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第二十四周 分解质因数（二）
专题简析：
许多题目，特别是一些竞赛题，初看起来很玄妙，但它们都与乘
积有关，对于这类题目，我们可以用分解质因数的方法求解。因此，掌
握并灵活应用分解质因数的知识，能解答许多一般方法不能解答的与
积有关的应用题。例题1 三个质数的和是80，这三个数的积最大可以是多少？
分析 三个质数相加的和是偶数，必有一个质数是2。80－2=78，
剩下两个质数的和是78，而且要使它的积最大，只能是41和37。因此，
这三个质数是2、37和41。
最大积是2×37×41=3034
练习一
1，有三个质数，它们的乘积是1001，这三个质数各是多少？
2，张明是个初中生，有一次，他参加数学竞赛后，所得的名次、分
数和他的岁数三者的积是2910。求张明的成绩、名次和年龄分别是多
少？
3，写出若干个连续的自然数，使它们的积是15120。例题2 长方形的面积是375平方米，已知它的宽比长少10米，
长和宽的和是多少米？
分析 这道题如果用方程来解会比较麻烦，我们可以把375分解
质因数看一看。375=5×5×5×3，因为5×5比5×3正好多10，所以，
此长方形的长是5×5=25米，宽是5×3=15米，它们的和是40米。
练习二
1，237除以一个两位数，所得的余数是6，请写出适合于这个条
件的所有两位数。
2，有4个孩子，恰好一个比一个大1岁，4人的年龄积是3024，这
4个孩子中最大的几岁？
3，有一块长方形的场地，它是由319块1平方分米的水泥方砖铺
成的，求这块长方形场地的周长。例题3 某班同学在班主任老师带领下去种树，学生恰好平均分
成三组，如果师生每人种树一样多，一共种了1073棵，那么，平均每
人种了多少棵？
分析 根据每人种树棵数×参加人数=1073，把1073分解质因数：
1073=29×37，再根据学生恰好平均分成三组可知：参加种树的人数是
3的倍数多1，由于只有37比3的倍数多1，所以有37人，平均每人种
29棵。
练习三
1，一个长方体的长、宽、高是三个连续的自然数。已知这个长方
体的体积是9240立方厘米，那么，这个长方体的表面积是多少？
2，老师用216元买一种钢笔若干支，如果每支钢笔便宜1元钱，
那么他就能多买3支。每支钢笔原价多少元？
3，王老师带同学们擦玻璃，同学们恰好平均分成3组。如果师生
每人擦的块数同样多，一共擦111块，那么，平均每人擦了多少块？例题4 把155/186和221/187约分。
分析 这两个分数的分子和分母都比较大，不能一眼看出分子和
分母的公约数。我们可以先求出分子与分母的差，如果差是质数，就
直接用这个质数去约分；如果差是合数，就把这个合数分解质因数，
然后用其中的一个质数去约分。
（1）186－155=31，31是质数，用31约分得：155/186=5/6；
（2）221－187=34，34=2×17，用17约分得：221/187=13/11。
练习四
请用上面的方法把下面的几个分数约分。
46/69 143/117 247/323 161/253例题 5 小明用 2.16 元买了一种画片若干张，如果每张画片的
价钱便宜1分钱，那么他还能多买3张。小明买了多少张画片？
分析 根据题意可知：画片的单价×张数=216分，它们乘积的质
因数和216的质因数相同。我们可以先把216分解质因数，再写成两
数相乘的形式分析：216=2^3×3^3=8×27=9×24，显然，216分可以买
8分的画片27张，也可以买9分的画片24张。所以，小明买了24张画
片，符合题意。
练习五
1，求2310的约数中，除它本身以外最大的约数是多少？
2，自然数a乘以2376，所得的积正好是自然数b的平方，求a最
小是多少？
3，将750元奖金平均分给若干个获奖者，如果每人所得的钱数化
成角为单位的数就正好是得钱人数的 12倍，求获奖人数和每人分得
的钱数。
