高三数学
一、选择题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，
有且只有一项符 合题目要求.
1. 已知全集 𝑈 = R ，集合 𝐴 = {𝑥∣𝑥 ≥ 2 或 𝑥 ≤ −3} ， 𝐵 = {𝑥∣0 ≤ 𝑥 ≤ 4} ，则 Venn
图中阴影部分表示的集合为( )
A. [0,2) B. [0,3] C. (2,4] D. (3,4)
2. 若 𝑧 = 2+i,𝑧 = 3+𝑎i ，复数 𝑧 +𝑧 所对应的点在实轴上，则实数 𝑎 等于( )
1 2 1 2
A. -2 B. 2 C. -1 D. 1
3. 在一次篮球比赛中, 某支球队共进行了 8 场比赛, 得分分别为
29,30,38,25,37,40,42,32 , 那么这组数据 第 75 百分位数为( )
A. 38 B. 39 C. 40 D. 41
4. 已知向量 𝑎,𝑏 的夹角为 150∘ ,且 |𝑎| = 2,|𝑏| = 2 ,则 |𝑎− 3𝑏| = ( )
A. 1 B. 2− 3 C. 2+ 3 D. 2 7
5. 抛掷一枚质地均匀的硬币,一直到出现正面向上时或抛满 100 次时结束,设抛掷的
次数为 𝑋 ,则随机变量 𝑋 的数学期望 𝐸(𝑋) ( )
A. 大于 2 B. 小于 2 C. 等于 2 D. 与 2 的大小无法确定
6. 已知 𝑆 𝑛 为正项数列 {𝑎 𝑛 } 的前 𝑛 项和. 若 𝑆 𝑛 +2𝑎 𝑛 = 𝑆 𝑛+1 −1 ，且 𝑆 5 = 57 ，则 𝑎 4
= ( )
A. 7 B. 15 C. 8 D. 16
7. 𝑃 为等边三角形 𝐴BC 所在平面内的一点,向量 𝐴P = 𝑥𝐴B+𝑦𝐴C ,且 1 ≤ 𝑥 ≤ 2,1 ≤
𝑦 ≤ 2 . 设向量 𝐴P 与 𝐴B 的夹角为 𝛼 ,则 cos𝛼 的最大值为( )
6 6 5 7 2 7
A. B. C. D.
4 3 14 7
公众号：高考试卷君−𝑥(𝑥+3)2,(𝑥 ≤ 0)
8. 已知函数 𝑓(𝑥) = ， 𝑓(𝑥) = 𝑘 有 5 个不相等的实数根，从小
|ln𝑥|,(𝑥 > 0)
𝑥 𝑥 𝑥
到大依次为 𝑥 ′,𝑥 ′,𝑥 ′,𝑥 ， 𝑥 ,则 1 2 3 的取值范围为( )
1 2 3 4 5 𝑥 𝑥
4 5
A. (0,4) B. C. (−2,0) D. (−4,0)
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.
9. 若数列 {𝑎 𝑛 } 为等差数列,公差为 d ,其前 n 项和为 𝑆 𝑛 ,𝑆 9 > 𝑆 10 ,𝑆 10 = 𝑆 11 ,𝑆 11 < 𝑆 12 ,
则 ( )
A. 𝑎 < 0 B. 𝑑 < 0
10
C. 𝑆 > 𝑆 D. 使 𝑆 > 0 的最小正整数 n 的值为 22
15 7 𝑛
10. 已知函数 𝑓(𝑥) 对 ∀𝑥∈R 都有 𝑓(𝑥+2) = −𝑓(𝑥) ,且函数 𝑦 = 𝑓(𝑥−1) 的图像关于
点 (1,0) 对称,当 𝑥∈(0,1] 时, 𝑓(𝑥) = 2 𝑥−1 ，则下列结论正确的是( )
A. 𝑓(2022) = 0
B. 𝑓(𝑥) 在区间 (3,5) 上单调递减
C. 𝑓(𝑥) 是 R 上的偶函数
D. 函数 𝑦 = 𝑓(𝑥)−|lg𝑥| 有 6 个零点
11. 在长方形 ABCD 中, 𝐴B = 8,𝐴D = 6 ，点 E,F 分别为边 BC 和 CD 上两个动点(含
端点)，且 𝐸F = 5 ，设 𝐵E = 𝜆𝐵C,𝐷F = 𝜇𝐷C ,则 ( )
A. 1 ≤ 𝜆 ≤ 1, 3 ≤ 𝜇 ≤ 1 B. 𝜆+𝜇 为定值
6 8
C. 𝐴E⋅𝐴F 的最小值 50 D. |𝐴E+𝐴F| 的最大值为 265
三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分)
12. 已知公比不为 1 的等比数列 {𝑎 𝑛 } 中， 𝑎 1 = 1 且 3𝑎 1 、 2𝑎 2 、 𝑎 3 成等差数列，
则 𝑎 = _____(结果用幂表示)
2025
13. 将甲、乙等 8 人安排在 4 天值班，若每天安排两人，则甲、乙两人安排在同一
天的概率为_____. (结果用分数表示)
14. 若实数 𝑎,𝑏,𝑐 满足 𝑏+𝑐 = 3𝑎2−4𝑎+6,𝑏−𝑐 = 𝑎2−4𝑎+4 ，试确定 𝑎,𝑏,𝑐 大小关系
是_____. 四、解答题(本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤)
15. 已知锐角 𝐴BC 的内角 A,B,C ,所对的边分别为 a,b,c ,且 𝑏sin 𝐵+𝐶 = 𝑎sin𝐵 .
2
公众号：高考试卷君(1)求角 A ；
(2)若 𝑎 = 2 3 ，求 𝐴BC 的周长的取值范围.
16. 已知数列 {𝑎 𝑛 } 的前 n 项和为 𝑆 𝑛 ,数列 {𝑏 𝑛 } 为等差数列,且满足 𝑎 1 = −1,𝑎 2 +𝑏 3
= 0,𝑆 = 2𝑎 +𝑏 (𝑛∈N∗) .
𝑛 𝑛 𝑛
(1)求数列 {𝑎
𝑛
} 和 {𝑏
𝑛
} 的通项公式；
(2)若 𝑐 1 = 𝑏 1 ,𝑐 2𝑛 = 𝑐 2𝑛−1 +𝑏 1 ,𝑐 2𝑛+1 = 𝑐 2𝑛 +𝑎 𝑛 ，求数列 {𝑐 𝑛 } 的前 2𝑛 项和 𝑇 2𝑛 .
17. 已知椭圆 C 两个焦点 𝐹 (−2,0),𝐹 (2,0) ，过 𝐹 点且与坐标轴不平行的直线 𝑙 与
1 2 1
椭圆 C 相交于 M ， N 两点， ▵𝑀N𝐹 的周长等于 16.
2
(1)求椭圆 𝐶 的标准方程；
(2)若过点 𝑃(−8,0) 的直线与椭圆 C 交于两点 A,B ，设直线 𝐴𝐹 ,𝐵𝐹 的斜率分别为
1 1
𝑘 ,𝑘 . 求证: 𝑘 +𝑘 为定值. 18. 某企业对生产设备进行优化升级,升级后的设备控
1 2 1 2
制系统由 2𝑘−1(𝑘∈N∗) 个相同的元件组成,每个元件正常工作的概率均为 𝑝
(0 <𝑝 < 1) ,各元件之间相互独立. 当控制系统有不少于 𝑘 个元件正常工作时,设备
正常运行,否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为 𝑝 (例如: 𝑝 表示控制系统
𝑘 2
由 3 个元件组成时设备正常运行的概率， 𝑝 表示控制系统由 5 个元件组成时设备
3
正常运行的概率).
(1)若 𝑝 = 2 ，当 𝑘 = 2 时，求控制系统中正常工作的元件数 𝑋 的分布列和数学期望，
3
并求 𝑝 ；
3
(2)已知设备升级前，单位时间的产量为 𝑎(𝑎∈N∗) 件，每件产品的利润为1元，设
备升级后，在正常运行状态下， 单位时间的产量是原来的 4 倍,且出现了高端产品,
1
每件产品成为高端产品的概率为 ,每件高端产品的利润是 2 元. 记设备升级后单位
4
时间内的利润为 𝑌 (单位:元).
(i) 请用 𝑝 表示 𝐸(𝑌) ;
𝑘
(ii) 设备升级后, 已知该企业现有控制系统中有 5 个元件, 若增加 2 个元件, 则单位时
间内的利润是否提高.
19. 已知函数 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2−𝑥ln𝑥−𝑎(𝑎∈𝐑,𝑎 > 0) ,当 𝑥 ≥ 1 时, 𝑓(𝑥) ≥ 0 恒成立.
(1)求实数 a 的取值范围；
(2)若函数 𝑔(𝑥) = 𝑥2−1−ln𝑥 − 𝑓(𝑥) ，当实数 𝑎 取最小值时，求使得关于 x 的不等式 𝑔
2𝑥 𝑥
(𝑥) ≥ 𝑡 恒成立的最大整数 𝑡 ；
( 3 )已知 𝑛∈𝐍∗ ，证明: ln𝑛+ 1 1+ 1 ≤ 1+ 1 + 1 +⋯+ 1 .
2 𝑛 2 3 𝑛
公众号：高考试卷君参考答案
ACBDB BCD 9ACD 10AD 11AC 1232024 13 7 14 𝑏 ≥𝑐 >𝑎
15【小问 1 】
由已知得, 𝑏sin 𝜋 − 𝐴 = 𝑎sin𝐵 ,
2 2
则根据正弦定理得 sin𝐵cos 𝐴 = sin𝐴sin𝐵(sin𝐵 > 0) ,
2
𝐴 𝐴 𝐴 𝐴 1 𝐴
cos = 2sin cos ⇒sin = cos ≠ 0 ,
2 2 2 2 2 2
∵△𝐴BC 为锐角三角形, ∴𝐴 = 𝜋 .
3
【小问 2 】
由正弦定理得 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = 4 ,即 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = 4 ,
sin𝐴 sin𝐵 sin𝐶 sin𝐴 sin𝐵 sin 𝜋− 𝜋+𝐵
3
则 𝑏 = 4sin𝐵,𝑐 = 4sin 𝐵+ 𝜋 ,
3
𝜋
𝑎+𝑏+𝑐 = 2 3+4sin𝐵+4sin 𝐵+
3
𝜋 𝜋
= 2 3+4sin𝐵+4 sin𝐵cos +cos𝐵sin
3 3
𝜋
= 2 3+4 3sin 𝐵+ ,
6
𝜋
0 <𝐵 <
因为 2𝜋 2 𝜋 ,解得 𝜋 < 𝐵 < 𝜋 ,得 𝐵+ 𝜋 ∈ 𝜋 , 2𝜋 ,
0 < −𝐵 < 6 2 6 3 3
3 2
所以 sin 𝐵+ 𝜋 ∈ 3,1 ,得 𝑎+𝑏+𝑐∈(2 3+6,6 3] .
6 2
16 【小问 1 】
解: 令 𝑛 = 1,𝑆 = 2𝑎 +𝑏 = 𝑎 ,∴𝑏 = 1 ,
1 1 1 1 1
令 𝑛 = 2,𝑆 = 2𝑎 +𝑏 = 𝑎 +𝑎 ,又 𝑎 +𝑏 = 0 ,所以 𝑏 −𝑏 = −1 = −𝑑 ,即 𝑑 = 1 .
2 2 2 1 2 2 3 2 3
所以 𝑏 = 𝑛 ,
𝑛
,① 𝑆 = 2𝑎 +𝑛−1,(𝑛 ≥ 2) . ②
𝑛−1 𝑛−1
两式相减得 𝑎 = 2𝑎 −2𝑎 +1,∴𝑎 = 2𝑎 −1,∴ 𝑎𝑛−1 = 2,(𝑛 ≥ 2) ,
𝑛 𝑛 𝑛−1 𝑛 𝑛−1
𝑎𝑛−1 −1
公众号：高考试卷君即 {𝑎 𝑛 −1} 是公比为 2 的等比数列,且 𝑎 1 −1 = −2 ,
所以 𝑎 −1 = −2 𝑛,∴𝑎 = −2 𝑛 +1 .
𝑛 𝑛
【小问 2 】
解: 由 𝑐 = 𝑐 +𝑏 ,𝑐 = 𝑐 +𝑎 可得 𝑐 = 𝑐 −2 𝑛 +2
2𝑛 2𝑛−1 1 2𝑛+1 2𝑛 𝑛 2𝑛+1 2𝑛−1
𝑐 =𝑐 −2 𝑛−1 +2,𝑐 =𝑐 −2 𝑛−2 +2,⋯𝑐 =𝑐 −21 +2.
2𝑛−1 2𝑛−3 2𝑛−3 2𝑛−5 3 1
累加可得 𝑐 = −2 𝑛 +2𝑛+1 ,
2𝑛−1
𝑇 = (𝑐 +𝑐 +𝑐 +⋯+𝑐 )+(𝑐 +𝑐 +𝑐 +⋯+𝑐 )
2𝑛 1 3 5 2𝑛−1 2 4 6 2𝑛
= (𝑐 +𝑐 +𝑐 +⋯+𝑐 )+(𝑐 +1+𝑐 +1+𝑐 +1+⋯+𝑐 +1) = 2
1 3 5 2𝑛−1 1 3 5 2𝑛−1
(𝑐 +𝑐 +𝑐 +⋯+𝑐 )+𝑛 ,
1 3 5 2𝑛−1
而 𝑐 +𝑐 +𝑐 +⋯+𝑐 = −(21 +22 +⋯+2 𝑛 )+(3+5+⋯+2𝑛+1)
1 3 5 2𝑛−1
= 2−2 𝑛+1 +𝑛2 +2𝑛 ,
∴𝑇 = 4−2 𝑛+2 +2𝑛2 +5𝑛 .
2𝑛
17 【小问 1 】
𝑐 = 2 𝑎 = 4
由题意可得椭圆焦点在 x 轴上,且 4𝑎 = 16 ,解得 𝑏 = 2 3 ,
𝑎2 =𝑏2 +𝑐2
𝑐 = 2
所以椭圆的方程为
𝑥2
+
𝑦2
= 1 .
16 12
【小问 2 】
由题意可知直线斜率存在,
当直线斜率为 0 时,显然 ,所以 𝑘 +𝑘 = 0 ;
1 2
公众号：高考试卷君当直线斜率不为 0 时,设直线 𝐴B 方程为 𝑥 = 𝑚y−8 ,
𝑥 =𝑚y−8
联立方程 𝑥2 𝑦2 ,消去 x 可得 (3𝑚2 +4)𝑦2−48𝑚y+144 = 0 ,
+ = 1
16 12
则 Δ = (−48𝑚)2−4(3𝑚2 +4)×144 = 576𝑚2−2304 > 0⇒𝑚2 > 4 ,
设 𝐴(𝑥 ,𝑦 ),𝐵(𝑥 ,𝑦 ) ,则 𝑦 𝑦 = 144 ,𝑦 +𝑦 = 48𝑚 ,
1 1 2 2 1 2 3𝑚2+4 1 2 3𝑚2+4
所以 𝑘 +𝑘 = 𝑦 1 + 𝑦 2 = 𝑦 1 + 𝑦 2 = 𝑦 1 (𝑚𝑦 2 −6)+𝑦 2 (𝑚𝑦 1 −6) ,
1 2 𝑥 +2 𝑥 +2 𝑚𝑦 −6 𝑚𝑦 −6 (𝑚𝑦 −6)(𝑚𝑦 −6)
1 2 1 2 1 2
因为 𝑦 (𝑚𝑦 −6)+𝑦 (𝑚𝑦 −6) = 2𝑚𝑦 𝑦 −6(𝑦 +𝑦 ) = 2𝑚× 144 −6× 48𝑚 = 0 ,
1 2 2 1 1 2 1 2 3𝑚2+4 3𝑚2+4
所以 𝑘 +𝑘 = 0 .
1 2
综上, 𝑘 +𝑘 为定值 0 .
1 2
18【小问 1 】
因为 𝑘 = 2 ,所以控制系统中正常工作的元件个数 𝑋 的可能取值为0,1,2,3,
因为每个元件的工作相互独立,且正常工作的概率均为 𝑝 = 2 ,所以 𝑋∼𝐵 3, 2 ,
3 3
0 3
所以 𝑃(𝑋 = 0) = C0 2 1 = 1 ,
3 3 3 27
2 1 2 2
𝑃(𝑋 = 1) =C1 × × = ,
3 3 3 9
2 2 1 4
𝑃(𝑋 = 2) =C2 × × = ,
3 3 3 9
2 3 1 0 8
𝑃(𝑋 = 3) =C3 = ,
3 3 3 27
所以控制系统中正常工作的元件个数 𝑋 的分布列为
𝑋 0 1 2 3
𝑃 1 2 9 4 9 8
27 27
控制系统中正常工作的元件个数 𝑋 的数学期望为 𝐸(𝑋) = 3× 2 = 2 ,
3
【小问 2 】
(i) 升级改造后单位时间内产量的分布列为
产量 4𝑎 0
公众号：高考试卷君设备运行概率 𝑝 1−𝑝
𝑘 𝑘
所以升级改造后单位时间内产量的期望为 4𝑎𝑝 ,
𝑘
所以
产品类型 高端产品 一般产品
产量(单位:件) 𝑎𝑝 3𝑎𝑝
𝑘 𝑘
利润(单位:元) 2 1
设备升级后单位时间内的利润为 2𝑎𝑝 +3𝑎𝑝 = 5𝑎𝑝 ,即 𝐸(𝑌) = 5𝑎𝑝 .
𝑘 𝑘 𝑘 𝑘
(ii) 若增加 2 个元件,则第一类: 原系统中至少有 4 个元件正常工作,其概率为 𝑝(1) =
𝑝 −C3𝑝3(1−𝑝)2 ;
3 5
第二类:原系统中恰好有 3 个元件正常工作，新增 2 个元件中至少有 1 个正常工作，
其概率为 𝑝(2) = C3𝑝3(1−𝑝)2 ⋅[1−(1−𝑝)2] = C3𝑝4 ⋅(1−𝑝)2(2−𝑝) ;
5 5
第三类:原系统中恰好有 2 个元件正常工作，新增 2 个元件全部正常工作，
其概率为 𝑝(3) = C2𝑝2(1−𝑝)3 ⋅𝑝2 = C2𝑝4(1−𝑝)3 .
5 5
所以 𝑝 = 𝑝(1)+𝑝(2)+𝑝(3) = 𝑝 −C3𝑝3(1−𝑝)2 +C3𝑝4(1−𝑝)2(2−𝑝)+C2𝑝4(1−𝑝)3
4 3 5 5 5
= 𝑝 +C3𝑝3(1−𝑝)3(2𝑝−1) ,
3 5
则 𝑝 −𝑝 = C3𝑝3(1−𝑝)3(2𝑝−1) ,
4 3 5
所以当 1 < 𝑝 < 1 时, 𝑝 −𝑝 > 0 ,即增加 2 个元件设备正常工作的概率变大;
2 4 3
当 0 < 𝑝 ≤ 1 时, 𝑝 −𝑝 ≤ 0 ,即增加 2 个元件设备正常工作的概率没有变大.
2 4 3
又因为 𝐸(𝑌) = 5𝑎𝑝 ,
𝑘
所以当 1 < 𝑝 < 1 时,增加 2 个元件后利润提高; 当 0 < 𝑝 ≤ 1 时,增加 2 个元件后利
2 2
润没有提高.
19【小问 1 】
由题设 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2−𝑥ln𝑥−𝑎 ≥ 0 在 𝑥 ≥ 1 时恒成立,
等价于 𝑎x− 𝑎 −ln𝑥 ≥ 0 在 [1,+∞) 上恒成立,
𝑥
令 𝐹(𝑥) = 𝑎x− 𝑎 −ln𝑥,𝑥 ≥ 1 ,则 𝐹′(𝑥) = 𝑎+ 𝑎 − 1 = 𝑎𝑥2−𝑥+𝑎 ,
𝑥 𝑥2 𝑥 𝑥2
令 ℎ(𝑥) = 𝑎𝑥2−𝑥+𝑎 ,且 𝑎 > 0 ,
公众号：高考试卷君当 Δ = 1−4𝑎2 ≤ 0 ,即 𝑎 ≥ 1 时, ℎ(𝑥) ≥ 0 ,即 𝐹′(𝑥) ≥ 0 ,
2
此时 𝐹(𝑥) 在 [1,+∞) 上单调递增,则 𝐹(𝑥) ≥ 𝐹(1) = 0 ,满足题意;
当 Δ = 1−4𝑎2 > 0 ,即 0 < 𝑎 < 1 时, ℎ(1) = 2𝑎−1 < 0 ,对称轴 𝑥 = 1 > 1 ,
2 2𝑎
所以存在 𝑥 ∈(1,+∞) ,使 ℎ(𝑥 ) = 0 ,在 1 ≤ 𝑥 < 𝑥 时, ℎ(𝑥) < 0 ,即 𝐹′(𝑥) < 0 ,
1 1 1
所以 𝐹(𝑥) 在 (1,𝑥 ) 上单调递减,此时 𝐹(𝑥) ≤ 𝐹(1) = 0 ,不满足题意;
1
综上, 𝑎 的取值范围为 1 ,+∞ .
2
【小问 2 】
由 (1) 知 𝑎 = 1 ,所以 𝑔(𝑥) = 1− 1 ln𝑥 ,则 𝑔′(𝑥) = ln𝑥 + 1− 1 1 = 2𝑥+ln𝑥−1 ,
2 2𝑥 2𝑥2 2𝑥 𝑥 2𝑥2
令 𝑘(𝑥) = 2𝑥+ln𝑥−1 ,易知 𝑘(𝑥) 在 (0,+∞) 上单调递增,
由 𝑘 1 = −ln2 < 0,𝑘(1) = 1 > 0 知,存在 𝑥 ∈ 1 ,1 使 𝑘(𝑥 ) = 0 ,即 2𝑥 +ln𝑥 −1 =
2 0 2 0 0 0
0 ,
所以 𝑥∈(0,𝑥 ) 时, 𝑘(𝑥) < 0,𝑔′(𝑥) < 0 ,所以 𝑔(𝑥) 在 (0,𝑥 ) 上单调递减,
0 0
𝑥∈(𝑥 +∞) 时, 𝑘(𝑥) > 0,𝑔′(𝑥) > 0 ,所以 𝑔(𝑥) 在 (𝑥 ,+∞) 上单调递增,
0 0
则 𝑔(𝑥) 在 𝑥 = 𝑥 处取得极小值, 𝑔(𝑥 ) = 1− 1 ln𝑥 ,
0 0 0
2𝑥
0
又 2𝑥 +ln𝑥 −1 = 0 ,即 ln𝑥 = 1−2𝑥 ,
0 0 0 0
故 𝑔(𝑥 ) = 1− 1 (1−2𝑥 ) = 2− 1 −2𝑥 = 2− 1 +2𝑥 ,
0 2𝑥 0 2𝑥 0 2𝑥 0
0 0 0
由函数 𝑦 = 1 +2𝑥 在 𝑥 ∈ 1 ,1 上单调递增,
2𝑥 0 0 2
0
故 𝑔(𝑥 ) = 2− 1 +2𝑥 在 𝑥 ∈ 1 ,1 上单调递减,
0 2𝑥 0 0 2
0
所以 𝑔(𝑥 )∈ − 1 ,0 ,
0 2
又 𝑔(𝑥) ≥ 𝑡 恒成立,即 𝑡 ≤ 𝑔(𝑥) = 𝑔(𝑥 ) ,故 𝑡 ≤ − 1 ,
min 0 2
所以整数 t 的最大值为 -1 .
【小问 3 】
当 𝑛 = 1 时,右边 = 1 ,左边 = 1 ,左边 = 右边,原不等式成立,
公众号：高考试卷君下面考虑 𝑛 ≥ 2 时的情况,
由(1)知当 𝑎 = 1 时, 1 𝑥2−𝑥ln𝑥− 1 ≥ 0 ,即 𝑥− 1 −2ln𝑥 ≥ 0 在 𝑥 ≥ 1 上恒成立,
2 2 2 𝑥
即 2ln𝑥 ≤ 𝑥− 1 ,
𝑥
令 𝑥 = 𝑛 ,𝑛∈𝐍∗ 且 𝑛 ≥ 2 ,
𝑛−1
则 2ln 𝑛 ≤ 𝑛 − 𝑛−1 = 1 + 1 ,
𝑛−1 𝑛−1 𝑛 𝑛−1 𝑛
所以 2 ln 2 +ln 3 +⋯+ln 𝑛 ≤ 1+ 1 + 1 + 1 +⋯+ 1 + 1 + 1 + 1 ,
1 2 𝑛−1 2 2 3 𝑛−2 𝑛−1 𝑛−1 𝑛
则 2ln𝑛 ≤ 2 1+ 1 + 1 +⋯+ 1 −1− 1 ,故 2ln𝑛+1+ 1 ≤ 2 1+ 1 + 1 +⋯+ 1 ,
2 3 𝑛 𝑛 𝑛 2 3 𝑛
所以 ln𝑛+ 1 1+ 1 ≤ 1+ 1 + 1 +⋯+ 1 ,
2 𝑛 2 3 𝑛
综上,当 𝑛∈𝐍∗ 时, ln𝑛+ 1 1+ 1 ≤ 1+ 1 + 1 +⋯+ 1 成立.
2 𝑛 2 3 𝑛
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