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优秀领先 飞翔梦想 成人成才
1．2 直角三角形的性质和判定(Ⅱ)
第 1 课时 勾股定理
(3)CD的长．
解析：(1)由于在△ABC中，∠ACB＝
1．经历探索及验证勾股定理的过程，体 90°，AB＝13cm，BC＝5cm，根据勾股定理即
会数形结合的思想；(重点) 可求出AC的长；(2)直接利用三角形的面积
2．掌握勾股定理，并应用它解决简单的 公式即可求出 S ；(3)根据 CD·AB＝
△ABC
计算题；(重点) BC·AC即可求出CD.
3．了解利用拼图验证勾股定理的方法． 解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB
(难点) ＝13cm，BC＝5cm，∴AC＝＝12(cm)；
(2)∵S ＝ CB·AC ＝ ×5×12 ＝
△ ABC
30(cm2)；
一、情境导入 (3)∵S ＝AC·BC＝CD·AB，∴CD＝
△ABC
＝(cm)．
方法总结：解答此类问题，一般是先利
用勾股定理求出第三边，然后利用两种方法
表示出同一个直角三角形的面积，根据面积
如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态 相等得出一个方程，再解这个方程即可．
优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它 【类型二】 分类讨论思想在勾股定理中
由若干个图形组成，而每个图形的基本元素 的应用
是三个正方形和一个直角三角形．各组图形 在△ABC中，AB＝15，AC＝13，
大小不一，但形状一致，结构奇巧．你能说说 BC边上的高AD＝12，试求△ABC周长．
其中的奥秘吗？ 解析：本题应分△ABC为锐角三角形和
二、合作探究 钝角三角形两种情况进行讨论．
探究点一：勾股定理 解：此题应分两种情况：
【类型一】 直接运用勾股定理 (1)当△ABC为锐角三角形时，如图①
所示，在 Rt△ABD 中，BD＝＝＝9，在
Rt△ACD中，CD＝＝＝5，∴BC＝5＋9＝
已知：如图，在△ABC中，∠ACB 14，∴△ABC的周长为15＋13＋14＝42；
＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，CD⊥AB于
D，求：
(2)当△ABC为钝角三角形时，如图②
(1)AC的长； 所示，在 Rt△ABD 中，BD＝＝＝9.在
(2)S ； Rt△ACD中，CD＝＝＝5，∴BC＝9－5＝4，
△ABC
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∴△ABC 的周长为：15＋13＋4＝32，
∴△ABC的周长为32或42.
方法总结：解题时要考虑全面，对于存
在的可能情况，可作出相应的图形，判断是
方法2：如图：
否符合题意．
【类型三】 勾股定理与等腰三角形的综 任 意 的 符 合 条 件 的 两 个 全 等 的
合 Rt△BEA和Rt△ACD拼成的，你能根据图
如图所示，已知△ABC中，∠B＝ 示再写一种证明勾股定理的方法吗？
22.5°，AB的垂直平分线分别交BC、AB于 解析：方法1：根据四边形ABFE的面积
D、F点，BD＝6，AE⊥BC于E，求AE的长． 等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和进行
解答；方法2：根据△ABC和Rt△ACD的面
积之和等于Rt△ABD和△BCD的面积之和
解答．
解：方法1：S ＝S ＝
正方形ACFD 四边形ABFE
解析：欲求AE，需与BD联系，连接 S ＋S ，即b2＝c2＋(b＋a)(b－a)，整理
△BAE △BFE
AD，由线段垂直平分线的性质可知AD＝ 得2b2＝c2＋b2－a2，∴a2＋b2＝c2；
BD.可证△ADE是等腰直角三角形，再利用 方法2：S ＝S ＋S ，S
四边形ABCD △ABC △ACD 四边形
勾股定理求AE的长． ＝S ＋S ，即S ＋S ＝S
ABCD △ABD △BCD △ABC △ACD △ABD
解：如图所示，连接AD.∵DF是线段 ＋S ，即b2＋ab＝c2＋a(b－a)，整理得b2
△BCD
AB的垂直平分线，∴AD＝BD＝6，∴∠BAD ＋ab＝c2＋a(b－a)，b2＋ab＝c2＋ab－a2，
＝∠B＝22.5°.∵∠ADE＝∠B＋∠BAD＝ ∴a2＋b2＝c2.
45°，AE⊥BC，∴∠DAE＝45°，∴AE＝DE.由 方法总结：证明勾股定理时，用几个全
勾股定理得AE2＋DE2＝AD2，∴2AE2＝(6)2， 等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后
∴AE＝＝6. 利用大图形的面积等于几个小图形的面积
方法总结：22.5°虽然不是特殊角，但它 和化简整理证明勾股定理．
是特殊角45°的一半，所以经常利用等腰三 三、板书设计
角形和外角进行转换．直角三角形中利用勾 1．勾股定理
股定理求边长是常用的方法． 如果直角三角形的两条直角边长分别
探究点二：勾股定理与图形的面积 为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.
探索与研究： 2．勾股定理的应用
方 法 1 ： 如 图 ： 3．勾股定理与图形的面积
课堂教学中，要注意调动学生的积极性．让
学生满怀激情地投入到学习中，提高课堂效
对任意的符合条件的直角三角形ABC 率．勾股定理的验证既是本节课的重点，也
绕其顶点A旋转90°得直角三角形AED，所 是本节课的难点，为了突破这一难点，可设
以∠BAE＝90°，且四边形ACFD是一个正 计拼图活动，并自制精巧的课件让学生从图
方形，它的面积和四边形ABFE面积相等， 形上感知，再层层设问，从面积(数)入手，师
而四边形 ABFE 的面积等于 Rt△BAE 和 生共同探究突破本节课的难点.
Rt△BFE的面积之和．根据图示写出证明勾
股定理的过程；
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