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年 月山西省高三适应性调研考试
2023 1
数学试题 卷答案
B
. A= B=xx A B= .
1C {1,2,3,4}, {| >3},∩∁ R {1,2,3}
. z =z = 于是z= .
2B |(1+3i)| |||1+3i| 2, || 1
. m+ . . 1 m= . . .
3C 2 145=-25lg ,2 5lg2-145≈005
4
4
.
B
易得圆方程为
(
x- 2)2+
(
y- 2)2=
4,
直线过定点
(4,2)
且斜率为k
,
定点在圆上
,
又过点
(4,2)
与圆相切的直线
没有斜率 故直线和圆必相交.
,
. B→F=B→A+A→F=-A→B+1A→C=-A→B+1 A→B+A→D =-2A→B+1A→D.
5B ( )
3 3 3 3
6
.
A
由表中数据可知 ξi ~B
(2,
pi), ∴E
(
ξi) =
2
pi, D
(
ξi) =
2
pi(1- pi), 又∵p
1<
p
2,
∴Eξ Eξ Dξ -Dξ = p-p p-p D ξ+ D ξ+ .
(1)< (2),(1) (2)2(1 2)(1- 1 2)>0,(31 1)> (32 1)
pn+pn
. 设第一次价格为p 第二次价格为p 方案一 若每次购买数量n则两次购买的平均价格为x= 1 2 =
7B 1, 2, : , 1 n
2
p+p m
1 2 方案二 若每次购买钱数为m 则两次购买的平均价格为x= 2 = 2 作差可得x x 当且
2 , : , 2 m + m 1+1 , 1≥ 2,
p p p p
1 2 1 2
仅当P=P 时 = 号成立 所以方案二更经济.
1 2 ,“ ” ,
ω
T
-π
≤-
π
+
π
<0,
. 可知 π T 于是 ω 于是 2 6 3
8C < < , 3< <6, ω
2 3
π π 3π
π< + ≤ ,
6 3 2
∴ ω ∴ω= 进一步验证 正确.
4< ≤5, 5, C
9
.
AB
去掉B点后
,
回归效果更好
,
则R2 越趋于
1,|
r
|
越趋于
1,
残差平方和变小
,
相关性增强.
. a b a+b ab∴ab 1 当且仅当a=b=1 时取最大值
a2+b2 a+b2=1
10ACD >0,>0, ≥2 , ≤ , ; ≥ ,
4 2 2 2 4
∴a2+b2
≥
1
,
当且仅当a=b=1 时取最小值
;
2 2
b a
4+1= 4+1 a+b= 4+ 当且仅当a=b=2 时取最小值
a b a b ( )5+a b≥5+24=9, 2 ;
3
a+b2 a+b
1 a+b .
≤ = , ≤2
2 2 2
. 计算得 正确 项以奇数 奇数 偶数的规律循环出现 故a 为奇数 错误 中 ∵a +a=a
11ACD A ; 、 、 , 2023 ,B ;C , n- 1 n n+ 1,
a+a+a+…+a =a+a-a +a-a +…+a -a =a+a -a=a 故 正确
1 3 5 2023 1 (4 2) (6 4) (2024 2022) 1 2024 2 2024, C ;D
中a+a+a+…+a =a+a+a +a+a +…+a +a =S 故 正确.
,2 4 6 2024 1 (2 3) (4 5) (2022 2023) 2023, D
CP
. 直线BP与直线AD所成角即为 PBC在 BCP中 = ∴CP= 3 故P在以C为圆心 3
12ABD ∠ , Rt△ ,tan30° BC, , ,
3 3
为半径的圆落在侧面CCDD内的圆弧上 正确
1 1 ,A ;
过P作PP DC于点P 图略 设PC=aPP=b直线BP与平面ABCD所成角即为 PBP
1⊥ 1( ), 1 ,1 , ∠ 1,
PP b
在
Rt△
PBP
1
中
,tan∠
PBP
1
=
BP
1
1=
a2+
1
=
3
3
,
从而
3
b2-a2=
1,
故点P的轨迹为双曲线的一部分
,
故
B
正确
;
在
Rt△
D
1
DQ中
,|
D
1
Q
|
= 5
=
DD2
1
+DQ2, 从而
|
DQ
|
=1
,
故Q在以D为圆心
,
1 为半径的圆落在底面AB-
2 2 2
CD内的圆弧上 错误
,C ;
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B 1 ( 4 )Q到直线DD 的距离等于Q到平面ABBA 的距离 即Q到点D的距离等于Q到直线AB的距离 故点Q的轨
1 1 1 , ,
迹为抛物线的一部分 故 正确.
, D
.解析f'x= sin
x
'=sin
'x
cos
x-
sin
x
cos
'x
=cos
2x+
sin
2x
= 1 .
13 : ()
cos
x
cos
2x
cos
2x
cos
2x
答案 1
: 2x
cos
k
14 .解析 : 易得a= 2, 设二项展开式的第k+ 1 项T k+ 1 = C k 6(2 x2)6- k x 1 = C k 62 6- kx12-3 k ,
当k= 时 常数项为 .
4 , 60
答案
:60
.fx=- x答案不唯一 满足条件即可
15 () cosπ ( , )
.解析 过P作准线的垂线 垂足为Q 过A作准线的垂线 垂足为B 图略 于是 PAF周长=PF+PA+AF=
16 : , , , ( ), △
PQ+PA+AF AB+AF= 周长最小时P为AB与抛物线的交点.
≥ 5+ 10,
答案
:5+ 10
.解 选①.由b C= c· B及正弦定理得
17 :(1) (1+cos ) 3 sin
B C= C B.…………………………………………………………………………………… 分
sin (1+cos ) 3sin sin 2
又B ∈(0,π), ∴ sin B ≠0, 于是 1+cos C= 3sin C ,2 3 sin C-1 cos C = 1,
2 2
即 C-π =1 又C
sin , ∈(0,π),
6 2
∴C-π π 故C=π.…………………………………………………………………………………………… 分
= , 5
6 6 3
选②.由
sin
A-1
sin
B2=
sin
2C-3
sin
2B及正弦定理得a-1b2=c2-3b2, …………………………
2
分
2 4 2 4
化简得a2+b2-c2=ab
,
于是
cos
C= a2+b
a
2
b
-c2= a
a
b
b
=1
,
又C
∈(0,π),
故C=π. ………………………
5
分
2 2 2 3
选③.由 b C+c B=a+b及正弦定理得
3cos cos
B C+ C B= A+ B= B+ C+B= B+ C B+ C B又B
3sin cos sin cos sin sin sin sin( )sin sin cos cos sin , ∈(0,π),
∴ B ………………………………………………………………………………………………………… 分
sin ≠0, 2
于是 C= C C=1 又C 故C=π.…………………………………………………… 分
3cos 1+cos ,cos , ∈(0,π), 5
2 3
C→P=C→B+2B→A=2C→A+1C→B ……………………………………………………………………………… 分
(2) , 7
3 3 3
两边平方有
:
C→P2=1C→B2+4C→A2+4C→A·C→B
,
9 9 9
所以C→P2=1
×4+
4
×9+
4
×3×2×
1
=
52
,|
PC
|
=2 13.………………………………………………
10
分
9 9 9 2 9 3
. 解 由题意得a= a= a= …………………………………………………………………………… 分
18(1) : 1 2,2 4,3 6, 2
从而d= ∴a=n ……………………………………………………………………………………………… 分
2, n 2, 4
n n
于是S
n
= (2+2)n2+n.……………………………………………………………………………………… 分
= 6
2
(2) 证明 : b n = a 1 n2 = 4 n 1 2< 4 n2 1 - 1 = (2 n- 1 1 )(2 n+ 1) =1 2 2 n 1 - 1 - 2 n 1 + 1 …………………………………… 9 分
T n = 4× 1 1 2 + 4× 1 2 2 +…+ 4× 1 n2< 1 2 1 1 - 1 3 +1 2 1 3 - 1 5 +…+1 2 2 n 1 - 1 - 2 n 1 + 1
=1 1 1.…………………………………………………………………………………………… 分
1-n+ < 12
2 2 1 2
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B 2 ( 4 ).解 取AD的中点O 连接POOC∵ PAD为等边三角形 ∴PO AD.又∵平面PAD 平面ABCD 平面
19 :(1) , , , △ , ⊥ ⊥ ,
PAD 平面ABCD=AD ∴PO 平面ABCD. ………………………………………………………………… 分
∩ , ⊥ 2
以O为坐标原点 直线OCODOP分别为xyz轴建立如图所示空间直角坐标系 于是A - D
, , , ,, , (0, 1,0), (0,1,
C B - P
0),(1,0,0),(1,1,0),(0,0,3),
C→P= - C→D= - 设平面PCD的法向量为n=xyz
(1,0,3), (1,1,0), (,,),
n·C→P=-x+ z=
∴n C→Pn C→D 于是 3 0,取z= 则n= …………………………………… 分
⊥ ,⊥ , n·C→D=-x+y= 1, (3,3,1), 4
0,
又B→C=
(0,1,0),
B→C·n
故B到平面PCD的距离d=| |= 3 21. …………………………………………………………… 分
n = 6
|| 7 7
设Estr P→E=λP→D ∴str- =λ - ∴E λ λ
(2) (,,), , (,, 3) (0,1, 3), (0,,3-3),
A→C= A→E= λ+ λ 设平面EAC的法向量为m=x'y'z'
(1,1,0), (0, 1,3-3), ( , , ),
m·A→C=x'+y'=
∴m A→Cm A→E于是 0, 取y'= λ- 则m= λ λ- λ
⊥ ,⊥ , m·A→E=λ+ y'+ λz'= 3( 1), (3(1- ),3( 1),
( 1) (3-3) 0,
+ ………………………………………………………………………………………………………………… 分
1), 9
又平面DAC的法向量为O→P=
(0,0,3),
O→P·m λ+ λ+
于是 O→Pm = = 3( 1) = 1 10
cos< ,> | O→P || m | 33(1- λ )2+ 3( λ- 1)2+ ( λ+ 1)2 7 λ2- 10 λ+ 7 = 5 ,
PE
化简得
3
λ2-
10
λ+
3=0,
又λ
∈[0,1],
得λ=1.即
PD
=1. …………………………………………………
12
分
3 3
.解 记事件A 表示第i次从第一个盒子里取出红球 记事件B表示两次取球中有红球 则PB = PB =
20 :(1) i , , () 1- ()
3 2 3
7.…………………………………………………………………………………………… 分
1- × =1- = 4
5 4 10 10
2×1 3×2
PA B= P ( A 2 B )= P ( A 1 A 2) +P ( A 1 A 2)=5×4 + 5×4 4.……………………………………………… 分
(2| ) P
(
B
)
P
(
B
) 7
=
7
6
10
记事件C 表示从第一个盒子里取出红球 记事件C 表示从第一个盒子里取出白球 记事件D表示从第二个
(2) 1 , 2 ,
盒子里取出红球
,
则PD =PC PDC +PC PDC =2 5 3 4 22.……………………………………… 分
() (1)(|1) (2)(|2) × + × = 12
5 7 5 7 35
4
2-3 2=
. 解 由题意得 a2 b2 1,得a= …………………………………………………………………………… 分
21(1) : 2, 3
b=
3,
从而双曲线C的方程为 x2 y2 .……………………………………………………………………………… 分
- =1 4
4 3
证明 设直线BN的斜率为k则直线AM的斜率为-k
(2) : , 2,
x2 y2
联立直线BN与双曲线方程
4
-
3
=1,得
(3-4
k2) x2+
16
k2x-
16
k2-
12=0,
y=kx-
( 2),
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B 3 ( 4 )于是 2 x N =16 k k 2 2 + - 12 , 从而x N =8 k k 2 2 + - 6 , 从而yN = k 1 2 2 k - , …………………………………………………… 6 分
4 3 4 3 4 3
x2 y2
联立直线AM与双曲线方程
4
-
3
=1, 得
(3-16
k2) x2-
64
k2x-
64
k2-
12=0,
y=-kx+
2( 2),
于是- 2 x M =64 k k 2 2 + - 12 , 从而x M = - 3 k 2 k 2 2 - - 6 , 从而yM = k 24 2 k - , …………………………………………… 8 分
16 3 16 3 16 3
k k
24 12
于是k MN = x yM M - - y x N N = - 16 k k 2 2 - - 3 - 4 k k 2 2 - + 3 = 24 k k 3 4 + - 9 k =k 3 2 k - ,
32 6 8 6 64 9 8 3
k2- -k2-
16 3 4 3
从而MNy- 12
k
3
k
x-8
k2+
6 …………………………………………………………………… 分
:
4
k2-
3
=
8
k2-
3 4
k2-
3
, 10
k
化简得y= 3 x+ 从而l过定点 - .……………………………………………………………… 分
k2- ( 6), (6,0) 12
8 3
m
.解 f'x=x-2 .…………………………………………………………………………………………… 分
22 :(1) ()2 x 1
①当m 时f'x ∴fx单调递增 又f = 故当 x 时fx 不满足题意 舍去 …… 分
≤0 , ()>0, () , (1)0, 0< <1 ,()<0, , ; 2
②当m 时f'x=2
x2-
2
m
x m ∴fx在 m 上单调递减 在 m +∞ 上单调递增
>0 , () x >0,> , () (0, ) , ( , ) ,
∴fx =f m =m-m m- .……………………………………………………………………………… 分
()min ( ) ln 1 4
令gm =m-m m- g'm =- m 令g'm 得 m 故gm 在 上单调递增 在 +∞ 上
() ln 1, () ln , ()>0, 0< <1, ( ) (0,1) , (1, )
单调递减 ∴gm g = 故m= .…………………………………………………………………………… 分
, ()≤ (1)0, 1 6
(2)
由
(1)
知
:
当m=
1
时
,
x2-
2ln
x
≥1
恒成立
,
a e x2- 1- 1≥2ln x- ln a等价于 e x2- 1+ln a ≥2ln x- ln a+ 1,
又等价于 x2- 1+ln a+x2- a x2+ x=x2+ x2=ln x2+ x2.…………………………………… 分
e 1+ln ≥ 2ln ln e ln 8
令h
(
t
)
=
e
t+t
,
显然h
(
t
)
单调递增
,
上式即为h
(
x2-
1+ln
a
)≥
h
(ln
x2) .……………………………………
10
分
从而x2-
1+ln
a
≥ln
x2, 即-
ln
a
≤
x2-
1-2ln
x
,
只需-
ln
a
≤(
x2-
1-2ln
x
)min
=
0,
∴ a ∴a .
ln ≥0, ≥1
故实数a的取值范围是 +∞ . ……………………………………………………………………………… 分
[1, ) 12
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B 4 ( 4 )
