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2025-2026 学年八年级下册数学单元自测
第一章 三角形的证明及其应用·能力提升
建议用时：60分钟，满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．等腰三角形有一个角是 ，则它的底角是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，等边三角形 与互相平行的直线a，b相交，若 ，则 的大小为（ ）．
A． B． C． D．
3．如图，在 中， ，D是 上一点，且 ，若 ，则点D到 的距
离为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．下列不能判定 是直角三角形的是（ ）
A．
B．如果 的三边长分别为a，b，c，且满足
C．
D．如果 的三边长分别为a，b，c，且满足
5．如图，已知 ， ，若 和 分别垂直平分 和 ，则 的度数为（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司A． B． C． D．
6．如图，公路 和 互相垂直，点B和 的中点D被一个湖泊隔开，若公路 的长为10千米，则
B，D两点之间的距离为（ ）
A．20千米 B．15千米 C．10千米 D．5千米
7．某平板电脑支架如图所示， ， ．为了使用的舒适性，可调整 的大小．若
增大 ，则 的变化情况是（ ）
A．增大 B．减小 C．增大 D．减小
8．如图， 是 中 的平分线， 是 的外角的平分线，如果 ， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
9．如图，在 中， 的平分线交 于点 ，则下列结论不正确的是
（ ）
A． B．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司C．点 一定在 的垂直平分线上 D． 是轴对称图形
10．如图，已知 和 均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，AE与 相交于点O，
与 交于点G， 与 相交于点F，连接 ， ．下列结论：① ；② ；③
；④ ；其中正确的结论有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题可表述为 ．
12．小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在 上，两把直尺的接触点为 ，边 与其中一把
直尺边缘的交点为 ，点 和 在这把直尺上的刻度数分别是 和 ，则 的长为 ．
13．如图，已知 ， ， ，则 的度数为 ．
14．“三等分角”大约在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任
一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒 ， 组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，
，点D，E可在槽中滑动，若 ，则 为 度 ．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司15．如图，在 中， ， 的面积为21， 的垂直平分线分别交 、 于点M、N，若
点P和点Q分别是线段 和 边上的动点，连接 ， ，则． 的最小值为 ．
16．如图， ， ， ，点 在四边形 的边上，若 是等腰三角形，
则 的度数是 ．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；
共9小题，共72分）
17．如图所示，已知 中， ， ， 的垂直平分线 交 于点E，交 于
点F，连接 ．
(1)试判断 是什么三角形？并说明理由；
(2)若 ，求 的长．
18．如图，在 中， ， ， ，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交 于
点M，交 于点N，再分别以点M，N为圆心，大于 的长度为半径作弧，两弧在 的内部相交
于点D，作射线 交 于点E．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司(1)求 的长；
(2)求 的面积．
19．如图，在 中， ， 于 ， 平分 ，交 于点F，交 于点E．
(1)求证： 是等腰三角形；
(2)若 ，求 的度数．
20．如图， 于点 ， 于点 ， ， ．
(1)求证： ；
(2)已知 ， ，求 的长．
21．如图，在边长为 的等边 中，点P，Q分别是边 上的动点（端点除外），点P从顶点
A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为 ，连接 交于点M，在点P，Q运动的过程中．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司(1)求证： ．
(2)连接 ，当点P，Q运动______秒时， 是直角三角形．
22．我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形
为勾股高三角形，这两边的交点为勾股顶点．
【特例感知】
（1）①等腰直角三角形____________（填“是”或“不是”）勾股高三角形；
②如图1，已知 为勾股高三角形，其中点 为勾股顶点， 是 边上的高．若
，试求 的值；
【推广应用】
（2）如图2，等腰三角形 为勾股高三角形，其中 为 边上的高，过点 作
交 边于点 ．若 ，试求线段 的长度．
23．综合与探究
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司【感知】如图1，在 中， 、 分别是 和 的角平分线．
【应用】
(1)若 ，则 ；若 ，则 ；
(2)求 与 之间的关系并证明；
【拓展】
(3)如图2，在四边形 中， 、 分别是 和 的角平分线，求 与 的数
量关系．
24．如图，在 中，点 在 上，过点 作 ，交 于点 ， 平分 ，交
的平分线于点 ， 与 相交于点 ， 的平分线 与 相交于点 ．
(1)若 ， ，则 ______°， _____°；
(2)求证： ；
(3)若 中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的 的度数．
25．【问题情境】
利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1， 平分 ．点 为 上一点，过点 作
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司，垂足为 ，延长 交 于点 ，可根据___________，证明 ，则
（即点 为 的中点）．
【类比解答】
如图2，在 中， 平分 于 ，若 ，通过上述构造全等的办法，
可求得 ___________．
【拓展延伸】
如图3， 中， 平分 ，垂足 在 的延长线上，试探究
和 的数量关系，并证明你的结论．
【实际应用】
如图4是一块肥沃的三角形土地，其中 边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地
进行水稻试验，故进行如下操作：
①用量角器取 的角平分线 ；
②过点 作 于 ．已知 面积为26，则划出的 的面积是___________．
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