文档内容
2022 学年第二学期学业质量调研
九年级数学
（测试时间：100分钟，满分：150分）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，
在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计
算的主要步骤．
3．考试中不能使用计算器．
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】
1. －6的绝对值是（ ）
A. -6 B. 6 C. - D.
【答案】B
【解析】
【分析】在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．
【详解】负数的绝对值等于它的相反数，所以-6的绝对值是6．
故选：B．
2. 下列运算中，计算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据积的乘方，完全平方公式，同底数幂的除法，合并同类项，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、 ，选项正确，符合题意；
B、 ，选项错误，不符合题意；
第1页/共27页
学科网（北京）股份有限公司C、 ，选项错误，不符合题意；
D、 ，选项错误，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查整式的运算．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．
3. 如果函数 的图像经过第一、三、四象限，那么m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一次函数图象的性质进行求解即可．
【详解】解：∵函数 的图像经过第一、三、四象限，
∴ ，
故选C．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，熟知对于一次函数 ，当 时，
一次函数 经过第一、二、三象限，当 时，一次函数 经过第一、三、四象
限， 当 时，一次函数 经过第一、二、四象限，当 时，一次函数
经过第二、三、四象限是解题的关键．
4. 如图是小明某一天测得的7次体温情况的折线统计图，下列信息不正确的是（ ）
A. 测得的最高体温为37.1℃
B. 前3次测得的体温在下降
第2页/共27页
学科网（北京）股份有限公司C. 这组数据的众数是36.8
D. 这组数据的中位数是36.6
【答案】D
【解析】
【分析】根据折线图判断最高体温以及上升下降情况，根据众数、中位数的性质判断即可．
【详解】解：A、由折线统计图可知，7次最高体温为37.1℃，A选项正确，不符合题意；
B、由折线统计图可知，前3次体温在下降，B选项正确，不符合题意；
C、由7组数据可知，众数为36.8，C选项正确，不符合题意；
D、根据中位数定义可知，中位数为36.8，D选项错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查折线统计图、众数以及中位数的定义，正确读懂统计图，正确理解众数、中位数定
义是解题关键，注意必须从大到小或者从小到大排列后再求中位数．
5. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 四边都相等的四边形是正方形 B. 一组邻边相等的矩形是正方形
C. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【答案】B
【解析】
【分析】根据正方形 的判定方法，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、四边都相等的四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意；
B、一组邻边相等的矩形是正方形，是真命题，符合题意；
C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意；
D、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，原命题是假命题，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查判断命题的真假．熟练掌握正方形的判定方法，是解题的关键．
6. 已知在 中， ， ，如果以A为圆心r为半径的 和以 为直径的 相
交，那么r的取值范围（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先利用勾股定理求得两圆的圆心距，然后利用两圆相交时两圆的圆心距和两圆的半径之间的关
系求解．
第3页/共27页
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：如图，由题意得： ，
，
由勾股定理得： ，
设 的半径为 ，
根据两圆相交得：
，
解答： ，
故选：C．
【点睛】本题考查两圆之间的位置关系．熟练掌握两圆之间的位置关系的判定方法，是解题的关键．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 的立方根是__________．
【答案】-2
【解析】
【分析】根据立方根的定义进行求解即可得．
【详解】解：∵（﹣2）3=﹣8，
∴﹣8的立方根是﹣2，
故答案为﹣2．
【点睛】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．
8. 已知 ，那么 ________．
【答案】
【解析】
第4页/共27页
学科网（北京）股份有限公司【分析】将 代入解析式，进行求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查求反比例函数的函数值．熟练掌握二次根式的除法法则，是解题的关键．
9. 不等式组 的解集是________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】分别求出两个不等式的解集，再根据夹逼原则求出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴不等式组的解集为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键．
10. 方程 的根是_______．
【答案】
【解析】
【分析】先把方程两边平方，使原方程化为整式方程 ，解此一元二次方程得到 ， ，
结合二次根式的性质，去掉增根，即可得到答案．
【详解】方程两边平方得：
第5页/共27页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵
∴
∴ 不符合题意，故舍去
∴原方程的根为
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程、二次根式 的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程、二次根式的
性质，从而完成求解．
11. 已知关于x的一元二次方程 没有实数根，那么m的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据方程没有实数根，得到 ，进行求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 没有实数根，
∴ ，
解得： ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与判别式的关系．熟练掌握 时，方程没有实数根，是解题的
关键．
12. 已知一个反比例函数图像经过点 ，则该反比例函数的图像在各自的象限内，函数值y随自变
量x的值逐渐增大而________．（填“增大”或“减小”）
【答案】增大
【解析】
【分析】求出反比例函数的解析式，即可得出结论．
第6页/共27页
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：设反比例函数的解析式为： ，
∵反比例函数图像经过点 ，
∴ ，
∴该反比例函数的图像在各自的象限内，函数值y随自变量x的值逐渐增大而增大；
故答案为：增大．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质．正确的求出反比例函数的解析式，是解题的关键．
13. 在六张卡片上分别写有6， ，3.1415， ，0， 六个数，从中随机抽取一张，卡片上的数
为无理数的概率是________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出无理数 的个数，再根据概率公式进行计算即可．
【详解】解： ，
∴6， ，3.1415， ，0， 六个数中 ， 是无理数，共2个；
随机抽取一张卡片，共有6种等可能的结果，其中卡片上的数为无理数，有2种等可能的结果，
∴ ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查概率．熟记特殊角的三角函数值，掌握无理数的定义，概率公式，是解题的关键．
14. 为了进一步了解某校九年级学生的体能情况，随机抽取50名学生进行1分钟跳绳次数测试，以测试数
据为样本，绘制成不完整的频数分布直方图（如图所示）（每组数据含最小值，不含最大值），若该校九
年级共有450名学生，那么一分钟跳绳次数在120～140次的人数是________．
第7页/共27页
学科网（北京）股份有限公司【答案】135
【解析】
【分析】利用 样本中一分钟跳绳次数在120～140次的频率，进行求解即可．
【详解】解： （人）；
故答案为：135．
【点睛】本题考查利用样本估计总数．熟练掌握频率等于频数除以总数，是解题 的关键．
15. 正八边形的每个外角为_________度．
【答案】45
【解析】
【分析】根据正多边形的每个外角相等且外角和等于360度列式计算即可．
【详解】解：∵正多边形
∴有8个相等的外角且外角和为360°
∴正八边形的每个外角为360°÷8=45°．
故答案为45．
【点睛】本题主要考查了正多边形的外角的性质和多边形的外角和定理，掌握正多边形的每个外角都相等
且外角和为360°是解答本题的关键．
16. 已知梯形 中， ， ，设 ， ，那么 可用 、 表示为
________．
【答案】 ##
第8页/共27页
学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】连接 ，利用三角形法则，进行求解即可．
【详解】解：连接 ，
则： ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查向量的线性计算．熟练掌握三角形法则，是解题的关键．
17. 如图， 和 都是等边三角形，点D是 的重心，那么 ________．
【答案】
【解析】
【分析】如图，延长 交 于 ，由题意得 ， ，则
，由 ，可得 ，计算求解即可．
第9页/共27页
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：如图，延长 交 于 ，
∵点D是 的重心，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ 和 都是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了重心，等边三角形的性质，正弦，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识
的熟练掌握与灵活运用．
18. 如图，已知在两个直角顶点重合的Rt△ABC和Rt△CDE中， ，
， ， ，将 绕着点C顺时针旋转，当点D恰好落在 边上
第10页/共27页
学科网（北京）股份有限公司时，联结 ，那么 ________．
【答案】
【解析】
【分析】利用含30度角的直角三角形的性质，分别求出 的长，证明 ，得到
，推出 ，在 中，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：∵ ， ， ， ，
∴ ， ， ，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
设 ，则： ，
∴ ，
在 中， ，即： ，
第11页/共27页
学科网（北京）股份有限公司解得： 或 （不合题意，舍去）；
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查含30度的直角三角形，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二
次方程．熟练掌握相关知识点，证明三角形相似，是解题的关键．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19. 计算：
【答案】5
【解析】
【分析】先进行正整数指数幂，零指数幂，分数指数幂以及分母有理化的计算，再进行加减运算．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算．解题的关键是掌握相关运算法则，正确的计算．
20. 解方程组：
【答案】 或
【解析】
【分析】利用代入消元法，将方程组转化为一元二次方程，进行求解即可．
【详解】解：由①得： ，
把 代入②得： ，
整理，得： ，
第12页/共27页
学科网（北京）股份有限公司解得： ；
当 时， ；
当 时， ；
∴方程组的解为： 或 ．
【点睛】本题考查解二元二次方程组．熟练掌握消元法以及因式分解法解一元二次方程，是解题的关键．
21. 如图，已知在 中， ， ， 经过 的顶点A、C，交 边于点D，
，点C是 的中点．
（1）求 的半径长；
（2）联结 ，求 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）连接 ，易得 ， 为等腰三角形，利用三线合一，以及垂
径定理，进行求解即可；
（2）过点 作 ，勾股定理求出 的长，进而得到 的长，等积法求出 的长，利用正
弦的定义，进行求解即可．
【小问1详解】
第13页/共27页
学科网（北京）股份有限公司解：连接 ，则： ，
∵点C是 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设圆的半径为 ，则： ，
∴ ，
在 中， ，即： ，
解得： ，
∴ 的半径长为 ．
【小问2详解】
解：由（1）知： ，
∴ ，
∴ ，
第14页/共27页
学科网（北京）股份有限公司过点 作 于点 ，
则 ，即： ，
∴ ，
由（1）知： ，
∴ ．
【点睛】本题考查弧，弦，圆心角的关系，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形．熟练掌
握等弧对等弦对等角，是解题的关键．
22. 在疫情防控常态化的背景下，某学校为了定期做好专用教室的消毒工作，计划购买甲、乙两种类型的
消毒剂，预计购进乙种类型消毒剂的数量y（瓶）与甲种类型消毒剂的数量x（瓶）之间的函数关系如图所
示．
（1）求y关于x的函数解析式（不必写出自变量x的取值范围）；
（2）该学校用2100元选购了甲种类型的消毒剂，用2400元选购了乙种类型的消毒剂，甲种消毒剂的单价
比乙种消毒剂的单价贵30元，求选购的甲、乙消毒剂的数量．
第15页/共27页
学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）
（2）选购的甲、乙消毒剂的数量分别为30瓶，60瓶
【解析】
【分析】（1）设出函数解析式，根据图象，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）设乙种消毒剂的单价为 元，甲种消毒剂的单价为 元，根据两种消毒剂的数量关系，列出分
式方程，进行求解即可．
【小问1详解】
解：设y关于x的函数解析式为 ，
由图象可知，图象过点 ，
∴ ，解得： ，
∴ ；
【小问2详解】
解：设乙种消毒剂的单价为 元，甲种消毒剂的单价为 元，由题意，得：
，
整理，得：
解得： （负值已舍掉），
经检验， 是原方程的解，
∴乙种消毒剂的单价为 元，甲种消毒剂的单价为 元，
∴甲消毒剂的数量为 瓶，乙消毒剂的数量为 瓶．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，分式方程的应用．解题的关键是正确的求出函数解析式，列出分
式方程．
第16页/共27页
学科网（北京）股份有限公司23. 已知：如图，在平行四边形 中，对角线 、 交于E，M是边 延长线上的一点，联结
，与边 交于F，与对角线 交于点G．
（1）求证： ；
（2）联结 ，如果 ，求证：平行四边形 是菱形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）证明 ，得到 ，证明 ，得到 ，进而
得到 ，即可得证；
（2）证明 ，推出 ，进而得到 ，即可得证．
【小问1详解】
证明：∵平行四边形 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
第17页/共27页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵平行四边形 中，对角线 、 交于E，
∴ ，
∴ ，即： ，
是
∴平行四边形 菱形．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，菱形的判定．
本题的综合性较强，解题的关键是证明三角形相似．
24. 如图，在直角坐标平面 中，直线 分别与x轴、y轴交于A、B两点，抛物线
第18页/共27页
学科网（北京）股份有限公司经过A、B两点，点D是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）抛物线与x轴的另一个交点为C，点 在抛物线对称轴左侧的图象上，将抛物线向上平移
m个单位（ ），使点M落在 内，求m的取值范围；
（3）对称轴与直线 交于点E，P是线段AB上的一个动点（P不与E重合），过P作y轴的平行线交原
抛物线于点Q，当 时，求点Q的坐标．
【答案】（1） ，
（2）
（3） 或
【解析】
【分析】（1）先求出A、B的坐标，再把A、B坐标代入抛物线解析式中求出抛物线解析式，再把抛物线
解析式化为顶点式求出点D的坐标即可；
（2）先求出点M的坐标，进而求出在 中，当 时，y的值即可得到答案；
（3）如图1所示，当点P在点E左侧时，设原抛物线对称轴与x轴交于点H，过点Q作 交
于T，证明四边形 是平行四边形，推出 ；再证明 ，推出此时不
第19页/共27页
学科网（北京）股份有限公司可能存在 （当点T在点D下方时，同样可证明不存在），则此时只有点T与点D重合，设
，则 ，求出 ，由平行四边形对角线中点坐标相同可知
，解方程即可；如图2所示，当点P在点E右侧时，由对称性可知当
时符合题意．
【小问1详解】
解：在 中，令 ，则 ，令 ，则 ，
∴ ，
把 代入 中得： ，
∴ ，
∴抛物线解析式为 ，
∴顶点D的坐标为 ；
【小问2详解】
解：在 中，当 时，则 ，
解得 或 ，
∵点 在抛物线对称轴左侧的图像上，
∴ ，
第20页/共27页
学科网（北京）股份有限公司在 中，当 时， ，
∵将抛物线向上平移m个单位（ ），使点M落在 内，
∴ ；
【小问3详解】
解：如图1所示，当点P在点E左侧时，设原抛物线对称轴与x轴交于点H，过点Q作 交 于
T，
∵ 轴，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴此时不可能存在 （当点T在点D下方时，同样可证明不存在），则此时只有点T与点D重合，
设 ，则 ，
第21页/共27页
学科网（北京）股份有限公司在 中，当 时， ，
∴ ，
由平行四边形对角线中点坐标相同可知 ，
解得 或 （舍去），
∴ ；
如图2所示，当点P在点E右侧时，由对称性可知当 时符合题意，
∴ ；
综上所述，点Q的坐标为 或 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，平行四边形的性质，二次函数图象的平移
等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
25. 如图，在 中， ， ， ．点D是边 上一动点（不与A、C重
第22页/共27页
学科网（北京）股份有限公司合），联结 ，过点C作 ，分别交 、 于点E、F．
（1）当 时，求 的正切值；
（2）设 ， ，求y关于x的函数解析式，并写出x的定义域；
（3）联结 并延长，与边 的延长线相交于点G，若 与 相似，求 的值．
【答案】（1）
（2）
（3） 或
【解析】
【分析】（1）根据同角的余角相等分析可得 ，然后根据正切的概念求解；
（2）过点F作 ， ，然后结合角的正切值及三角形的面积比分析求解；
（3）分情况讨论，通过证明 和利用点 四点共圆以及相似三角形的性质分析
求解．
【小问1详解】
解：∵ ， ，
∴ ，
第23页/共27页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
过点F作 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 的 边上的高为 ，则 的 边上的高为 ，
∴ ，
又∵ ， ， ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
第24页/共27页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，即 ；
【小问3详解】
如图：
①当 时， ,
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 四点共圆，且 为直径，
又∵ ，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，
即 ．
②当 时， ，
又∵ ，
∴ ，
过点F作 ，
第25页/共27页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
解得 （负值舍去），
∴ ，
综上， 的值为 或 ．
【点睛】本题考查余角的性质，锐角三角函数，相似三角形的性质，理解正切的概念，掌握相似三角形的
性质，准确添加辅助线是解题关键．
第26页/共27页
学科网（北京）股份有限公司第27页/共27页
学科网（北京）股份有限公司
