文档内容
绍兴市 2024 学年第一学期高中期末调测
高一数学
注意事项：
1.请将学校、班级、姓名分别填写在答卷纸相应位置上.本卷答案必须做在答卷相应位置上.
2.全卷满分150分，考试时间120分钟.
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B.
C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】由题意，根据补集的概念与运算直接得出结果.
【详解】由题意知， 或 .
故选：C
2. “ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意分别判断充分性，必要性从而可求解.
【详解】必要性：若 ，则 ， ，故必要性不满足；
充分性：若 ，则 ，故充分性满足；故“ ”是“ ”的充分不必要条件，故A正确.
故选：A.
3. 若扇形的面积为1cm2，周长为4cm，则扇形圆心角的弧度数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】设圆心角为 ，半径为 ，根据扇形面积公式及弧长公式得到方程组，解得即可.
【详解】解：设圆心角为 ，半径为 ，依题意可得 ，解得 ；
故选：B
4. 函数 的图象大致形状是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意，判断 的奇偶性，利用赋值法，结合选项即可求解.
【详解】 的定义域为 ，关于原点对称，
，所以 为奇函数，
奇函数的图象关于原点对称，故排除AB；
因 为，又 ，故排除C.
故选：D5. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同角的商数、平方关系可得 ，结合诱导公式和二倍角的余弦公式计算即可求解.
【详解】由 ，得 ，
又 ，所以 ，解得 .
所以 .
故选：C
6. 已知函数 ，则 （ ）
A. 在 上单调递增且值域为
B. 在 上单调递减且值域为
C. 在 上单调递增且值域为
D. 在 上单调递减且值域为
【答案】B
【解析】
【分析】利用指数函数，二次函数，复合函数的性质求解单调性和值域即可.
【详解】令 ，
则 视为由 和 构成的复合函数，
由二次函数性质得 在 上单调递减，在 上单调递增，由指数函数性质得 在 上单调递增，
由复合函数性质得 在 上单调递减，
而 ，故 ，故B正确.
故选：B
7. 已知 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角函数的性质和对数函数的单调性可知 ，利用对数的运算性质可得 ，即
可求解.
【详解】 ，
由 ，得 ，所以 ，
即 ，
所以 .
故选：D
8. 若关于x的不等式 在 上恒成立，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用换元法（令 ），将原不等式转化为 在 上恒成立，结合对勾函
数的单调性即可求解.
【详解】令 ，则 ，则原问题转化为不等式 在 上恒成立，
即不等式 在 上恒成立，
又 ，
所以 在 上恒成立，
设 ，则函数 在 上单调递增，
所以 ，得 ，
所以 .
故选：B
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是将原问题转化为 在 上恒成立问题.
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列函数中，为奇函数且在 上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据函数的性质逐项判断即可.
【详解】由 可得 为偶函数，所以A错误；
由 可得 为奇函数，函数 在 上单调递增，即函数 在 上单调递增，
所以B正确；由 可得 为奇函数，函数 在 上单调递增，所以函数
在 上单调递增，所以C正确；
函数 为非奇非偶函数且在 上单调递增，所以D错误.
故选：BC
10. 设函数 .若 ，且 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】作出 的图象，由题意，结合图形可知 且 ，化简计算即可求解.
【详解】作出函数 的图象，如图，
由图可知， ，
由 知， ，即 ，
即 ，得 ，故A错误，B正确；由 ，得 ，所以 故C正确，
所以 故D正确，.
故选：BCD.
11. 已知 ，则（ ）
A. 的最小正周期是
B. 在 上单调递减
C. 直线 是 图象的一条对称轴
D. 在 上的所有零点和为
【答案】ABC
【解析】
【分析】本题考查三角函数的性质.有函数周期的定义可得A正确；利用二倍角公式将函数 化简为
，利用“同增异减”判断复合函数 的单调性可得B正确；由
可得直线 是 图象的一条对称轴，C正确；令
，可得 ，求得在 上的所有零点分别为 ，
， ， ， ，所有零点之和为 .D错误.
【详解】对于A， ，所
以函数 的最小正周期为 ，A正确；
对于B， ，令 ， ，，当 时， ，根据复合函数单调性可得， 在
上单调递减，B正确；
对于C， ，所以直线
是 图象的一条对称轴，C正确；
对于D，令 ，可得 ，即 ，
化简得 ，可得 或 ，求得在 上的所有零点分别为 ，
， ， ， ，所有零点之和为 ，D正确.
故选：ABC.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. __________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据指数幂和对数的运算性质计算即可求解.
【详解】原式 .
故答案为：2
13. 命题“ ， ”的否定是__________.
【答案】 ，
【解析】
【分析】利用全称量词命题的否定直接写出结论.
【详解】命题“ ， ”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以所求的否定是： ， .
故答案为： ，
14. 已知函数 的图像关于点 对称，且在 上有且只有两条对称轴，
则 __________.
【答案】8
【解析】
【分析】由三角函数 的对称性求出 ，再由 有且只有两条对称轴求出
，最后结合三角函数的性质即可求出答案.
【详解】函数 关于直线 对称，
所以 ，所以 ，
要使函数在区间 上有且只有两条对称轴，所以 ,
因为 ，所以 ，所以 ，所以 或 或 ；
当 时， ，则 函数只有一个对称轴不合题意；
当 时， ，则 函数有且只有两条对称轴符合题意；
当 时， ，则 函数有三条对称轴不符合题意；
所以 .故答案为： .
四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步㵵）
15. 已知函数 .
（1）求 的定义域；
（2）证明： 在 上单调递减.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据分式的意义计算即可求解；
（2）利用定义法即可证明.
【小问1详解】
因为 ，解得 .
所以 的定义域为 .
【小问2详解】
， ，且 ，
则 .
因为 ，所以 ， ， ， ，
所以 ，即 ，所以 ，
故 在 上的单调递减.
16. 声强级 （单位：dB）由公式 给出，其中I为声强（单位： ），k，b为常数.研究发现正常人听觉能忍受的最高声强为 ，此时声强级为120dB；平时常人交谈时的声强约为
，此时声强级为60dB.
（1）求k，b的值；
（2）实验结果表明，噪声可以降低人的视力敏感性，当噪声声强级达到90dB至115dB时，视网膜中的视
杆细胞对光亮度的敏感性会下降，识别弱光反应的时间也会延长.某种型号的拖拉机声的声强约为
，若司机长时间在这种噪音环境下驾驶，试判断是否会降低他的视力敏感性？
【答案】（1）
（2）司机长时间在这种噪音环境下驾驶，会降低他的视力敏感性.
【解析】
【分析】（1）由题意建立方程组，解之即可求解；
（2）由（1），将 代入 即可下结论.
【小问1详解】
由题意知 ，解得 ，
所以 .
【小问2详解】
因为 ，将 代入，
得 ，
所以司机长时间在这种噪音环境下驾驶，会降低他的视力敏感性.
17. 已知函数 .
（1）求 的最小正周期和单调递增区间；
（2）若 在 上有两个零点，求m 的取值范围.【答案】（1）最小正周期为 ， ， .
（2） .
【解析】
【分析】（1）根据三角恒等变换的化简计算可得 ，利用 和整体代换法计算即
可求解；
（2）由（1），根据正弦函数的图象与性质可知 的单调性，进而 ，解之即可求解.
【小问1详解】
因为
所以 的最小正周期为 .
令 ， ，
得 ， ，
所以 的单调递增区间为 ， .
【小问2详解】
因为 ，
所以由（1）知 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
要使得 在 上有两个零点，
根据零点存在定理，得 ，即 ，解得 .
所以 .
18. 已知函数 ， ，其中 .
（1）判断 与 的奇偶性；
（2）证明： ；
（3）若对任意 ，存在 ，恒有 成立，求
a的取值范围.
【答案】（1） 为奇函数， 为偶函数.
（2）证明见解析 （3） .
【解析】
【分析】（1）利用函数得奇偶性的定义求解，
（2）利用题目的函数的解析式证明题目给的等式即可，
（3）由小问（2）中得到的结论，将题目中的不等式转化成 ，接着转化成
，进而求解结果.
【小问1详解】因为 与 的定义域均为 ，
且满足 ，
，
即 为奇函数， 为偶函数.
【小问2详解】
证明：
因为
【小问3详解】
由（2）知 ，
所以 .
当 时，不等式成立，
当 时，即 .又因为 ，
所以 ，
即为 .
因为 ， ，所以 ，
所以 ，
.
所以 ，
解得 ，
又因为 ，
所以 .
19. 已知集合 ， ，记 ， .
（1）求集合S，T；（2）对于只含有四个正整数 ， ， ， 的集合P，若 的最小值是k，则称集合P是“k
阶积差四元集”.
（ⅰ）若 ，求“1阶积差四元集”C，且满足 ；
（ⅱ）若 ，是否存在“2阶积差四元集”M，N，使得 ？若存在，求出所有集合M，N；若
不存在，说明理由.
【答案】（1） ， .
（2）存在 ， ，或 ， ， ，
，或 ， .
【解析】
【分析】（1）根据交集及并集得出集合；
（2）（ⅰ）先由 得出 ，再分类讨论求解；（ⅱ）先由 ，得出
和 一定是同奇数或同偶数，最后分类讨论得出集合.
【小问1详解】
因为 ，解得 ，又 ，所以 ，
所以 ， .
【小问2详解】
（ⅰ）因为 ，
若 ，则 ，不满足题意；
若 ，则 ，满足题意；
若 ，则 ，不满足题意；
若 ，则 ，不满足题意；若 ，则 ，不满足题意；
综上， .
（ⅱ）假设存在“2阶积差四元集”M，N，
因为 ，其必要条件是存在 ，所以 和 一定是同奇数或同偶数，
则
①若 ， ，则M，N均不合题意；
②若 ， ，其中m，n，p，q是奇数，
则 ，即 .
当 时，得 （舍），或 （舍）；
当 时，得 ，或 （舍），此时 ， ，
且M，N均符合 ；
当 时，得 ，或 （舍），此时 ， ，N不合题意；
当 时，得 ，或 （舍），此时 ， ，N不合题意；
③若 ， ，其中m，n，p，q是奇数，则 ，即 ，此
时m，n无解；
④若 ， ，其中m，n，p，q是奇数，则 ，即
当 时，得 （舍），或 （舍）；
当 时，得 ，或 （舍），此时 ， ，且M，N均符合
；当 时，得 ，或 （舍），此时 ， ，N不合题意；
当 时，得 （舍），或 （舍）；
所以此时 ， 或 ， ，
同理 ， 或 ， ，也满足题意.
综上，存在 ， ，或 ，
， ，或 ， .
