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第二十三周 分解质因数
专题简析：
一个自然数的因数中，为质数的因数叫做这个数的质因数。
把一个合数，用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例如：24=2×2×2×3，75=3×5×5。
我们数学课本上介绍的分解质因数，是为求最大公约数和最小公
倍数服务的。其实，把一个数分解成质因数相乘的形式，能启发我们
寻找解答许多难题的突破口，从而顺利解题。例题1 把18个苹果平均分成若干份，每份大于1个，小于18个。
一共有多少种不同的分法？
分析 先把18分解质因数：18=2×3×3，可以看出：18的约数是
1、2、3、6、9、18，除去1和18，还有4个约数，所以，一共有4种不同的
分法。
练习一
1，有60个同学分成人数相等的小组去慰问解放军叔叔，每组不
少于6人，不多于15人。有哪几种分法？
2，195个同学排成长方形队伍做早操，行数和列数都大于1，共
有几种排法？
3，甲数比乙数大9，两个数的积是792，求甲、乙两数分别是多少。例题2 有168颗糖，平均分成若干份，每份不得少于10颗，也
不能多于50颗。共有多少种分法？
分析 先把168分解质因数，168=2×2×2×3×7，由于每份不得
少于10颗，也不能多于50颗，所以，每份有2×2×3=12颗，2×7=14
颗，3×7=21颗，2×2×2×3=24颗，2×3×7=42颗，共有5种分法。
练习二
1，把462名学生分成人数相等的若干组去参加课外活动小组，每
小组人数在10至25人之间，求每组的人数及分成的组数。
2，四个连续奇数的和是19305，这个四奇数分别是多少？
3，把1、2、3、4、5、6、7、8、9九张卡片分给甲、乙、丙三人，每人各
3张。甲说：“我的三个数的积是48。”乙说：“我的三个数的和是
16。”丙说：“我的三个数的积是63。”甲、乙、丙各拿了哪几张卡片？例题3 将下面八个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等。
2、5、14、24、27、55、56、99
分析 14=2×7 55=5×11
24=2×2×2×3 56=2×2×2×7
27=3×3×3 99=3×3×11
可以看出，这八个数中，共含有八个2，六个3，二个5，二个7和
二个11。因为要把这八个数分成两组，且积相等，所以，每组数中应含
有四个2，三个3，一个5，一个7和一个11。经排列为（5、99、24、14）
和（55、27、56、2）。
练习三
1，下面四张小纸片各盖住一个数字，如果这四个数字是连续的
偶数，请写出这个完整的算式。
□□×□□=1288
2，有三个自然数a、b、c，已知a×b=30，b×c=35，c×a=42，求
a×b×c的积是多少？
3，把40、45、63、65、78、99、105这八个数平分成两组，使两组四
个数的乘积相等。例题4 王老师带领一班同学去植树，学生恰好分成 4组。如果
王老师和学生每人植树一样多，那么他们一共植了539棵。这个班有
多少个学生？每人植树多少棵？
分析 根据每人植树棵数×人数=539 棵，把 539 分解质因数。
539=7×7×11，如果每人植7棵，这个班就有7×11－1=76人；如果每
人植树11棵，这个班共有7×7－1=48人。
练习四
1，3月12日是植树节，李老师带领同学们排成两路人数相等的
纵队去植树。已知李老师和同学们每人植树的棵数相等，一共植了
111棵树，求有多少个学生。
2，小青去看电影，他买的票的排数与座位号数的积是391，而且
排数比座位号数大6。小青买的电影票是几排几座？
3，把一篮苹果分给4人，使四人的苹果数一个比一个多2，且他
们的苹果个数之积是1920。这篮苹果共有多少个？例题5 下面的算式里，□里数字各不相同，求这四个数字的和。
□□×□□=1995
分析 要使两个两位数的积等于1995，那么，这两个数的积应和
1995 有相同的质因数。1995=3×5×7×19，可以有 35×57=1995 和
21×95=1995。因为要满足“数字各不相同”的条件，所以取
21×95=1995，这四个数字的和是：2＋1＋9＋5=17。
练习五
1，在下面算式的框内，各填入一个数字，使算式成立。
□□□×□=1995
2，有一个长方体，它的长、宽、高是三个连续的自然数，且体积是
39270立方厘米，求这个长方体的表面积。
3，有三个自然数a，b，c，已知a×b=35，b×c=55，a×c=77，求三
个数之积是多少？
