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第七周 最优化问题
专题简析：在日常生活和生产中，我们经常会遇到下面的问题：
完成一件事情，怎样合理安排才能做到用的时间最少，效果最佳。这
类问题在数学中称为统筹问题。我们还会遇到“费用最省”、“面
积最大”、“损耗最小”等等问题，这些问题往往可以从极端情况
去探讨它的最大（小）值，这类问题在数学中称为极值问题。以上的
问题实际上都是“最优化问题”。例1：用一只平底锅煎饼，每次只能放两个，剪一个饼需要 2分钟
（规定正反面各需要1分钟）。问煎3个饼至少需要多少分钟？
分析与解答：先将两个饼同时放入锅中一起煎，一分钟后两个
饼都熟了一面，这时可将一个取出，另一个翻过去，再放入第三个。
又煎了一分钟，将两面都熟的那个取出，把第三个翻过去，再将第一
个放入煎，再煎一分钟就会全部煎好。所以，煎3个饼至少需要3分
钟。
练 习 一
1，烤面包时，第一面需要2分钟，第二面只要烤1分钟，即烤一
片面包需要3分钟。小丽用来烤面包的架子，一次只能放两片面包，
她每天早上吃3片面包，至少要烤多少分钟？
2，用一只平底锅烙大饼，锅里只能同时放两个。烙熟大饼的一面
需要3分钟，现在要烙3个大饼，最少要用几分钟？
3，小华用平底锅烙饼，这只锅同时能放4个大饼，烙一个要用4
分钟（每面各需要2分钟）。可小华烙6个大饼只用了6分钟，他是
怎样烙的？例2：妈妈让小明给客人烧水沏茶。洗水壶需要1分钟，烧开水需要
15分钟，洗茶壶需要1分钟，洗茶杯需要1分钟。要让客人喝上茶，
最少需要多少分钟？
分析：经验表明，能同时做的事，尽量同时做，这样可以节省时
间。水壶不洗，不能烧开水，因此，洗水壶和烧开水不能同时进行。
而洗茶壶、洗茶杯和拿茶叶与烧开水可以同时进行。
根据以上的分析，可以这样安排：先洗水壶用1分钟，接着烧开
水用15分钟，同时洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶，水开了就沏茶，共需要
16分钟。
练 习 二
1，小虎早晨要完成这样几件事：烧一壶开水需要10分钟，把开
水灌进热水瓶需要2分钟，取奶需要5分钟，整理书包需要4分钟。
他完成这几件事最少需要多少分钟？
2，小强给客人沏茶，烧开水需要12分钟，洗茶杯要2分钟，买茶
叶要8分钟，放茶叶泡茶要1分钟。为了让客人早点喝上茶，你认为
最合理的安排，多少分钟就可以了？
3，在早晨起床后的1小时内，小欣要完成以下事情：叠被3分钟，
洗脸刷牙8分钟，读外语30分钟，吃早餐10分钟，收碗擦桌5分钟，
收听广播30分钟。最少需要多少分钟？例3：五（1）班赵明、孙勇、李佳三位同学同时到达学校卫生室，等候
校医治病。赵明打针需要5分钟，孙勇包纱布需要3分钟，李佳点眼
药水需要1分钟。卫生室只有一位校医，校医如何安排三位同学的
治病次序，才能使三位同学留在卫生室的时间总和最短？
分析：校医应该给治疗时间最短的先治病，治疗时间长的最后
治疗，才能使三位同学在卫生室的时间总和最短。这样，三位同学留
在卫生室的时间分别是：李佳1分钟，赵1+3=4分钟，赵明1+3+5=9
分钟。时间总和是1+4+9=14分钟。
练 习 三
1．甲、乙、丙三人分别拿着2个、3个、1个热水瓶同时到达开水供应
点打热水。热水龙头只有一个，怎样安排他们打水的次序，可以使他
们打热水所花的总时间最少？
2．甲、乙、丙三人到商场批发部洽谈业务，甲、乙、丙三人需要的时
间分别是10分钟、16分钟和8分钟。怎样安排，使3人所花的时间
最少？最少时间是多少？
3．甲、乙、丙、丁四人同时到一水龙头处用水，甲洗托把需要3分钟，
乙洗抹布需要2分钟，丙洗衣服需要10分钟，丁用桶注水需要1分
钟。怎样安排四人用水的次序，使他们所花的总时间最少？最少时
间是多少？例4：用18厘米长的铁丝围成各种长方形，要求长和宽的长度都是
整厘米数。围成的长方形的面积最大是多少？
分析与解答：根据题意，围成的长方形的一条长与一条宽的和
是18÷2=9厘米。显然，当长与宽的差越小，围成的长方形的面积越
大。又已知长和宽的长度都是整厘米数，因此，当长是5厘米，宽是
4厘米时，围成的长方形的面积最大：5×4=20平方厘米。
练 习 四
1，用长26厘米的铁丝围成各种长方形，要求长和宽的长度都是
整厘米数，围成的长方形的面积最大是多少？
2，一个长方形的周长是20分米，它的面积最大是多少？
3，一个长方形的面积是36平方厘米，并且长和宽的长度都是整
厘米数。这个长方形的周长最长是多少厘米？例5：用3 ~ 6这四个数字分别组成两个两位数，使这两个两位数
的乘积最大。
分析与解答：解决这个问题应考虑两点：（1）尽可能把大数放
在高位；（2）尽可能使两个数的差最小。所以应把6和5这两个数字
放在十位，4和3放在个位。根据“两个因数的差越小，积越大”的
规律，3应放在6的后面，4应放在5的后面。63×54=3402
练 习 五
1，用1 ~ 4这四个数字分别组成两个两位数，使这两个两位数
的乘积最大。
2，用5 ~ 8这四个数字分别组成两个两位数，使这两个两位数
的乘积最大。
3，用3 ~ 8这六个数字分别组成两个三位数，使这两个三位数
的乘积最大。
