2023年高考数学试卷（文）（全国甲卷）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按省份分类）2008-2025_2008-2025·（四川）数学高考真题

2023 年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷） 文科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写 在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. U =1,2,3,4,5 M =1,4,N =2,5 N ð M = 1. 设全集 ，集合 ，则 U U （ ） A 2,3,5 B. 1,3,4 C. 1,2,4,5 D. 2,3,4,5 . 【答案】A 【解析】 【分析】利用集合的交并补运算即可得解. 【详解】因为全集U ={1,2,3,4,5}，集合M ={1,4}，所以ð M =2,3,5 ， U 又N ={2,5}，所以N U ð U M ={2,3,5}， 故选：A. 5  1+i3 2. =（ ） 2+i2-i A. -1 B. 1 C. 1-i D. 1+i 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的四则运算求解即可. 5  1+i3 51-i 【详解】 = =1-i (2+i)(2-i) 5 故选：C. r r r r r r 3. 已知向量a =3,1,b=2,2，则cos a+b,a-b =（ ） 第1页 | 共22页1 17 5 2 5 A. B. C. D. 17 17 5 5 【答案】B 【解析】 r r r r r r r r 【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得 a+b , a-b , a+b × a-b ，从而利用平面向量 余弦的运算公式即可得解. r r r r r r 【详解】因为a =(3,1),b=(2,2)，所以a+b=5,3,a-b=1,-1， 则 a r +b r = 52 +32 = 34, a r -b r = 1+1= 2，  a r +b r ×  a r -b r =5´1+3´-1=2， r r r r a+b × a-b r r r r 2 17 所以cos a+b,a-b = r r r r = = . a+b a-b 34´ 2 17 故选：B. 4. 某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则 这2名学生来自不同年级的概率为（ ） 1 1 1 2 A. B. C. D. 6 3 2 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解. 【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有C2 =6件， 4 其中这2名学生来自不同年级的基本事件有C1C1 =4， 2 2 4 2 所以这2名学生来自不同年级的概率为 = . 6 3 故选：D. 5. 记S 为等差数列 a  的前n项和．若a +a =10,a a =45，则S =（ ） n n 2 6 4 8 5 A. 25 B. 22 C. 20 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列 a  的公差和首项，再根据前n项和公式即可解出； n 方法二：根据等差数列的性质求出等差数列 a  的公差，再根据前n项和公式的性质即可解出． n 第2页 | 共22页【详解】方法一：设等差数列 a  的公差为d，首项为a ，依题意可得， n 1 a +a =a +d +a +5d =10，即a +3d =5, 2 6 1 1 1 又a a =a +3da +7d=45，解得：d =1,a =2， 4 8 1 1 1 5´4 所以S =5a + ´d =5´2+10=20． 5 1 2 故选：C. 方法二：a +a =2a =10，a a =45，所以a =5，a =9， 2 6 4 4 8 4 8 a -a 从而d = 8 4 =1，于是a =a -d =5-1=4， 8-4 3 4 所以S =5a =20． 5 3 故选：C. 6. 执行下边的程序框图，则输出的B=（ ） A 21 B. 34 C. 55 D. 89 . 【答案】B 【解析】 【分析】根据程序框图模拟运行即可解出． 【详解】当k=1时，判断框条件满足，第一次执行循环体， A=1+2=3，B=3+2=5，k =1+1=2； 当k =2时，判断框条件满足，第二次执行循环体，A=3+5=8，B=8+5=13，k =2+1=3； 当k =3时，判断框条件满足，第三次执行循环体，A=8+13=21，B=21+13=34，k =3+1=4； 当k =4时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出B=34． 故选：B. 第3页 | 共22页x2 uuur uuuur 7. 设F,F 为椭圆C: + y2 =1的两个焦点，点P在C上，若PF ×PF =0，则 PF × PF =（ ） 1 2 5 1 2 1 2 A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出△PFF 的面积，即可解出； 1 2 方法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出． uuur uuuur 【详解】方法一：因为PF ×PF =0，所以ÐFPF =90o， 1 2 1 2 1 从而S =b2 tan45o =1= ´ PF × PF ，所以 PF × PF =2． VFP 1 F 2 2 1 2 1 2 故选：B. 方法二： uuur uuuur 因为PF ×PF =0，所以ÐFPF =90o，由椭圆方程可知，c2 =5-1=4Þc=2， 1 2 1 2 所以 PF 2 + PF 2 = FF 2 =42 =16，又 PF + PF =2a=2 5，平方得： 1 2 1 2 1 2 PF 2 + PF 2 +2 PF PF =16+2 PF PF =20，所以 PF × PF =2． 1 2 1 2 1 2 1 2 故选：B. ex æ eö 8. 曲线y = 在点ç 1, ÷处的切线方程为（ ） x+1 è 2ø e e e e e 3e A. y = x B. y = x C. y = x+ D. y = x+ 4 2 4 4 2 4 【答案】C 【解析】 【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方 程即可求解. ex æ eö e 【详解】设曲线y = 在点ç 1, ÷处的切线方程为y- =kx-1， x+1 è 2ø 2 ex 因为y = ， x+1 exx+1-ex xex 所以y¢ = = ， x+12 x+12 第4页 | 共22页e 所以k = y¢| = x=1 4 e e 所以y- = x-1 2 4 ex æ eö e e 所以曲线y = 在点ç 1, ÷处的切线方程为y = x+ . x+1 è 2ø 4 4 故选：C x2 y2 9. 已知双曲线 - =1(a>0,b>0)的离心率为 5，其中一条渐近线与圆(x-2)2 +(y-3)2 =1交于 a2 b2 A，B两点，则| AB|=（ ） 5 2 5 3 5 4 5 A. B. C. D. 5 5 5 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长. c2 a2 +b2 b2 【详解】由e= 5，则 = =1+ =5， a2 a2 a2 b 解得 =2， a 所以双曲线的一条渐近线不妨取y =2x， |2´2-3| 5 则圆心(2,3)到渐近线的距离d = = ， 22 +1 5 1 4 5 所以弦长| AB|=2 r2 -d2 =2 1- = . 5 5 故选：D 10. 在三棱锥P-ABC 中， ABC是边长为2的等边三角形，PA= PB =2,PC = 6，则该棱锥的体积 V 为（ ） A. 1 B. 3 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】证明AB^平面PEC ，分割三棱锥为共底面两个小三棱锥，其高之和为AB得解. 第5页 | 共22页【详解】取AB中点E，连接PE,CE ，如图， ABC是边长为2的等边三角形，PA= PB=2， QV \PE ^ AB,CE ^ AB，又PE,CE Ì平面PEC ，PE CE = E， I \AB^平面PEC ， 3 又PE =CE =2´ = 3，PC = 6， 2 故PC2 = PE2 +CE2，即PE ^CE ， 1 1 1 所以V =V +V = S ×AB= ´ ´ 3´ 3´2=1， B-PEC A-PEC 3 △PEC 3 2 故选：A æ 2 ö æ 3ö æ 6 ö 11. 已知函数 f x=e-(x-1)2 ．记a = f ç ÷,b= f ç ÷,c = f ç ÷，则（ ） 2 2 2 è ø è ø è ø A. b>c>a B. b>a>c C. c>b>a D. c>a>b 【答案】A 【解析】 【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可. 【详解】令g(x)=-(x-1)2，则g(x)开口向下，对称轴为x=1， 6 æ 3ö 6+ 3 4 因为 -1-ç1- ÷= - ，而( 6+ 3)2 -42 =9+6 2-16=6 2-7>0， ç ÷ 2 2 2 2 è ø 6 æ 3ö 6+ 3 4 6 3 所以 -1-ç1- ÷= - >0，即 -1>1- ç ÷ 2 è 2 ø 2 2 2 2 第6页 | 共22页6 3 由二次函数性质知g( )< g( )， 2 2 6 æ 2 ö 6+ 2 4 因为 -1-ç1- ÷= - ，而( 6+ 2)2 -42 =8+4 3-16=4 3-8=4( 3-2)<0， ç ÷ 2 2 2 2 è ø 6 2 6 2 即 -1<1- ，所以g( )> g( )， 2 2 2 2 2 6 3 综上，g( )< g( )< g( )， 2 2 2 又y=ex为增函数，故ac>a. 故选：A. æ pö p 12. 函数 y = f x 的图象由 y =cos ç 2x+ ÷的图象向左平移 个单位长度得到，则 y = f x 的图象与 è 6 ø 6 1 1 直线y = x- 的交点个数为（ ） 2 2 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 1 1 【分析】先利用三角函数平移的性质求得 f x=-sin2x，再作出 f x 与 y = x- 的部分大致图像， 2 2 1 1 考虑特殊点处 f x 与y = x- 的大小关系，从而精确图像，由此得解. 2 2 æ πö π 【详解】因为 y =cos ç 2x+ ÷向左平移 个单位所得函数为 è 6ø 6 é æ πö πù æ πö y =cos ê 2 ç x+ ÷ + ú =cos ç 2x+ ÷ =-sin2x，所以 f x=-sin2x， ë è 6ø 6û è 2ø 1 1 æ 1ö 而y = x- 显然过ç 0,- ÷与 1,0 两点， 2 2 è 2ø 1 1 作出 f x 与y = x- 的部分大致图像如下， 2 2 第7页 | 共22页3π 3π 7π 3π 3π 7π 1 1 考虑2x=- ,2x= ,2x= ，即x=- ,x= ,x= 处 f x 与y = x- 的大小关系， 2 2 2 4 4 4 2 2 3π æ 3πö æ 3πö 1 æ 3πö 1 3π+4 当x=- 时， f ç - ÷ =-sin ç - ÷ =-1，y = ´ ç - ÷ - =- <-1； 4 è 4 ø è 2 ø 2 è 4 ø 2 8 3π æ3πö 3π 1 3π 1 3π-4 当x = 时， f ç ÷ =-sin =1，y = ´ - = <1； 4 è 4 ø 2 2 4 2 8 7π æ7πö 7π 1 7π 1 7π-4 当x= 时， f ç ÷ =-sin =1，y = ´ - = >1； 4 è 4 ø 2 2 4 2 8 1 1 所以由图可知， f x 与y = x- 的交点个数为3. 2 2 故选：C. 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分. 13. 记S 为等比数列 a  的前n项和．若8S =7S ，则 a  的公比为________． n n 6 3 n 1 【答案】- 2 【解析】 【分析】先分析q ¹1，再由等比数列的前n项和公式和平方差公式化简即可求出公比 q . 【详解】若q =1， 则由8S =7S 得8×6a =7×3a ，则a =0，不合题意 6 3 1 1 1 . 所以q ¹1. 当q ¹1时，因为8S =7S ， 6 3 a  1-q6 a  1-q3 所以8× 1 =7× 1 ， 1-q 1-q 即8×  1-q6 =7×  1-q3 ，即8×  1+q3 1-q3 =7×  1-q3 ，即8×  1+q3 =7， 1 解得q =- . 2 第8页 | 共22页1 故答案为：- 2 æ πö 14. 若 f x=(x-1)2 +ax+sin ç x+ ÷为偶函数，则a =________． è 2ø 【答案】2 【解析】 【分析】根据常见函数的奇偶性直接求解即可. æ πö 【详解】 Q f x=x-12 +ax+sin ç x+ ÷ =x-12 +ax+cosx= x2 +(a-2)x+1+cosx， è 2ø 且函数为偶函数， \a-2=0，解得a=2， 故答案为：2 ì3x-2y£3, ï 15. 若x，y满足约束条件í-2x+3y£3，则z =3x+2y的最大值为________． ï x+ y³1, î 【答案】15 【解析】 【分析】由约束条件作出可行域，根据线性规划求最值即可. 【详解】作出可行域，如图， 3 z 由图可知，当目标函数y=- x+ 过点A时，z有最大值， 2 2 第9页 | 共22页ì-2x+3y =3 ìx=3 由í 可得í ，即A(3,3), î3x-2y =3 îy =3 所以z =3´3+2´3=15. max 故答案为：15 16. 在正方体ABCD-ABC D 中，AB =4,O为AC 的中点，若该正方体的棱与球O的球面有公共点， 1 1 1 1 1 则球O的半径的取值范围是________． 【答案】[2 2,2 3] 【解析】 【分析】当球是正方体的外接球时半径最大，当边长为4的正方形是球的大圆的内接正方形时半径达到最 小. 【详解】设球的半径为R. 当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包 含正方体，导致球面和棱没有交点， 正方体的外接球直径2R¢为体对角线长AC = 42 +42 +42 =4 3，即2R¢=4 3,R¢=2 3，故 1 R =2 3； max 分别取侧棱AA,BB,CC,DD 的中点M,H,G,N，显然四边形MNGH 是边长为4的正方形，且O为正 1 1 1 1 方形MNGH 的对角线交点， 连接MG，则MG =4 2，当球的一个大圆恰好是四边形MNGH 的外接圆，球的半径达到最小，即R 的最小值为2 2. 综上，RÎ[2 2,2 3]. 故答案为：[2 2,2 3] 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每 第10页 | 共22页个试题考生都必须作答.第 22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60分. b2 +c2 -a2 17. 记 ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知 =2． V cosA （1）求bc； acosB-bcosA b （2）若 - =1，求 ABC面积． V acosB+bcosA c 【答案】（1）1 3 （2） 4 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理即可解出； （2）由（1）可知，只需求出sin A 即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出． 【小问1详解】 b2 +c2 -a2 2bccosA 因为a2 =b2 +c2 -2bccosA，所以 = =2bc=2，解得：bc=1． cosA cosA 【小问2详解】 acosB-bcosA b sin AcosB-sinBcosA sinB 由正弦定理可得 - = - acosB+bcosA c sin AcosB+sinBcosA sinC sinA-B sinB sinA-B-sinB = - = =1， sinA+B sinA+B sinA+B 变形可得：sinA-B-sinA+B=sinB，即-2cosAsinB=sinB， 1 3 而03.841， 20´20´20´20 所以能有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异. sinx æ πö 20. 已知函数 f x=ax- ,xÎ ç 0, ÷． cos2x è 2ø （1）当a =1时，讨论 f x 的单调性； （2）若 f x+sinx<0，求a的取值范围． æ πö 【答案】（1） f x 在ç0, ÷上单调递减 è 2ø （2）a£0 【解析】 【分析】（1）代入a =1后，再对 f x 求导，同时利用三角函数的平方关系化简 f ¢x ，再利用换元法判 断得其分子与分母的正负情况，从而得解； （2）法一：构造函数gx= f x+sinx，从而得到gx<0，注意到g0=0，从而得到g¢0£0， 进而得到a£0，再分类讨论a=0与a<0两种情况即可得解； sinx 法二：先化简并判断得sinx- <0恒成立，再分类讨论a=0，a<0与a>0三种情况，利用零点存 cos2 x 在定理与隐零点的知识判断得a>0时不满足题意，从而得解. 【小问1详解】 第15页 | 共22页sinx æ πö 因为a =1，所以 f x= x- ,xÎ ç 0, ÷， cos2 x è 2ø cosxcos2 x-2cosx-sinxsinx cos2 x+2sin2 x 则 f¢x=1- =1- cos4 x cos3 x cos3 x-cos2 x-2  1-cos2 x  cos3 x+cos2 x-2 = = ， cos3 x cos3 x æ πö 令t =cosx，由于xÎ ç 0, ÷，所以t =cosxÎ0,1 ， è 2ø 所以cos3 x+cos2 x-2=t3 +t2 -2=t3-t2 +2t2 -2=t2t-1+2t+1t-1 =  t2 +2t+2 t-1 ， 因为t2 +2t+2=t+12 +1>0，t-1<0，cos3 x=t3 >0， cos3 x+cos2 x-2 æ πö 所以 f¢x= <0在ç0, ÷上恒成立， cos3 x è 2ø æ πö 所以 f x 在ç0, ÷上单调递减. è 2ø 【小问2详解】 法一： sinx æ πö 构建gx= f x+sinx=ax- +sinx ç 0< x< ÷， cos2 x è 2ø 1+sin2 x æ πö 则g¢x=a- +cosx ç 0< x< ÷， cos3 x è 2ø 若gx= f x+sinx<0，且g0= f 0+sin0=0， 则g¢0=a-1+1=a£0，解得a£0， sinx æ 1 ö 当a=0时，因为sinx- =sinx ç 1- ÷， cos2 x è cos2 xø æ πö 1 又xÎ ç 0, ÷，所以01， è 2ø cos2 x sinx 所以 f x+sinx=sinx- <0，满足题意； cos2 x π 当a<0时，由于00时，因为 f x+sinx=ax- +sinx=ax- ， cos2 x cos2 x sin3 x æ πö 3sin2 xcos2 x+2sin4 x 令gx=ax- ç 0< x< ÷，则g¢x=a- ， cos2 xè 2ø cos3 x 3sin20cos20+2sin40 注意到g¢0=a- =a>0， cos30 若"0< x< π ，g¢x>0，则gx 在 æ ç0, πö ÷上单调递增， 2 è 2ø 注意到g0=0，所以gx> g0=0，即 f x+sinx>0，不满足题意； π 若$0< x < ，g¢x <0，则g¢0g¢x <0， 0 2 0 0 æ πö æ πö 所以在ç0, ÷上最靠近x=0处必存在零点x Î ç 0, ÷，使得g¢x =0， è 2ø 1 è 2ø 1 第17页 | 共22页此时g¢x 在 0,x  上有g¢x>0，所以gx 在 0,x  上单调递增， 1 1 则在 0,x  上有gx> g0=0，即 f x+sinx>0，不满足题意； 1 综上：a£0. 【点睛】关键点睛：本题方法二第2小问讨论a>0这种情况的关键是，注意到g¢0>0，从而分类讨论 g¢x 在 æ ç0, πö ÷上的正负情况，得到总存在靠近x=0处的一个区间，使得g¢x>0，从而推得存在 è 2ø gx> g0=0，由此得解. 21. 已知直线x-2y+1=0与抛物线C:y2 =2px(p>0)交于A,B两点， AB =4 15． （1）求 p； uuuur uuur （2）设F 为C的焦点，M,N 为C上两点，且FM ×FN =0，求△MFN 面积的最小值． 【答案】（1） p =2 （2）12-8 2 【解析】 【分析】（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出 p； （2）设直线MN ：x=my+n，M x 1 ,y 1 ,Nx 2 ,y 2 ,利用M uuu F r × u N u F ur =0，找到m,n的关系，以及 V MNF 的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值． 【小问1详解】 设Ax ,y ,Bx ,y  ， A A B B ìx-2y+1=0 由í 可得，y2 -4py+2p=0，所以y + y =4p,y y =2p， îy2 =2px A B A B 所以 AB = x -x 2 +y - y 2 = 5 y - y = 5´ y + y 2 -4y y =4 15， A B A B A B A B A B 即2p2 - p-6=0，因为 p >0，解得： p =2． 【小问2详解】 因为F1,0 ，显然直线MN 的斜率不可能为零， 设直线MN ：x=my+n，M x ,y ,Nx ,y  ， 1 1 2 2 ìy2 =4x 由í 可得，y2 -4my-4n=0，所以，y + y =4m,y y =-4n， îx=my+n 1 2 1 2 第18页 | 共22页D=16m2 +16n>0Þm2 +n>0， 因为M uuu F r × u N u F ur =0，所以 x -1x -1+ y y =0， 1 2 1 2 即 my +n-1my +n-1+ y y =0， 1 2 1 2 亦即  m2 +1  y y +mn-1y + y +n-12 =0， 1 2 1 2 将y + y =4m,y y =-4n代入得， 1 2 1 2 4m2 =n2 -6n+1，4  m2 +n  =n-12 >0， 所以n¹1，且n2 -6n+1³0，解得n³3+2 2或n£3-2 2 ． n-1 设点F 到直线MN 的距离为d，所以d = ， 1+m2 MN = x -x 2 +y - y 2 = 1+m2 y - y = 1+m2 16m2 +16n 1 2 1 2 1 2 =2 1+m2 4  n2 -6n+1  +16n =2 1+m2 n-1， 1 1 n-1 所以 MNF 的面积S = ´ MN ´d = ´ ´2 1+m2 n-1 =n-12 ， V 2 2 1+m2 而n³3+2 2或n£3-2 2 ，所以，  2 当n=3-2 2时， V MNF 的面积S = 2-2 2 =12-8 2． min 【点睛】本题解题关键是根据向量的数量积为零找到m,n的关系，一是为了减元，二是通过相互的制约关 系找到各自的范围，为得到的三角形面积公式提供定义域支持，从而求出面积的最小值. （二）选考题：共 10分.请考生在第 22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题 计分. [选修 4-4：坐标系与参数方程]（10分） ìx=2+tcosa, 22. 已知点P2,1 ，直线l:í （t为参数），a为l的倾斜角，l与x轴正半轴、y轴正半轴分 î y =1+tsina 别交于A,B，且 PA × PB =4． （1）求a； （2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l的极坐标方程． 3π 【答案】（1） 4 第19页 | 共22页（2）rcosa+rsina-3=0 【解析】 【分析】（1）根据t的几何意义即可解出； （2）求出直线l的普通方程，再根据直角坐标和极坐标互化公式即可解出． 【小问1详解】 π 因为l与x轴，y轴正半轴交于A,B两点，所以 0 ． （1）求不等式 f x< x的解集； （2）若曲线y = f x 与x轴所围成的图形的面积为2，求a． æa ö 【答案】（1）ç ,3a ÷ è3 ø 2 6 （2） 3 【解析】 【分析】（1）分x£a和x>a讨论即可; （2）写出分段函数,画出草图,表达面积解方程即可. 【小问1详解】 第20页 | 共22页若x£a,则 f(x)=2a-2x-a< x, a a 即3x>a,解得x> ,即 < x£a, 3 3 若x>a,则 f(x)=2x-2a-a< x, 解得x<3a,即a < x <3a , æa ö 综上,不等式的解集为ç ,3a ÷. è3 ø 【小问2详解】 ì-2x+a,x£a f(x)=í . î2x-3a,x>a 画出 f(x)的草图,则 f(x)与坐标轴围成△ADO与 ABC V æa ö æ3a ö V ABC的高为a,D(0,a),A ç ,0 ÷ ,B ç ,0 ÷,所以| AB|=a è2 ø è 2 ø 1 1 3 2 6 所以S +S = OA ×a+ AB ×a = a2 =2,解得a= VOAD VABC 2 2 4 3 第21页 | 共22页第22页 | 共22页