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【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（上海高考专用）
黄金卷06
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、 填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．（4分）集合 ， ，若 ，3， ， ，则
．
2．（4分）已知 是公比为 的等比数列，且 、 、 成等差数列，则 ．
3．（4分）若复数 满足 是虚数单位），则 ．
4．（4分）若 ， ， ， 四点中恰有三点在椭圆 上，
则椭圆 的方程为 ．
5．（4分）已知 ， ，则 ．
6．（4分）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ，则
的值为 ．
7．（5分）已知函数 是偶函数，则 的值域是 ．
8．（5分）已知 ，向量 为单位向量， ，则向量 在向量 方向上的投影向量为 ．
9．（5 分）已知一组数据的回归直线方程为 ，且 ，发现有两组数据 ，
的误差较大，去掉这两组数据后，重新求得回归直线方程为 ，则当 时，
．
10．（5分）如图，在正方体 中，
（Ⅰ） 与平面 所成角的大小为 ；（Ⅱ） 与平面 所成角的大小为 ；
（Ⅲ） 与平面 所成角的大小为 ．
11．（5分）设某车间的 类零件的厚度 （单位： 服从正态分布 ，且
若从 类零件中随机选取200个，则零件厚度小于 的个数的方差为 ．
12．（5分）已知 ， ， ，则 的最小值为 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）
13．（4分）若直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则能使 的是
A． ，2， ， ，0， B． ，3， ， ，0，
C． ，2， ， ， ， D． ， ， ， ，3，
14．（4分）如图，已知 是半径为 的扇形， ， 是弧 上的动点，过点 作
垂足为 ，某地区欲建一个风景区，该风景区由 和矩形 组成，且 ，则该风景区面
积的最大值为
A． B． C． D．15．（5分）在平面直角坐标系 中，点 关于直线 的对称点为
A． B． C． D．
16．（5分）已知 是偶函数 的导函数， （1） ．若 时， ，则使
得不等式 成立的 的取值范围是
A． B． C． D．
三、解答题（本大题共有6题，满分78分）
17．（14分）数列 中， ，且 ．
（1）证明：数列 为等比数列，并求出 ；
（2）记数列 的前 项和为 ．若 ，求 ．
18．（14分）如图，半圆所在的平面与矩形所在平面 垂直， 是半圆弧上一点（端点除外），
是半圆的直径， ， ．
（1）求证：平面 平面 ；（2）是否存在 点，使得二面角 的正弦值为 ？若存
在，求四棱锥 的体积；若不存在，说明理由．19．（16分）在平面直角坐标系 中，已知双曲线 的右焦点为 ，离心率为
2，且过点 ．
（1）求双曲线 的标准方程；
（2）设过原点 的直线 在第一、三象限内分别交双曲线 于 ， 两点，过原点 的直线 在第二、
四象限内分别交双曲线 于 ， 两点，若直线 过双曲线的右焦点 ，求四边形 面积的最小值．
20．（16分）2022年初，新冠疫情在辽宁葫芦岛市爆发，市某慈善机构为筹措抗疫资金，在民政部门允许
下开设“疫情无情人有情”线上抽奖活动，任何人都可以通过捐款的方式参加线上抽奖．在线上捐款后，
屏幕上会弹山抽奖按钮，每次按下按钮后将会随机等可能的出现“抗”“疫”“胜”“利”四个字中的一
个．规定：若出现“利”字，则抽奖结束．否则重复以上操作，最多按 4次．获奖规则如下：依次出现
“抗”“疫”“胜”“利”四个字，获一等奖；不按顺序出现这四个字，获二等奖；出现“抗”“疫”
“胜”三个字为三等奖．
（1）求获得一、二、三等奖的概率；
（2）设按下按钮次数为 ，求 的分布列和数学期望．21．（18分）已知函数 ， ， ．
（1）当 时，曲线 在 处的切线与直线 平行，求函数
在 ， 上的最大值；
（2）当 ， 时，证明： （b） （a） ．
