图，已知 是双曲线 的左､右焦点， 为双曲线 上两点，满足 ，且
，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】延长 与双曲线交于点 ，
因为 ，根据对称性可知 ，
设 ，则 ，
可得 ，即 ，
所以 ，则 ， ，
即 ，可知 ，在 中，由勾股定理得 ，
即 ，解得 .
故选：D.
2．焦点三角形的作用
在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．某市为响应教育部《切实保证中小学每天一小时校园体育活动的规定》号召，提出“保证中小学生每
天一小时校园体育活动”的倡议.在某次调研中，甲、乙两个学校学生一周的运动时间统计如下表：
学
人数 平均运动时间 方差
校
甲
2000 10 3
校
乙
3000 8 2
校
记这两个学校学生一周运动的总平均时间为 ，方差为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】依题意，总平均时间为 ，
方差为 .
故选：BC
10．如图，为了测量障碍物两侧A，B之间的距离，一定能根据以下数据确定AB长度的是（ ）A．a，b， B． ， ，
C．a， ， D． ， ，b
【答案】ACD
【解析】法一、根据三角形全等的条件 可以确定A、C、D三项正确，它们都可以唯一确定
三角形；
法二、对于A项，由余弦定理可知 ，可求得 ，即A正确；
对于B项，知三个内角，此时三角形大小不唯一，故B错误；
对于C项，由正弦定理可知 ，即C正确；
对于D项，同上由正弦定理得 ，即D正确；
故选：ACD.
11．已知函数 及其导函数 的定义域均为 . ， ，当 时，
， ，则（ ）
A． 的图象关于 对称 B． 为偶函数
C． D．不等式 的解集为
【答案】BCD
【解析】由 可得 ，故可知 的图象关于 对称，故A错误，
由 得 ，由 得 ，故 为偶函数，故B正
确，
由 可得 ，所以 ，又 为偶函数，所以
，即 ，故C正确，
由 为偶函数且 可得 ，所以 是周期函
数，且周期为8，又当 时， ，可知 在 单调递减
故结合 的性质可画出符合条件的 的大致图象：由性质结合图可知：当 ， 时， ，故D正确，
故选：BCD
12．如图，在棱长为1的正方体 中， 是棱 上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．不存在点 ，使得
B．存在点 ，使得
C．对于任意点 ， 到 的距离的取值范围为
D．对于任意点 ， 都是钝角三角形
【答案】ABC
【解析】由题知，在正方体 中， 是棱 上的动点，建立以 为原点，
分别以 ， ， 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向的空间直角坐标系 .
所以 ， ， ，设 ，其中 ，
所以 ， ，
当 时，即 ，所以 ，显然方程组无解，
所以不存在 使得 ，即不存在点 ，使得 ，故A项正确；
当 时，解得 ，故B项正确；
因为 ，其中 ，所以点Q到 的距离为，
故C项正确；
因为 ， ，其中 ，
所以 ，
所以三角形为 直角三角形或钝角三角形，故D项错误.
故选：ABC
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 展开式中的各二项式系数之和为256，则 的系数是
【答案】112
【解析】依题意得： 解得
则
由 ，解得
从而 .
故答案为：
14．陀螺又称陀罗，是中国民间最早的娱乐健身玩具之一，在山西夏县新石器时代的遗址中就发现了石制
的陀螺.如图所示的陀螺近似看作由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其中圆柱的底面半径为1，圆锥与
圆柱的高均为1，若该陀螺由一个球形材料削去多余部分制成，则球形材料体积的最小值为 .【答案】 /
【解析】依题意当该陀螺中圆锥的顶点及圆柱的下底面圆周都在球形材料表面上时，球形材料体积的最小，
设此时球形材料的半径为 ，如图所示：
由题意得 ，
解得 ，
所以球形材料的体积最小值为 .
故答案为：
15．已知函数 ，且 在区间 上单调递增，则 的取值范围为
.
【答案】
【解析】因为 ，当 时， ，
因为函数 在区间 上单调递增，
则 ，
所以， ，其中 ，解得 ，所以， ，解得 ，
因为 ，且 ，则 .
当 时， ；当 时， .
综上所述， 的取值范围是 .
故答案为： .
16．已知 是椭圆 的左，右焦点，过点 的直线与椭圆交于A，B两点，设 的内切圆
圆心为 ，则 的最大值为 .
【答案】 /
【解析】因为 为 的内切圆圆心，则 ，
显然 是锐角，当且仅当 最大时， 最大，且 最大，
又 ，即有 最小，
在椭圆 中， ，
在 中，
，当且仅当 时取等号，
因此当 ，即 为正三角形时， 取得最大值 ， 取最大值 ，
所以 的最大值为 .故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
在锐角三角形 中，角 的对边分别为 ， 为 在 方向上的投影向量，且满足
.
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的周长.
【解析】（1）由 为 在 方向上的投影向量，则 ，
又 ，即 ，
根据正弦定理， ，
在锐角 中， ，则 ，即 ，
由 ，则 ，整理可得 ，解得 （负值舍去）.
（2）由 ，根据正弦定理，可得 ，
在 中， ，则 ，
所以 ，所以 ，
由（1）可知 ，则 ，
由 ，则 ，解得 （负值舍去），
根据正弦定理，可得 ，则 ， ，
故 的周长 .
18．（12分）如图所示，在多面体 中，底面 为矩形，且 底面 ∥
.
(1)证明： ∥平面 .
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
【解析】（1）证明：取线段 的中点 ，连接 ，
因为四边形 是矩形，且 ，
所以 且
因为 且 且 ，
所以 且 ，
所以 且
所以四边形 是平行四边形，则 ，
因为 平面 平面 ，所以 平面
（2）因为 底面 平面 ，所以 ，
因为
所以以 为坐标原点，分别以 所在的直线为 轴建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ，
.
设平面 的法向量为 ，则，令 ，则 ，
故平面 的一个法向量 ，
设平面 的法向量为 ，
由 ，取 ，则 ，
故平面 的一个法向量 ，
则 .
设平面 与平面 的夹角为 ，则 .
19．（12分）
已知数列{an}，{bn}，{cn}中， ．
(1)若数列{bn}为等比数列，且公比 ，且 ，求q与 的通项公式；
(2)若数列{bn}为等差数列，且公差 ，证明： ．
【解析】（1）依题意 ，而 ，即 ，由于 ，∴解得 ，
∴ ．
∴ ，故 ，∴数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，∴ ．
∴ ．
∴ ，故 （ ）．
∴
．
经检验对于n=1也成立；
（2）依题意设 ，由于 ，
∴ ，故
，
经检验对于n=1也成立，
∴ ．
由于 ，∴ ，∴ ，即 ．
20．（12分）
已知 ，曲线 与直线 相切于点 ．
(1)求 ， 的值；
(2)证明：当 时， 恒成立．
【解析】（1） ．
由题设得 ，
故 ．
（2）当 时， 等价于 ，
下面证明：当 时， ．
设 ，则 ．
设 ，则 ，
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增．
又 ，
所以 ，使得 ,
所以当 或 时， ；当 时， ．
故 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
又 ，所以 ．
故当 时， 恒成立．21．（12分）
概率论中有很多经典的不等式，其中最著名的两个当属由两位俄国数学家马尔科夫和切比雪夫分别提出的
马尔科夫（Markov）不等式和切比雪夫（Chebyshev）不等式．马尔科夫不等式的形式如下：
设 为一个非负随机变量，其数学期望为 ，则对任意 ，均有 ，
马尔科夫不等式给出了随机变量取值不小于某正数的概率上界，阐释了随机变量尾部取值概率与其数学期
望间的关系．当 为非负离散型随机变量时，马尔科夫不等式的证明如下：
设 的分布列为 其中 ，则对任意
， ，其中符号 表示对所有满足 的
指标 所对应的 求和．
切比雪夫不等式的形式如下：
设随机变量 的期望为 ，方差为 ，则对任意 ，均有
(1)根据以上参考资料，证明切比雪夫不等式对离散型随机变量 成立．
(2)某药企研制出一种新药，宣称对治疗某种疾病的有效率为 ．现随机选择了100名患者，经过使用该
药治疗后，治愈的人数为60人，请结合切比雪夫不等式通过计算说明药厂的宣传内容是否真实可信．
【解析】（1）法一：对非负离散型随机变量 及正数 使用马尔科夫不等式，
有 ．
法二：设 的分布列为
其中 ，记 ，则对任意 ，
.
（2）设在100名患者中治愈的人数为 ．假设药企关于此新药有效率的宣传内容是客观真实的，
那么在此假设下， ．
由切比雪夫不等式，有 ．
即在假设下，100名患者中治愈人数不超过60人的概率不超过0.04，此概率很小，
据此我们有理由推断药厂的宣传内容不可信．
22．（12分）已知椭圆 经过点 ，过点 的直线交该椭圆于 ， 两点.
(1)求 面积的最大值，并求此时直线 的方程；
(2)若直线 与 轴不垂直，在 轴上是否存在点 使得 恒成立？若存在，求出 的值；
若不存在，说明理由.
【解析】（1）将 代入椭圆方程，
得到 ，故 ，
故椭圆方程为 .
当直线 的斜率为0时，此时 三点共线，不合要求，舍去；
当直线 的斜率不为0时，设直线 的方程为 ，
与椭圆方程 联立，得 ，
设 ，则 ，
则
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故 面积的最大值为 ，
此时直线 的方程为 或 .
（2）在x轴上存在点 使得 恒成立，
理由如下：
因为 ，所以 ，即 ，
整理得 ，即 ，
所以 ，
则 ，解得 ，
故在x轴上存在点 ，使得 恒成立.
