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静安区 2022 学年第二学期教学质量检测
高三数学试卷
2023.4
考生注意：
1．本试卷共5页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．
2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选
择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）
【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】
1. 若集合A＝{2，log a}，B＝{a，b}，且A∩B＝{0}，则A∪B＝___________.
2
2．已知{a }是公比为q的等比数列，且a 、a 、a 成等差数列，则q2=___________.
n 2 4 6
3. 若复数 (i为虚数单位)，则 ___________.
4.已知 两点在对称轴为坐标轴的椭圆上，则椭圆的标准方程为
___________.
5. 已知 ，且 ，则cosα=___________.
6. 已知△ABC中，sinA=3sinCcosB，且AB=2，则△ABC面积的最大值为___________.
7.已知函数
ax
为偶函数，则函数 的值域为___________.
f (x)= (a>0) f (x)
2x+1
π
8.已知向量⃗a=(1,√3)，且⃗a ，⃗b 的夹角为 ，(⃗a+⃗b)∙(2⃗a−3⃗b)=4，则⃗b在⃗a方向上的
3
投影向量等于___________.
9.某运动生理学家在一项健身活动中选择了10名男性参与者，以他们的皮下脂肪厚度来估
计身体的脂肪含量，其中脂肪含量以占体重（单位：kg）的百分比表示.得到脂肪含量和体
重的数据如下:
个体编号 体 重 x 脂 肪 含 量 y
（kg） （%）
1 89 28
2 88 27
D
3 66 24 C
4 59 23 E
A B
5 93 29
F
6 73 25
A1 D1 B1 C1
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7 82 29
8 77 25
9 100 30
10 67 23
建立男性体重与脂肪含量的回归方程为：___________.（结果中回归系数保留三位小
数）
10.如图，正方体ABCD-ABCD 中，E为AB的中点，F为正方形BCCB 的中心，则直线EF与
1 1 1 1 1 1
侧面BBCC所成角的正切值是___________.
1 1
11.今年是农历癸卯兔年,一种以兔子形象命名的牛奶糖深受顾客欢迎．标识质量为 500g的
这种袋装奶糖的质量指标 是服从正态分布N（500，2.52）的随机变量．若质量指标介于
495g（含）至505g（含）之间的产品包装为合格包装，则随意买一包这种袋装奶糖，是合
格包装的可能性大小为________%．(结果保留一位小数)
（已知(1)≈0.8413, (2)≈0.9772,(3)≈0.9987．(x)表示标准正态分布的密度函数从−∞
到x的累计面积）
12. 若10x−10y=10，其中x,y∈R，则 的最小值为___________.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13～14题每题4分，15～16题每题5
分）
【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格
涂黑，选对得相应分值，否则一律得零分．】
13.若直线l的方向向量为 ，平面的法向量为 ，则能使l//的是( )
A. B.
C. D.
14．摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如静安大悦城的“Sky Ring”摩天轮是上海首
个悬臂式屋顶摩天轮.摩天轮最高点离地面高度106米，转盘直径56米，轮上设置30个
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极具时尚感的4人轿舱，拥有360度的绝佳视野．游客从离楼顶屋面最近的平台位置进
入轿舱，开启后按逆时针匀速旋转 分钟后，游客距离地面的高度为 米，
(πt) .若在 时刻，游客距离地面的高度相等，则 的最小值为(
ℎ
=−28cos +78
6
)
A．6 B． 12 C．18 D．24
15.设直线l： 与l 关于直线l： 对称，则直线l 的方程是( )
1 2 2
A． B．
11x+2y−22=0 11x+ y+22=0
C． D．
16. 函数y＝x ln x ( )
A. 严格增函数 B. 在上是严格增函数，在(1 )上是严格减函数
，+∞
e
C. 严格减函数 D. 在上是严格减函数，在(1 )上是严格增函数
，+∞
e
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】
17．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分8分，第(2)小题满分6分）
已知各项均为正数的数列 满足 ， ．
{a } a =1 a =2a +3 (正整数n≥2)
n 1 n n−1
（1）求证：数列 是等比数列；
{a +3}
n
（2）求数列 的前n项和 ．
{a } S
n n
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18．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分）
如图，在五面体ABCDEF中， 平面ABCD，
， ，若AD=2，
AF=AB=BC=FE=1.
（1）求五面体ABCDEF的体积；
(2) 若 M为EC的中点，求证：平面CDE平面AMD.
19．（本题满分16分，本题共有2个小题，第(1)小题满分8分，第(2)小题满分8分）
已 知 双 曲 线
x2 y2
（ 其 中 ， ） 的 左 、 右 焦 点 分 别 为
： − =1 a>0 b>0
a2 b2
（其中 ）.
F (−c,0)、 F (c,0) c>0
1 2
√2
（1）若双曲线 过点（2，1）且一条渐近线方程为y= x；直
2
π
线l的倾斜角为 ，在y轴上的截距为−2．直线l与该双曲线 交于两
4
点A、B，M为线段AB的中点，求△MF F 的面积；
1 2
（2）以坐标原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线 在第
一 象 限 的 交 点 为 P ． 过 P 作 圆 的 切 线 ， 若 切 线 的 斜 率 为 −√3， 求 双 曲 线
的离心率．
20．（本题满分16分，本题共有2个问题，问题(1)满分8分，问题(2)满分8分）
概率统计在生产实践和科学实验中应用广泛．请解决下列两个问题．
（1）随着中小学“双减”政策的深入人心，体育教学和各项体育锻炼迎来时间充沛的春
天．某初中学校学生篮球队从开学第二周开始每周进行训练，第一次训练前共有6个篮球，
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其中3个是新球(即没有用过的球)，3个是旧球(即至少用过一次的球)．每次训练，都是
从中不放回任意取出2个篮球，训练结束后放回原处．设第一次训练时取到的新球个数为
，求随机变量 的分布和期望．
（2）由于手机用微波频率信号传递信息，那么长时间使用手机是否会增加得脑瘤的概率?
研究者针对这个问题，对脑瘤病人进行问卷调查，询问他们是否总是习惯在固定的一侧接
听电话?如果是，是哪边？结果有88人喜欢用固定的一侧接电话．其中脑瘤部位在左侧的
病人习惯固定在左侧接听电话的有14人，习惯固定在右侧接听电话的有28人; 脑瘤部位在
右侧的病人习惯固定在左侧接听电话的有19人，习惯固定在右侧接听电话的有27人.
根据上述信息写出下面这张2×2列联表中字母所表示的数据，并对患脑瘤在左右侧的
部位是否与习惯在该侧接听手机电话相关进行独立性检验．（显著性水平=0.05）
习惯固定在左侧接听电话 习惯固定在右侧接听电话 总计
脑瘤部位在左侧的 a b 42
病人
脑瘤部位在右侧的 c d 46
病人
总计 a+c b+d 88
参 考 公 式 及 数 据 ： n(ad−bc) 2 ， 其 中 ， ，
❑ 2= n=a+b+c+d
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
.
P(❑ 2≥3.841)≈0.05
21．（本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第
(3)小题满分8分）
已知函数 .（其中a为常数）
（1）若a=−2，求曲线 在点(2,f (2))处的切线方程；
（2）当a<0时，求函数y = 的最小值；
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（3）当0≤a<1时，试讨论函数y = 的零点个数，并说明理由.
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