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第 3 章变量之间的关系（典型 30 题专练）
一．选择题（共10小题）
1．（2021秋•紫金县期末）在实验课上，小亮利用同一块木板测得小车从不同高度（h）与下滑
的时间（t）的关系如下表：
支撑物高h 10 20 30 40 50 …
（cm）
下滑时间t（s） 3.25 3.01 2.81 2.66 2.56 …
以下结论错误的是（ ）
A．当h＝40时，t约2.66秒
B．随高度增加，下滑时间越来越短
C．估计当h＝80cm时，t一定小于2.56秒
D．高度每增加了10cm，时间就会减少0.24秒
【分析】根据表格中数量的变化情况，分别进行判断即可．
【解答】解：当支撑物高度从10cm升高到20cm，下滑时间的减少0.24s，
从20cm升高到30cm时，下滑时间就减少0.2s，
从30cm升高到40cm时，下滑时间就减少0.15s，
从40cm升高到50cm时，下滑时间就减少0.1s，
因此，“高度每增加了10cm，时间就会减少0.24秒”是错误的，
故选：D．
【点评】本题考查变量之间的关系，理解表格中两个变量之间的变化关系是正确判断的前提．
2．（2021秋•肇源县期末）小颖现已存款200元．为赞助“希望工程”，她计划今后每月存款
10元，则存款总金额y（元）与时间x（月）之间的函数关系式是（ ）
A．y＝10x B．y＝120x C．y＝200﹣10x D．y＝200+10x
【分析】根据题意可以写出存款总金额y（元）与时间x（月）之间的函数关系式，从而可以
解答本题．
【解答】解：由题意可得，
y＝200+10x，
故选：D．
【点评】本题考查函数关系式，解答本题的关键是明确题意，写出其中的函数关系式．
3．（2021•北碚区校级模拟）小妍从家出发步行上学，途中发现忘带了数学书，于是打电话让妈
妈马上从家里沿上学的路送来，同时小妍也掉头往家走，遇到妈妈后聊了一会儿，接着继续
向学校走去．设小妍从家出发后所用时间为t，小妍与学校的距离为s，下面能反映s与t的函
数关系的大致图象是（ ）A． B．
C． D．
【分析】首先根据题意，可得小妍从出发到发现忘了带数学书的这段时间，S逐渐减小；然后
判断出小妍往回走遇到妈妈的这段时间内，S逐渐增加；两人聊天的这段时间，S保持不变；
最后判断出小妍继续走前往学校的这段时间，S逐渐减小到0，据此判断出能反映S与t的函
数关系的大致图象是哪个即可．
【解答】解：小妍从出发到发现忘了带数学书的这段时间，S逐渐减小；
小妍往回走遇到妈妈的这段时间内，S逐渐增加；
两人聊天的这段时间，S保持不变；
小妍继续走前往学校的这段时间，S逐渐减小到0，
所以能反映S与t的函数关系的大致图象是：B．
故选：B．
【点评】此题主要考查了函数的图象，要熟练掌握，解答此题的关键是弄清楚小妍与学校的
距离S随着时间的增加的变化情况．
4．（2020秋•涟水县期末）如图①，在正方形ABCD中，点P从点D出发，沿着D→A方向匀
速运动，到达点A后停止运动．点Q从点D出发，沿着D→C→B→A的方向匀速运动，到达
点A后停止运动．已知点P的运动速度为a，图②表示P、Q两点同时出发x秒后，△APQ的
面积y与x的函数关系，则点Q的运动速度可能是（ ）
A． a B． a C．2a D．3a
【分析】本题根据动点之间相对位置，讨论形成图形的面积的变化趋势即可，适于采用筛选
法．
【解答】解：本题采用筛选法．首先观察图象，可以发现图象由三个阶段构成，即△APQ的顶点Q所在边应有三种可能．
当Q的速度低于点P时，当点P到达A时，点Q还在DC上运动，之后，因A、P重合，
△APQ的面积为零，画出图象只能由一个阶段构成，故A、B错误；
当Q的速度是点P速度的2倍，当点P到点A时，点Q到点B，之后，点A、P重合，△APQ
的面积为0．期间△APQ面积的变化可以看成两个阶段，与图象不符，C错误．
故选：D．
【点评】本题考查双动点条件下的图形面积问题，分析时要关注动点在经过临界点时，相关
图形的变化规律．
5．（2021春•庐江县期末）一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发匀速行驶至乙港，行驶
路程随时间变化的图象如图，则下列结论错误的是（ ）
A．轮船的速度为20千米/时
B．轮船比快艇先出发2小时
C．快艇到达乙港用了6小时
D．快艇的速度为40千米/时
【分析】观察图象，该函数图象表示的是路程与时间的函数关系，可知轮船出发4小时后被
快艇追上，在4小时时快艇和轮船行驶的路程相等．
【解答】解：由函数图象，得：
A．轮船的速度为：160÷8＝20（km/h），故A不合题意，
B．快艇出发时坐标（2，0），轮船出发时（0，0），所以轮船比快艇早出发2小时，故B不
合题意，
C．快艇到达乙港用了6﹣2＝4（小时），故C符合题意，
D．快艇的速度为：160÷（6﹣2）＝40km/h，故D不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的图象的运用，行程问题的数量关系的运用，解答时分析清楚
函数图象提供的信息是关键．
6．（2021•安徽模拟）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点P从A点出发，沿A→B→C方向
匀速运动，过点P作PQ∥BD交菱形的另一边于点Q，设点P的运动路程为x，△PCQ的面
积为y，则y与x之间的函数图象可能为（ ）A． B．
C． D．
【分析】分点P在AB和BC上两种情况讨论，分别写出对应的函数解析式即可．
【解答】解：如图，连接AC，AC与PQ交与点E，AC与BD交与点F，
当P在AB上时，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
又∵PQ∥BD，
∴AC⊥PQ，
∴CE是三角形PCQ在PQ边上的高，
由菱形的性质得AP＝AQ，
∵∠PAQ＝60°，
∴三角形APQ是等边三角形，
∴PQ＝AP＝x，∠APE＝60°，
∴sin60°＝ ＝ ，
∴AE＝ ，
设AC＝m，
∴CE＝AC﹣ x＝m﹣ ，∴y＝ ＝﹣ ，
该部分是开口向下的二次函数，
当P在BC上时，
设菱形的边长为a，
则PC＝2a﹣x，则PQ＝CE＝ ＝ ，
∴y＝ ＝ ，
该部分是开口向上的二次函数，
只有C选项符合题意，
故选：C．
【点评】本题主要考查动点问题的函数图象，关键是要将三角形PCQ的底和高用含x的式子
表示出来，列出y和x之间的关系式．
7．（2020秋•西湖区期末）在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如表关系：
销售价/元 90 100 110 120 130 140
销售量/件 90 80 70 60 50 40
设该商品的销售价为x元，销售量为y件，估计：当x＝127时，y的值为（ ）
A．63 B．59 C．53 D．43
【分析】该商品的销售价每增加10元，销售量就减少10件，所以可以分析出销售量y与销售
价x符合一次函数关系，再设出函数解析式，代入表格中的数据求出解析式，再把x＝127代
入求y的值即可．
【解答】解：由图表可以看出y与x符合一次函数关系，设y＝kx+b（k≠0），
把x＝90，y＝90和x＝100，y＝80代入得，
，
解得： ，
则y＝﹣x+180，
当x＝127时，y＝﹣127+180＝53．
故选：C．
【点评】本题主要考查了函数的表示方法，根据题目中的条件分析函数关系是关键的一步，
并且要熟练掌握待定系数法求解析式．
8．（2021•海淀区校级模拟）骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而发生较大变化，
其体温（℃）与时间（小时）之间的关系如图1所示．小清同学根据图1绘制了图2，则图2
中的变量y最有可能表示的是（ ）A．骆驼在t时刻的体温与0时体温的绝对差（即差的绝对值）
B．骆驼从0时到t时刻之间的最高体温与当日最低体温的差
C．骆驼在t时刻的体温与当日平均体温的绝对差
D．骆驼从0时到t时刻之间的体温最大值与最小值的差
【分析】根据时间和体温的变化，将时间分为3段：0﹣4，4﹣8，8﹣16，16﹣24，分别观察
每段中的温差，由此即可求出答案．
【解答】解：从0时到4时，温差随时间的增大而增大，在4时达到最大，是2℃；再到8时，
这段时间的最高温度是37℃，最低是35℃，温差不变，从8时开始，最高温度变大，最低温
度不变是35℃，温差变大，达到3℃，从16时开始体温下降，温差不变．即变量y最有可能
表示的是骆驼从0时到t时刻之间的体温最大值与最小值的差．
故选：D．
【点评】考查了函数图象，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，能够
通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．理解本题中温差的含义
是解决本题的关键．
9．（2021•黄冈）如图，AC为矩形ABCD的对角线，已知AD＝3，CD＝4，点P沿折线C﹣A﹣
D以每秒1个单位长度的速度运动（运动到D点停止），过点P作PE⊥BC于点E，则△CPE
的面积y与点P运动的路程x间的函数图象大致是（ ）
A． B．C． D．
【分析】根据点P运动路径分段写出△CPE的面积y与点P运动的路程x间的函数关系式即可．
【解答】解：∵BC∥AD，
∴∠ACB＝∠DAC，
∵∠PEC＝∠D＝90°，
∴△PCE∽△CAD，
∴ ＝ ＝ ，
∵AD＝3，CD＝4，
∴AC＝ ＝5，
∴当P在CA上时，即当0＜x≤5时，
PE＝ ＝ x，
CE＝ ＝ x，
∴y＝ PE•CE＝ ＝ x2，
当P在AD上运动时，即当5＜x≤8时，
PE＝CD＝4，
CE＝8﹣x，
∴y＝ PE•CE＝ ×4×（8﹣x）＝16﹣2x，
综上，当0＜x≤5时，函数图象为二次函数图象，且y随x增大而增大，当5＜x≤8时，函数
图象为一次函数图象，且y随x增大而减小，
故选：D．
【点评】本题主要考查一次函数和二次函数的性质，熟练掌握二次函数和一次函数的性质是
解题的关键．
10．（2021•威海）如图，在菱形ABCD中，AB＝2cm，∠D＝60°，点P，Q同时从点A出发，
点P以1cm/s的速度沿A﹣C﹣D的方向运动，点Q以2cm/s的速度沿A﹣B﹣C﹣D的方向运
动，当其中一点到达D点时，两点停止运动．设运动时间为x（s），△APQ的面积为y
（cm2），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（ ）A． B．
C． D．
【分析】先证明△ABC、△ACD都是等边三角形，再分0≤x≤1、1＜x≤2、2＜x≤3三种情况
画出图形，根据图形得到函数解析式，由二次函数、一次函数的图象与性质逐项排除即可得
到正确解．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝2cm，∠B＝∠D＝60°．
∴△ABC、△ACD都是等边三角形，
∴∠CAB＝∠ACB＝∠ACD＝60°．
如图1所示，当0≤x≤1时，AQ＝2xcm，AP＝xcm，
作PE⊥AB于E，
∴PE＝sin∠PAE×AP＝ （cm），
∴y＝ AQ•PE＝ ×2x× ＝ ，
故D选项不正确；
如图2，当1＜x≤2时，AP＝xcm，CQ＝（4﹣2x）cm，
作QF⊥AC于点F，
∴QF＝sin∠ACB•CQ＝ （cm），
∴y＝ ＝ ＝ ，
故B选项不正确；
如图3，当2＜x≤3时，CQ＝（2x﹣4）cm，CP＝（x﹣2）cm，
∴PQ＝CQ﹣CP＝2x﹣4﹣x+2＝（x﹣2）cm，作AG⊥DC于点G，
∴AG＝sin∠ACD•AC＝ ×2＝ （cm），
∴y＝ ＝ ＝ ．
故C选项不正确，
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形性质，二次函数、一次函数的图象与性质，利
用三角函数解直角三角形等知识，综合性比较强．根据题意分类讨论列出各种情况下函数的
解析式是解题的关键．
二．填空题（共10小题）
11．（2021春•市北区期末）若某地打长途电话3分钟之内收费1.8元，每增加1分钟加收0.5元，
当通话时间为t分钟时（t≥3且t为整数），电话费y（元）与通话时间t（分）之间的关系式
为 y ＝ 0.3+0. 5 t ．
【分析】当t≥3时，超3分钟的时间为：t﹣3，单价为0.5元，所以列式为：y＝1.8+0.5（t﹣
3），化简解可．
【解答】解：由题意得，y＝1.8+0.5（t﹣3）＝0.5t+0.3，
故答案为：y＝0.5t+0.3．
【点评】本题考查了函数关系式，属于电话计费问题，是分段函数，注意时间t的取值范围．
12．（2021春•罗湖区期中）点燃一根蜡烛后，蜡烛的高度h（厘米）与燃烧时间t（分）之间的
关系如表：则蜡烛的高度h（厘米）与燃烧时间t（分）之间的关系式 h ＝ 3 0 ﹣ t ．
t/分 0 2 4 6 8 10
h/厘米 30 29 28 27 26 25
【分析】根据蜡烛的高度＝原长﹣燃烧的长度即可求．
【解答】解：由表格数据可知，蜡烛每2分钟燃烧1厘米，
∴h＝30﹣ t．
故答案为：h＝30﹣ t．
【点评】本题考查函数表达式的求法，找出表格数据包含的信息是求解本题的关键．
13．（2021•河南模拟）如图，正方形ABCD中，点P、Q从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A
﹣B﹣C和A﹣D﹣C的路径匀速运动，同时到达点C时停止运动．连接PQ，设PQ的长为y，运动时间为x，则y（cm）与x（秒）的函数图象如图所示．当x＝2.5秒时，PQ的长是
cm．
【分析】由题可得：当点P、Q运动2秒时，可得正方形的边长AB＝AD＝2cm，据此求解即
可．
【解答】解：由题可得：正方形的边长AB＝AD＝2cm，
点P运动2.5秒时，P点运动了2.5cm，
此时，点P在BC上，
则此时CP＝2﹣0.5＝ ＝CQ，
在Rt△PCQ中，由勾股定理，得PQ＝ ＝ （cm），
故答案为： ．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，依据点P的位置，利用勾股定理进行计算是解题
关键．
14．（2021•珠海校级一模）如图①，在矩形ABCD中，AB＞AD，对角线AC，BD相交于点O，
动点P由点A出发，沿A→B→C运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的
函数关系图象如图②所示，则AB边的长为 6 ．【分析】当点P到达点B时，△AOP的面积为6，此时△AOP的高为 BC，则6＝ ×AB×（
BC），解得AB•BC＝24，而AB+BC＝10，即可求解．
【解答】解：从图象看，当点P到达点B时，△AOP的面积为6，此时△AOP的高为 BC，
∴△AOP的面积＝ ×AB×（ BC）＝6，解得AB•BC＝24①，
而从图②看，AB+BC＝10②，
联立①②并解得 ．
故答案为：6．
【点评】本题考查的是动点问题的函数图象，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和
图形的对应关系，进而求解．
15．（2021春•商河县校级期末）如图所示的折线ABC为某地向香港地区打电话需付的通话费y
（元）与通话时间t（min）之间的函数关系，则通话8min应付通话费 7. 4 元．
【分析】根据图形写出点B、C的坐标，然后利用待定系数法求出射线BC的解析式，再把t＝
8代入解析式进行计算即可得解．
【解答】解：由图象可得，点B（3，2.4），C（5，4.4），
设射线BC的解析式为y＝kt+b（t≥3），
则 ，
解得： ，
所以，射线BC的解析式为y＝t﹣0.6（t≥3），
当t＝8时，y＝8﹣0.6＝7.4（元），
故答案为：7.4．
【点评】本题考查了函数的图象和一次函数的应用，根据图象写出点B、C的坐标，利用待定
系数法求出射线BC的解析式是解题的关键．
16．（2021春•碑林区校级期末）长方形的周长为10，其中一边为x，另一边为y，则y与x的关系式为 y ＝ 5 ﹣ x ． ．
【分析】由长方形周长等于2×长+2×宽求解．
【解答】解：由题意得2x+2y＝10，
整理得y＝5﹣x．
故答案为y＝5﹣x．
【点评】本题考查函数关系式，解题关键是掌握矩形的边长与周长的关系．
17．（2021春•杏花岭区校级期中）下表为研究弹簧长度与所挂物体质量关系的实验表格．
所挂物体质量x（kg） 1 2 3 4
弹簧长度y（cm） 10 12 14 16
则当所挂物体质量为3.5kg时，弹簧比原来伸长了 7 cm．
【分析】设y与x的关系式为y＝kx+b，然后通过待定系数法求解．
【解答】解：设弹簧长度y与所挂物体质量x之间的关系式为y＝kx+b，
将x＝1，y＝10与x＝2，y＝12分别代入解析式中可得：
，
解得 ，
∴y＝2x+8，
当x＝0时y＝8，即弹簧原来长度为8cm，
x＝3.5时，y＝15，
15﹣8＝7（cm），
故答案为：7．
【点评】本题考查函数的表示方法与应用，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式．
18．（2021•常州模拟）某市出租车白天的收费起步价为7元，即路程不超过3千米时收费7元，
超过部分每千米收费1.2元，如果乘客白天乘坐出租车的路程为x（x＞3）千米，乘车费为y
元，那么y与x之间的关系为 y ＝ 1. 2 x +3. 4 ．
【分析】根据乘车费用＝起步价+超过3千米的费用即可得出．
【解答】解：依据题意得：y＝7+1.2（x﹣3）＝1.2x+3.4，
故答案为：y＝1.2x+3.4，
【点评】本题考查了根据实际问题列一次函数关系式．理解题意，找到等量关系是本题关键．
19．（2021•台儿庄区模拟）如图1，点P从△ABC的顶点A出发，沿A→B→C匀速运动到点C，
图2是点P运动时线段CP的长度y随时间x变化的关系图象，其中点Q为曲线部分的最低点，
则△ABC的边AB的长度为 1 0 ．【分析】根据图2中的曲线可得，当点P在△ABC的顶点A处，运动到点B处时，图1中的
AC＝BC＝13，当点P运动到AB中点时，此时CP⊥AB，根据图2点Q为曲线部分的最低点，
可得CP＝12，根据勾股定理可得AP＝5，再根据等腰三角形三线合一可得AB的长．
【解答】解：根据图2中的曲线可知：
当点P在△ABC的顶点A处，运动到点B处时，
图1中的AC＝BC＝13，
当点P运动到AB中点时，
此时CP⊥AB，
根据图2点Q为曲线部分的最低点，
得CP＝12，
所以根据勾股定理得，此时AP＝ ＝5．
所以AB＝2AP＝10．
故答案为：10．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是综合利用两个图形给出的条件．
20．（2020秋•东城区期末）如图1，在△ABC中，AB＞AC，D是边BC上一动点，设B，D两
点之间的距离为x，A，D两点之间的距离为y，表示y与x的函数关系的图象如图2所示．则
线段AC的长为 ，线段AB的长为 2 ．
【分析】从图象看，当x＝1时，y＝ ，即BD＝1时，AD＝ ，当x＝7时，y＝ ，
即BD＝7时，C、D重合，此时y＝AD＝AC＝ ，则CD＝6，即当BD＝1时，△ADC为以
点A为顶点腰长为 的等腰三角形，进而求解．
【解答】解：从图象看，当x＝1时，y＝ ，即BD＝1时，AD＝ ，当x＝7时，y＝ ，即BD＝7时，C、D重合，此时y＝AD＝AC＝ ，则CD＝6，
即当BD＝1时，△ADC为以点A为顶点腰长为 的等腰三角形，如下图：
过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△ACH中，AC＝ ，CH＝DH＝ CD＝3，则AH＝ ＝ ＝2，
在Rt△ABH中，AB＝ ＝ ＝2 ，
故答案为： ，2 ．
【点评】本题考查的是动点问题的函数图象，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和
图形的对应关系，进而求解．
三．解答题（共10小题）
21．（2021春•商河县校级期末）为了解某种车的耗油量，我们对这种车在高速公路上做了耗油
试验，并把试验的数据记录下来，制成如表：
汽车行驶时间t（小时） 0 1 2 3 …
油箱剩余油量Q（升） 100 94 88 82 …
（1）如表反映的两个变量中，自变量是 汽车行驶时间 t ，因变量是 汽车油箱的剩余油
量 Q ．
（2）根据表可知，汽车行驶3小时时，该车油箱的剩余油量为 8 2 升，汽车每小时耗油
6 升．
（3）请直接写出两个变量之间的关系式（用t来表示Q）．
【分析】（1）根据变量的定义即可判断．
（2）当t＝0时，此时油箱剩余油量即为油箱大小，根据表格可知，1小时共耗油6升．
（3）根据（2）即可求出Q的关系式．
【解答】解：（ 1 ）由题意可知，自变量为汽车行驶时间t，因变量为汽车油箱的剩余油量
Q．
故答案为：汽车行驶时间t，汽车油箱的剩余油量Q．
（ 2 ）由表格可知，当行驶3小时的时候，汽车油箱的剩余油量为82升，且汽车每行驶一小
时，耗油量为6升．
故答案为82，6．
（ 3 ）由表格可知，汽车一开始的油量为100升，每行驶一小时汽车耗油6升，则汽车油箱
刺余油量和汽车行驶时间的关系为Q＝100﹣6t．
故答案为Q＝100﹣6t．
【点评】本题考查函数关系，解题的关键是正确理解变量与常量，本题属于基础题型．22．（2021春•福田区校级期中）川航3U8633航班从重庆起飞约40分钟后，挡风玻璃在高空爆
裂，机组临危不乱，果断应对，正确处置，顺利返航，避免了一场灾难的发生．下面表格是
成都当日海拔高度h（千米）与相应高度处气温t（℃）的关系【成都地处四川盆地，海拔高
度较低，为方便计算，在此题中近似为0米】．
海拔高度h（千米） 0 1 2 3 4 5 …
气温t（℃） 20 14 8 2 ﹣4 ﹣10 …
根据上表，回答以下问题：
（1）由上表可知海拔5千米的上空气温约为 ﹣ 1 0 ℃．
（2）由表格中的规律请写出当日气温t与海拔高度h的关系式为 t ＝ 2 0 ﹣ 6 h ．
如图是当日飞机下降过程中海拔高度与玻璃爆裂后立即返回地面所用的时间关系图，根据图
象回答以下问题：
（3）挡风玻璃在高空爆裂飞机所处的高度为 9. 8 千米，返回地面用了 2 0 分钟；
（4）飞机在2千米高空水平面上大约盘旋了 2 分钟；
（5）挡风玻璃在高空爆裂时，当时飞机所处高空的气温为 ﹣ 38. 8 ℃，由此可见机长在高
空经历了多大的艰险．
【分析】（1）由表中数据即可得；
（2）由海拔高度每上升1千米，气温下降6℃求解可得；
（3）由t＝0时h＝9.8及t＝20时h＝0解答可得；
（4）由函数图象中t＝10至t＝12时，h＝2求解可得；
（5）将h＝9.8代入t＝20﹣6h求解可得．
【解答】解：（1）由上表可知海拔5千米的上空气温约为﹣10℃，
故答案为：﹣10；
（2）由表知海拔高度每上升1千米，气温下降6℃，
所以当日气温t与海拔高度h的关系式为t＝20﹣6h，
故答案为：t＝20﹣6h；
（3）由函数图象知挡风玻璃在高空爆裂时飞机所处的高度为9.8千米，返回地面用了20分钟，
故答案为：9.8、20；
（4）飞机在2千米高空水平面上大约盘旋了12﹣10＝2（分钟），
故答案为：2；
（5）当h＝9.8时，t＝20﹣6×9.8＝﹣38.8（℃），故答案为：﹣38.8．
【点评】本题主要考查了函数关系式及函数值，解题的关键是根据表中的数据写出函数关系
式．
23．（2021春•商河县校级期末）为了体验大学校园文化，小华利用周末骑电动车从家出发去西
安交大，当他骑了一段路时，想起要帮在交大读书的张浩买一本书，于是原路返回到刚经过
的新华书店，买到书后继续前往交大，如图是他离家的距离与时间的关系示意图，请根据图
中提供的信息回答下列问题：
（1）小华家离西安交大的距离是多少？
（2）小华在新华书店停留了多长时间？
（3）买到书后，小华从新华书店到西安交大骑车的平均速度是多少？
（4）本次去西安交大途中，小华一共行驶了多少米？
【分析】（1）根据函数图象，可知小华家离西安交大的距离是4800米；
（2）由函数图象可知，16～24分钟的路程没变，所以小华在新华书店停留了
（3）小华从新华书店去西安交大的路程为4800﹣3000＝1800米，所用时间为28﹣24＝4分钟，
根据速度＝路程÷时间，即可解答；
（4）根据函数图象，可知本次去西安交大途中，小华一共行驶的路程．
【解答】解：（1）根据函数图象，可知小华家离西安交大的距离是4800米；
（2）24﹣16＝8（分钟）．
所以小华在新华书店停留了8分钟；
（3）小华从新华书店去西安交大的路程为4800﹣3000＝1800米，所用时间为28﹣24＝4分钟，
小华从新华书店到西安交大骑车的平均速度是：1800÷4＝450（米/分）；
（4）根据函数图象，小华一共行驶了4800+2×（4000﹣3000）＝6800（米）．
【点评】本题主要考查了函数图象的读图能力，要理解横纵坐标表示的含义以及小华的运动
过程是解题的关键．
24．（2021春•浉河区期末）小明骑单车上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折
回到刚经过的某书店，买到书后继续去学校．以下是他本次上学所用的时间与离家距离的关
系示意图．
根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）小明家到学校的路程是 150 0 米．（2）小明在书店停留了 4 分钟．
（3）本次上学途中，小明一共行驶了 270 0 米．一共用了 1 4 分钟．
（4）在整个上学的途中哪个时间段小明骑车速度最快，最快的速度是多少米/分？
【分析】（1）根据小明本次上学所用的时间与离家距离的关系示意图可得，小明家到学校的
路程；
（2）观察图象即可得小明在书店停留的时间；
（3）观察小明本次上学所用的时间与离家距离的关系示意图可得，本次上学途中，小明一共
行驶的路程，从离家至到达学校一共用的时间；
（4）在整个上学的途中12分钟至14分钟小明骑车速度最快，根据路程除以时间即可求出最
快的速度．
【解答】解：根据小明本次上学所用的时间与离家距离的关系示意图可知：
（1）小明家到学校的路程是1500米；
故答案为：1500．
（2）小明在书店停留了12﹣8＝4（分钟）；
故答案为：4．
（3）本次上学途中，小明一共行驶了1200+600+（1500﹣600）＝2700（米），一共用了14
分钟；
故答案为：2700；14．
（4）在整个上学的途中12分钟至14分钟小明骑车速度最快，最快的速度为：
（米/分）；
∴在整个上学的途中12分钟至14分钟小明骑车速度最快，最快的速度为：450米/分．
【点评】本题考查了函数的图象，解决本题的关键是数形结合思想的熟练运用．
25．（2021秋•淮南期中）结合图中信息回答问题：（1）两种电器销售量相差最大的是 7 月；
（2）简单描述一年中冰箱销售量的变化情况： 先上升后下降，在夏季时销售量最大 ；
（3）两种电器中销售量相对稳定的是 热水器 ．
【分析】（1）观察各个月两种电器销售图象的纵坐标即可得出结论；
（2）根据图象解答即可；
（3）依据折线图的变化趋势，销售量相对稳定的是热水器．
【解答】解：（1）由图象可知，两种电器销售量相差最大的是7月；
（2）一年中冰箱销售量的变化情况大致为：先上升后下降，在夏季时销售量最大；
（3）两种电器中销售量相对稳定的是热水器．
故答案为：（1）7；（2）先上升后下降，在夏季时销售量最大；（3）热水器．
【点评】本题考查了函数的图象，解决本题的关键是利用数形结合思想．
26．（2021秋•庐阳区期中）“十一”期间，小明和父母一起开车到距家200km的景点旅游，出
发前，汽车油箱内储油45L，当行驶150km时，发现油箱余油量为30L．（假设行驶过程中汽
车的耗油量是均匀的）
（1）求该车平均每千米的耗油量，并写出行驶路程x（km）与剩余油量Q（L）的关系式；
（2）当x＝280时，求剩余油量Q．
【分析】根据平均每千米的耗油量＝总耗油量÷行驶路程求解．
【解答】解：（1）该车平均每千米的耗油量为（45﹣30）÷150＝0.1（L/km），
行驶路程x（km）与剩余油量Q（L）的关系式为Q＝45﹣0.1x．
（2）当x＝280时，Q＝45﹣0.1×280＝17．
故当x＝280时，剩余油量Q为17L．
故答案为：（1）Q＝45﹣0.1x．（2）当x＝280时，剩余油量Q为17L．
【点评】本题考查一次函数的实际应用，根据数量关系列出解析式为解题关键．
27．（2021春•槐荫区期末）2020年，周至县小李家的猕猴桃喜获丰收．在销售过程中，猕猴桃
的销售额y（元）与销量x（千克）满足如下关系：
销售量x（千克） 1 2 3 4 5 6 7 8
销售额y（元） 6 12 18 24 30 36 42 48
（1）在这个变化过程中，自变量是 猕猴桃的销量 ，因变量是 猕猴桃的销售额 ；（2）猕猴桃的销售额y（元）与销售量x（千克）之间的关系式为 y ＝ 6 x ；
（3）当猕猴桃销售量为100千克时，销售额是多少元？
【分析】（1）依据自变量与因变量的概念进行判断即可；
（2）依据表格中猕猴桃的销售额y（元）与销量x（千克）满足的关系，即可得到关系式；
（3）依据自变量的值，即可得到因变量的值．
【解答】解：（1）在这个变化过程中，自变量是猕猴桃的销量，因变量是猕猴桃的销售额，
故答案为：猕猴桃的销量，猕猴桃的销售额；
（2）猕猴桃的销售额y（元）与销售量x（千克）之间的关系式为y＝6x，
故答案为：y＝6x；
（3）将x＝100代入y＝6x，可得y＝6×100＝600，
答：当猕猴桃销售量为100千克时，销售额是600元．
【点评】本题主要考查了函数的表示方法，列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关
系，在实际生活中应用非常广泛．
28．（2021春•莱阳市期末）我市为了提倡节约，自来水收费实行阶梯水价，用水量x吨，则需
要交水费y元，收费标准如表所示：
月用水量x吨 不超过12吨部分 超过12吨不超过18吨的部分 超过18吨的部分
收费标准 2.00 2.50 3.00
（元/吨）
（1） 用水量 是自变量， 水费 是因变量；
（2）若用水量达到15吨，则需要交水费 31. 5 元；
（3）用户5月份交水费54元，则所用水为 2 3 吨；
（4）请求出：当x＞18时，y与x的关系式．
【分析】（1）用水量为自变量，水费为因变量；
（2）不超过12吨的部分，每吨2元，超过12吨不超过18吨的部分，每吨2.5元，分段收费
即可；
（3）根据题意，列出方程，解方程即可；
（4）三段费用加起来即可．
【解答】解：（1）用水量为自变量，水费为因变量，
故答案为：用水量，水费；
（2）2×12+2.5×（15﹣12）＝31.5（元），
故答案为：31.5；
（3）根据水费为54元，显然用水量超过18吨了，
根据题意得：2×12+2.5×（18﹣12）+3（x﹣18）＝54，
解得：x＝23，
故答案为：23；
（4）当x＞18时，
y＝2×12+2.5×（18﹣12）+3（x﹣18）＝24+15+3x﹣54
＝3x﹣15．
【点评】本题考查了变量之间的关系，一元一次方程的应用，体现了分类讨论的数学思想，
根据题意列出方程是解题的关键．
29．（2021•兰州）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，将∠BAC绕点A顺时针
旋转，角的两边分别交射线BC于D，E两点，F为AE上一点，连接CF，且∠ACF＝∠B（当
点B，D重合时，点C，F也重合）．设B，D两点间的距离为xcm（0≤x≤8），A，F两点间
的距离为ycm．
小刚根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小刚的探究过程，请补充完整．
（1）列表：下表的已知数据是根据B，D两点间的距离x进行取点，画图，测量分别得到了x
与y的几组对应值；
x/cm 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 6 7 8
y/cm 6.00 5.76 5.53 5.31 5.09 4.88 4.69 4.50 4.33 4.17 4.02 3.79 3.65 a
请你通过计算补全表格：a＝ 3. 6 ；
（2）描点、连线：在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点（x，y），并画
出函数y关于x的图象；
（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势： y 的值逐渐减小 ；
（4）解决问题：当AF＝CD时，BD的长度大约是 3.5 4 cm．（结果保留两位小数）
【分析】（1）如图1中，连接DF．首先证明∠AFD＝∠ACD＝90°，当BD＝8时，如图2中，
根据cos∠CAF＝cos∠CAB，可得 ＝ ，由此可得结论．
（2）利用描点法画出函数图象即可．（3）根据函数图象可得结论．
（4）作出直线CD的解析式y＝﹣x+8的图象，两个函数图象的交点的横坐标，即为BD的值．
【解答】解：（1）如图1中，连接DF．
∵∠BAC＝∠DAF，
∴∠BAD＝∠CAF，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠CFE＝∠ACF+∠CAF，∠ACF＝∠B，
∴∠CFE＝∠ADC，
∴A，F，C，D四点共圆，
∴∠AFD＝∠ACD＝90°，
当BD＝8时，如图2中，
在Rt△ACB中，AC＝6cm，BC＝8cm，
∴AB＝ ＝ ＝10（cm），
∵cos∠CAF＝cos∠CAB，
∴ ＝ ，
∴AF＝ ＝ ＝3.6（cm），
∴a＝3.6，
解法二：当BD＝8时，C与D重合，
∵∠CAF＝∠CAB，∠ACF＝∠B，∴△ACF∽△ABC，
∴ ＝ ，
∴AF＝3.6．
故答案为：3.6．
（2）函数图象如图所示：
（3）随着自变量x的不断增大，函数y的值逐渐减小．
故答案为：y的值逐渐减小．
（4）如图，因为直线CD的解析式为y＝﹣x+8，
观察图象可知，当CD＝AF时，x≈3.54，
∴BD≈3.54（cm），
故答案为：3.54．
【点评】本题考查动点问题函数图象，四点共圆，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题
的关键是理解题意，学会利用图象法确定交点坐标，属于中考常考题型．
30．（2021•牧野区校级三模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，点D是AB
的中点，以D为顶点作∠MDN＝∠A，∠MDN的两边分别与线段AC交于点M．N（点M在
点N左边）．设A，M两点间的距离为xcm，C、N两点间的距离为ycm．小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明
的探究过程，请补充完整．
（1）列表：下表的已知数据是根据A，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到
了x与y的几组对应值：
x/cm 0 0.6 1.2 1.8 2.3 2.9 3.4 3.5 4.0 4.3 4.5 4.7 4.8
y/cm a 4.6 4.3 3.9 3.6 3.1 2.6 2.4 b 1.2 0.9 0.4 0.2
请你补全表格：a＝ 4. 9 ；b＝ 1. 8 ．
（2）描点、连线：在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点（x，y），并画
出函数y关于x的图象：
（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势： y 随 x 的增大而减小 ．
（4）解决问题：当AM＝CN时，A、M两点间的距离大约是 3. 0 cm．（保留一位小数）
【分析】（1）在Rt△ANH中，AN＝MN＝ ＝ ＝ ，则y＝CN＝
AC﹣AN＝8﹣ ＝ ≈4.9＝a，同理可得b＝1.75≈1.8；
（2）再根据表格数据描点连线绘出函数图象即可；
（3）观察函数图象即可求解；
（4）在图2的基础上，画出直线y＝x，求两个函数的交点横坐标即可．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，BC＝6cm，AC＝8cm，则AB＝10cm，AD＝5cm，
cos∠BAC＝ ，
如图1，当x＝0时，点A、M重合，
过点N作NH⊥AB于点H，∵∠MDN＝∠A，故AH＝ AD，
在Rt△ANH中，AN＝MN＝ ＝ ＝ ，
则y＝CN＝AC﹣AN＝8﹣ ＝ ≈4.9＝a，
同理可得b＝1.75≈1.8，
故答案为4.9，1.8；
（2）根据表格数据描点连线绘图如图2，
（3）随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势为：y随x的增大而减小，
故答案为y随x的增大而减小；
（4）在图2的基础上，画出直线y＝x，即AM＝CN，
从图象看．两个函数的交点横坐标约为3.0，
故答案为3.0．
【点评】本题为动点问题的函数图象，涉及到解直角三角形、函数作图等，此类题目难点于
弄懂x、y代表的意义，估计或计算解出表格空出的数据．
