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专题 20 综合计算
1．（2024·北京·高考）我国“天宫”空间站采用霍尔推进器控制姿态和修正轨道。图为某种霍尔推进器的
放电室（两个半径接近的同轴圆筒间的区域）的示意图。放电室的左、右两端分别为阳极和阴极，间距为
d。阴极发射电子，一部分电子进入放电室，另一部分未进入。稳定运行时，可视为放电室内有方向沿轴
向向右的匀强电场和匀强磁场，电场强度和磁感应强度大小分别为E和 ；还有方向沿半径向外的径向磁
场，大小处处相等。放电室内的大量电子可视为处于阳极附近，在垂直于轴线的平面绕轴线做半径为R的
匀速圆周运动（如截面图所示），可与左端注入的氙原子碰撞并使其电离。每个氙离子的质量为M、电荷
量为 ，初速度近似为零。氙离子经过电场加速，最终从放电室右端喷出，与阴极发射的未进入放电室的
电子刚好完全中和。
已知电子的质量为m、电荷量为 ；对于氙离子，仅考虑电场的作用。
（1）求氙离子在放电室内运动的加速度大小a；
（2）求径向磁场的磁感应强度大小 ；
（3）设被电离的氙原子数和进入放电室的电子数之比为常数k，单位时间内阴极发射的电子总数为n，求
此霍尔推进器获得的推力大小F。
2．（2020·北京·高考）如图甲所示，真空中有一长直细金属导线 ，与导线同轴放置一半径为 的金属
圆柱面。假设导线沿径向均匀射出速率相同的电子，已知电子质量为 ，电荷量为 。不考虑出射电子间
的相互作用。
(1)可以用以下两种实验方案测量出射电子的初速度：
a.在柱面和导线之间，只加恒定电压；
b.在柱面内，只加与 平行的匀强磁场。
当电压为 或磁感应强度为 时，刚好没有电子到达柱面。分别计算出射电子的初速度 。
(2)撤去柱面，沿柱面原位置放置一个弧长为 、长度为 的金属片，如图乙所示。在该金属片上检测到出
射电子形成的电流为 ，电子流对该金属片的压强为 。求单位长度导线单位时间内出射电子的总动能。3．（2020·北京·高考）某试验列车按照设定的直线运动模式，利用计算机控制制动装置，实现安全准确地
进站停车。制动装置包括电气制动和机械制动两部分。图1所示为该列车在进站停车过程中设定的加速度
大小 随速度 的变化曲线。
(1)求列车速度从 降至 经过的时间t及行进的距离x。（保留1位小数）
(2)有关列车电气制动，可以借助图2模型来理解。图中水平平行金属导轨处于竖直方向的匀强磁场中，回
路中的电阻阻值为 ，不计金属棒 及导轨的电阻。 沿导轨向右运动的过程，对应列车的电气制动
过程，可假设 棒运动的速度与列车的速度、棒的加速度与列车电气制动产生的加速度成正比。列车开
始制动时，其速度和电气制动产生的加速度大小对应图1中的 点。论证电气制动产生的加速度大小随列
车速度变化的关系，并在图1中画出图线。
(3)制动过程中，除机械制动和电气制动外，列车还会受到随车速减小而减小的空气阻力。分析说明列车从
减到 的过程中，在哪个速度附近所需机械制动最强?
(注意：解题过程中需要用到、但题目没有给出的物理量，要在解题时做必要的说明)
1．（2024·北京海淀·统考一模）在量子力学诞生以前，玻尔提出了原子结构假说，建构了原子模型：电子在库仑引力作 用下绕原子核做匀速圆周运动时，原子只能处于一系列不连续的能量状态中（定态），原
子在各定态所具有的能量值叫做能级，不同能级对应于电子的不同运行轨道。电荷量为+Q的点电荷A固
定在真空中，将一电荷量为-q的点电荷从无穷远移动到距A为r的过程中，库仑力做功 。已知电
子质量为m、元电荷为e、静电力常量为k、普朗克常量为h，规定无穷远处电势能为零。
（1）若已知电子运行在半径为r 的轨道上，请根据玻尔原子模型，求电子的动能E 及氢原子系统的能级
1 k1
E。
1
（2）为了计算玻尔原子模型的这些轨道半径，需要引入额外的假设，即量子化条件。物理学家索末菲提
出了“索末菲量子化条件”，它可以表述为：电子绕原子核（可看作静止）做圆周运动的轨道周长为电子
物质波波长（电子物质波波长λ与其动量p的关系为 ）的整数倍，倍数n即轨道量子数。
①请结合索末菲量子化条件，求氢原子轨道量子数为n的轨道半径r，及其所对应的能级En。
n
②玻尔的原子模型除了可以解释氢原子的光谱，还可以解释核外只有一个电子的一价氦离子（He+）的光
谱。已知氢原子基态的能级为-13.6eV，请计算为使处于基态的He+跃迁到激发态，入射光子所需的最小能
量。
2．（2024·北京东城·统考一模）如图所示，BC是光滑绝缘的 圆弧轨道，位于竖直平面内，轨道半径为
R，下端与水平绝缘轨道在B点平滑连接，整个轨道处在水平向左的匀强电场中。现有一质量为m、带正
电的小滑块（可视为质点）置于水平轨道上，已知滑块受到的静电力大小为 ，滑块与水平轨道间的动
摩擦因数为0.5，将滑块从水平轨道上与B点距离为 的A点由静止释放，滑动过程中滑块电荷量不
变，重力加速度用g表示，求：
（1）滑块到达B点时的速度 ；
（2）滑块在圆弧轨道上运动时，重力和电场力合力的大小和方向；
（3）滑块到达与圆心O等高的C点时，轨道对滑块的作用力大小 。
3．（2024·北京东城·统考一模）天文学家范·艾伦发现在地球大气层之外存在着一个辐射带包裹着地球，
这一辐射带被命名为“范·艾伦辐射带”，它是由于地球磁场捕获了大量带电粒子而形成，分为内层和外层，
如图1所示。由于地球两极附近区域磁场强，其他区域磁场弱，当宇宙射线进入地磁场后会使带电粒子沿
磁感线做螺线运动，遇到强磁场区域被反射回来，在地磁两极间来回“弹跳”，被“捕获”在地磁场中。
不过还是有一些宇宙射线粒子可以“溜进”地球大气层，它们和空气分子的碰撞产生的辐射就形成了绚丽
多彩的极光。大气中最主要的成分是氮和氧，波长557.7nm的绿色和630nm附近的红色极光主要由氧原子发出，波长高于640nm的红色极光由氮气分子发出。（计算时普朗克常量取 ，真空中光速
c取 ）
（1）a.求放出一个波长为630nm的红色光子时，氧原子的能量变化 （结果取1位有效数字）；
b.请说明带电粒子和空气分子碰撞产生辐射的过程中能量是如何转化的。
（2）图2所示的是质量为m、电荷量为q的带电粒子在具有轴对称性的非均匀磁场中做螺线运动的示意图，
若将粒子沿轴线方向的分速度用 表示，与之垂直的平面内的分速度用 表示。
a.某时刻带电粒子的 ， ，所在处磁感应强度大小为B，如果将粒子从此刻起在垂直平面内做圆
周运动的一个周期时间内，所到达区域的磁场按匀强磁场（方向沿轴线）进行估算，求粒子在垂直平面内
做圆周运动的半径r和在一个周期时间内沿轴线前进的距离（螺距）d；
b.实际上带电粒子的半径和螺距都会不断变化，已知带电粒子在从弱磁场区向强磁场区运动的同时，在垂
直平面内的速度 会变大，在此已知的基础上请用高中物理的知识解释为什么带电粒子在从弱磁场区向强
磁场区螺旋前进时，分速度 会减小到零，并继而沿反方向前进。
4．（2024·北京朝阳·统考一模）把不易测量的微观量转化为测量宏观量、易测量是一种常用的科学方法。
（1）用油膜法估算油酸分子的直径。已知1滴油酸酒精溶液中纯油酸的体积为V，其在水面上形成的单分
子油膜面积为S，求油酸分子的直径d。
（2）根据玻尔理论，可认为氢原子核外电子绕核做匀速圆周运动。处于基态的氢原子吸收频率为 的光子
恰好发生电离，已知处于基态的氢原子具有的电势能为E。电子的电荷量为e，质量为m，静电力常量为
k，普朗克常量为h。求基态氢原子的半径r。
（3）科研人员设计了一种简便的估算原子核直径的方案：取某种材料的薄板，薄板的面积为A，薄板内含
有N个该种材料的原子。用高能粒子垂直薄板表面轰击，已知入射薄板的粒子数为 ，从薄板另一侧射出
的粒子数为 ，设高能粒子在空间均匀分布，薄板材料中的原子核在高能粒子通道上没有重叠。求该种材
料原子核的直径D。
5．（2024·北京朝阳·统考一模）根据牛顿力学经典理论，只要物体的初始条件和受力情况确定，就可以推
知物体此后的运动情况。
情境1：如图1所示，空间存在水平方向的匀强磁场（垂直纸面向里），磁感应强度大小为B，在磁场中M点处有一质量为m、电荷量为 的带电粒子。已知重力加速度g。
（1）若使带电粒子获得某一水平向右的初速度，恰好做匀速直线运动，求该速度的大小 ；
（2）若在M点静止释放该粒子，其运动将比较复杂。为了研究该粒子的运动，可以应用运动的合成与分
解的方法，将它为零的初速度分解为大小相等的水平向左和水平向右的速度。求粒子运动过程中的最大速
率 。
情境2：质谱仪由离子室、加速电场、速度选择器和分离器四部分组成，如图2所示。已知速度选择器的
两极板间的电场强度为E，磁感应强度大小为 ，方向垂直纸面向里，分离器中磁感应强度大小为 ，方
向垂直纸面向外。某次实验离子室内充有某种带电离子，经加速电场加速后从速度选择器两极板间的中点
O平行于极板进入，部分离子通过小孔 后进入分离器的偏转磁场中。打在感光区域P点的离子，在速度
选择器中沿直线运动，测得P到 点的距离为 。不计离子的重力及离子间的相互作用，不计小孔O、
的孔径大小。
（1）当从O点入射的离子速度满足 时，在分离器的感光板上会形成有一定宽度的
感光区域。求该感光区域的宽度D；
（2）针对情形（1），为了提高该速度选择器的速度选择精度，请你提出可行的方案。
6．（2024·北京丰台·统考一模）（1）放射性元素的原子核发生衰变时，单位时间内发生衰变的原子核个
数 与现存的、未衰变的原子核个数N成正比： ，其中λ为比例常数，“-”表示原子核个数减
少。上述方程的解为： ，其中 为t＝0时刻未衰变的原子核个数，N为t时刻未衰变的原子核
个数。根据以上信息求元素的半衰期 。
（2）如图所示，足够长的平行光滑金属导轨水平放置，宽度为L，一端连接阻值为R的电阻。导轨所在空
间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B。质量为m的导体棒MN放在导轨上，长度恰好等于导轨间
距，与导轨接触良好。导轨和导体棒的电阻均可忽略不计。给导体棒一个向右的初速度 。
a.类比（1）中给出的物理量之间关系的信息，以导体棒速度为 时作为计时起点，推理得出导体棒的速度
v随时间t变化的函数关系；
b.某同学写出导体棒的速度v与时间t的函数关系后，发现导体棒需要无限长的时间才能停下，该同学得出结论：导体棒也需要运动无限长的距离才能停下。请论证该同学的说法是否正确。
7．（2024·北京丰台·统考一模）一种简易静电加速装置如图甲所示：在一个侧壁为圆锥中段，底盘水平放
置的塑料碗内壁贴上十字的镀铜锡条，外壁贴上十字的铝条，并将铝条反扣贴在内壁，形成如图所示的铜、
铝相间的电极。将由锡纸包裹的轻质小球静置于A点，镀铜锡条与高压恒压源正极相连、铝条与负极相连
后，小球开始沿逆时针方向被加速。如图乙所示，塑料碗侧壁截面与水平面夹角为θ，圆形底盘半径为
R，小球质量为m，恒压源电压始终为U。小球与锡条接触分离后，所带电荷量为 ，与铝条接触分离后，
所带电荷量为 。忽略各处阻力，不考虑小球与塑料碗、空气之间的电荷交换，仅考虑相邻电极间电场
对小球的加速作用，重力加速度为g。
（1）求小球第一次运动到B点时的速度大小 ；
（2）若小球加速几圈后，恰好开始沿碗壁向上运动，求小球加速的圈数 ；
（3）小球加速 （ ）圈后撤掉电场，此时轻微晃动塑料碗，使小球可以在距碗底一定高度的水平
面上以速度v做匀速圆周运动（整个过程小球没有离开塑料碗）。求晃动塑料碗时，碗对小球做的功W。
8．（2024·北京石景山·统考一模）某同学在学校游泳池训练，他在水中发现岸上所有景物都出现在一个倒
立的圆锥里。请你结合所学知识说明其中的原理。
9．（2024·北京顺义·统考一模）新能源汽车时代一项重要的技术是动能回收系统。其原理如图甲所示，当
放开加速踏板时，汽车由于惯性会继续前行，此时回收系统会让机械组拖拽发电机线圈，切割磁感线产生
感应电流，当逆变器输入电压高于U 时，电机可以为电池充电，当电压低于U 时，动能回收系统关闭。
C C
将质量为M的电动汽车的动能回收系统简化为如图乙所示的理想模型，水平平行宽为L的金属导轨处于竖
直方向的磁感应强度为B的匀强磁场中，金属板MN的质量等效为汽车的质量，金属棒在导轨上运动的速
度等效为汽车速度，将动能回收系统的电阻等效为一外部电阻R。求：
（1）当逆变器输入电压等于U 时，汽车的速度v ；
C C
（2）电动汽车以速度v（v>v ）开始制动时，由动能回收系统产生的加速度的大小a；
C
（3）电动汽车以n倍（n大于1）v 行驶时，突发情况采取紧急制动，动能回收系统开启时传统机械制动
C全程介入，传统机械制动阻力与车速成正比 。速度降为v 时，动能回收系统关闭，传统机械制阻力
C
变为车重的μ倍，重力加速度为g。若动能的回收率为 ，则
a．制动过程中被回收的动能 ；
b．制动过程电动汽车的总位移x。
10．（2024·北京门头沟·统考一模）微元法是通过把物理量或物理过程进行分割再分析的方法，也是物理
中解决问题常用的方法。
(1)如图1所示，一个行星绕太阳沿椭圆轨道运动，在近日点a和远日点b时离太阳中心的距离分别为 和
，近日点速度和远日点速度分别为 和 。分别在a点和b点附近取极短的时间间隔 ，请根据开普
勒第二定律（对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等）求 ；（提示：扇
形面积 半径×弧长）
(2)如图2所示，轻质弹簧一端固定，另一端与质量为m的物块（可视为质点）相连放置在水平面上。当物
块在A位置时弹簧处于原长，在外力F作用下物块移动到B位置（没有超出弹簧弹性限度）。已知弹簧劲
度系数为k，AB间长度为l，弹簧对物块的拉力用 表示。取A点所在位置为坐标原点，水平向右为正方
向。物块从A运动到B过程中，通过推导画出 与位移x的示意图，并借助图像求弹簧对物块拉力做的功
。(3)如图3所示，当长为L的导体棒MN绕其一端M在垂直于匀强磁场（磁感应强度为B）的平面内转动时，
电子受到沿着导体棒方向的洛伦兹力 和垂直于导体棒方向的洛伦兹力 ，在任一过程中 和 做功之和
始终为零。设导体棒内有一电荷量为e的电子，导体棒以角速度ω顺时针匀速转动，求该电子距离转轴M
点为x时所受洛伦兹力 大小的表达式，并借助图像求该电子从导体棒N端移到M端过程中 做的功 。
11．（2024·北京延庆·统考一模）利用潮水涨落产生的水位差所具有的势能发电叫潮汐发电，是目前海洋
能利用中最主要的一种。
陆地和海湾，中间为水坝，其下有通道，无论涨潮或落潮，水流经过通道均可带动发电机发电。一昼夜中
两次涨、落潮。涨潮时，堵住通道，潮水涨至最高水位时打开通道，进水发电；当海湾水位涨至最高时，
堵住通道；落潮至最低水位时，打开通道放水发电。以下是某小型双向型潮汐发电站的一组数据，据此回
答下列问题（取海水的密度为1.0×103kg/m3，g取10m/s2）：
水坝高度H 15m 海湾面积S m2
涨潮海湾最高水位h 10m 发电机日平均发电量E 4.8×104kW·h
1
退潮海湾最低水位h 6m 水轮发电机总效率η 10%
2
（1）若采用U=200kV的直流电向某地区输电，要求输电线上损耗的功率ΔP不高于输送功率的5%，求输
电线总电阻的最大值r；
（2）试估算该小型发电站所圈占的海湾面积S的大小。
12．（2024·北京海淀·统考二模）热气球的飞行原理是通过改变热气球内气体的温度以改变热气球内气体
的质量，从而控制热气球的升降，可认为热气球在空中运动过程中体积及形状保持不变。设热气球在体积、
形状不变的条件下受到的空气阻力f=kv2，其方向与热气球相对空气的速度v相反，k为已知常量。已知热
气球的质量（含载重及热气球内的热空气）为m时，可悬浮在无风的空中，重力加速度为g。不考虑热气
球所处环境中空气密度的变化。（1）若热气球初始时悬浮在无风的空中，现将热气球的质量调整为0.9m（忽略调整时间），设向上为正，
请在图中定性画出此后热气球的速度v随时间t变化的图像。
（2）若热气球初始时处在速度为v 的水平气流中，且相对气流静止。将热气球质量调整为1.1m（忽略调
0
整时间），热气球下降距离h时趋近平衡（可视为达到平衡状态）。
①求热气球平衡时的速率v 及下降距离h过程中空气对热气球做的功W。
1
②热气球达到平衡速率v 后，若水平气流速度突然变为0，经过时间t热气球再次达到平衡状态，求该过程
1
中空气对热气球的冲量大小I。
13．（2024·北京丰台·统考二模）“地磁爆”是由太阳风暴引起的：强烈的太阳风暴将大量的带电粒子
（质子和电子）以极大的初速度向外抛射，到达地球后影响了地球磁场的分布，对地球的电力、通信产生
影响。
（1）已知质量为m的质点在太阳的引力范围内所具有的势能为 ，r为质点到太阳中心的距离。
已知 ，太阳质量 ，太阳半径 ，太阳到地球的距离
，太阳风初速度 ，质子的质量 ，质子的电荷量
.忽略地球对粒子的引力作用。
a.估算质子到达地球附近时的速度的大小v（结果保留一位有效数字）；
b.地球周围存在磁场，赤道上空磁感应强度的方向平行于经线向北。假设在赤道上空某处存在厚度约为
的匀强磁场区域，磁感应强度的大小约为 ，太阳风暴所产生的部分带电粒子垂直于赤道表面
射向地球，通过计算判断其中的质子能否穿过该磁场区域。
（2）考虑地球引力的作用，上述匀强磁场区域内还存在重力场，重力场可认为是均匀的。该区域内有大
量的等离子体（质子和电子），故被称为等离子层。在磁场和重力场的共同作用下，等离子层中电子和质
子的无规则热运动宏观上表现为赤道平面内绕地心的定向运动和其他运动的叠加，形成可观测的电流。已
知该区域内磁场的磁感应强度为B，重力加速度为g，不计带电粒子间的相互作用，质子质量为m，电量为
q。请利用运动的合成和分解，求质子绕地心定向运动的速度。
（提示：为简化模型，假设带电粒子无规则运动的速度方向仅局限在赤道平面内，如图所示）14．（2024·北京东城·统考二模）光压是指光照射到物体上对物体表面产生的压力。早在17世纪初，开普
勒就曾用太阳光的压力解释彗星的尾巴为什么背着太阳。其实彗尾一般有两条，一条是由等离子体在太阳
风作用下形成的离子尾，另一条是不带电的尘埃在太阳光的光压力作用下形成的尘埃尾。当尘埃被从彗星
释放出来，由于太阳光产生的光压把它们沿径向往外推开，它就不再继续沿着彗星轨道运动。如图所示为
彗星掠过太阳所发生的状况，弧线表示彗星的轨迹，彗星当前在b位置，在a位置上释放出的尘埃已被太
阳光压沿虚线路径推出（其它位置释放的尘埃路径未画出），形成了如图所示的尘埃尾。（已知彗星质量
远远小于太阳质量）
（1）请说明在图中a位置释放的尘埃的速度方向；若能够沿着路径①（一条直线）运动，请说明尘埃所受
合外力的情况。
（2）在一定条件下（例如强光照射下）小颗粒所受的光压可以与所受万有引力同数量级。假设尘埃粒子
是半径为R的小球，密度为ρ，它对太阳光全部吸收。已知太阳的质量为M，辐射光的功率为P，所发出
0
太阳光的平均波长为λ，普朗克常量用h表示，万有引力常量用G表示，真空中光速用c表示。（光子的
动量 ）
a．请求出能够沿路径①运动的尘埃粒子的半径R；
0
b．请分析并说明半径满足什么条件的尘埃粒子会沿路径②运动。
15．（2024·北京朝阳·统考二模）万有引力定律和库仑定律的相似，使得解决相关问题的方法可以相互借
鉴。
（1）与静电力做功特点类似，万有引力做功同样与路径无关。已知某卫星绕地球的轨道为一椭圆，地球
位于椭圆的一个焦点上，如图1所示。已知地球和卫星的质量分别为M、m，卫星在远地点A时与地心距
离为r，在近地点B时与地心距离为r。取无穷远处引力势能为零，质量为 、 的两物体相距为r时，
1 2引力势能表达式为 ，其中G为引力常量。
a.推导证明卫星绕地球运动的过程中动能与引力势能之和守恒；
b.计算卫星从A运动到B的过程中增加的动能 。
（2）如图2所示，直线上有一固定点电荷A，带电量为+Q，另一质量为m、带电量为-q的点电荷B由直
线上某点静止释放，仅考虑两电荷间的库仑力，当电荷B运动至距离电荷A为L时，其速度大小恰等于B
绕A做半径为L的匀速圆周运动时的速度大小。取无穷远电势为零，两点电荷 、 相距为r时的电势
能表达式为 ，其中k为静电力常量。
a.求点电荷B由静止释放时与点电荷A的距离 ；
b.已知在万有引力作用下人造卫星绕地球以椭圆轨道或圆周轨道运行时，若椭圆轨道半长轴与某一圆周轨
道半径相等，则其在两轨道上运行的周期相等。请据此估算点电荷B从该位置由静止释放运动到点电荷A
位置的时间t。
16．（2024·北京人大附中·校考模拟）某兴趣小组设计了一种火箭落停装置，简化原理如图所示，它由两
根竖直导轨、承载火箭装置、简化为与火箭绝缘的导电杆MN和装置A组成，并形成闭合回路，装置A能
自动调节其输出电压确保回路电流I恒定，方向如图所示，导轨长度远大于导轨间距，不论导电杆运动到
什么位置，电流I在导电杆以上空间产生的磁场近似为零，在导电杆所在处产生的磁场近似为匀强磁场，
大小B=kI（其中k为常量），方向垂直导轨平面向里；在导电杆以下的两导轨间产生的磁场近似为匀强磁
1
场，大小B=2kI，方向与B 相同，火箭无动力下降到导轨顶端时与导电杆粘接，以速度v 进入导轨，到达
2 1 0
绝缘停靠平台时速度恰好为零，完成火箭落停，已知火箭与导电杆的总质量为M，导轨间距 ，导
电杆电阻为R，导电杆与导轨保持良好接触滑行，不计空气阻力和摩擦力，不计导轨电阻和装置A的内阻，
在火箭落停过程中，求：
（1）导电杆所受安培力的大小F和运动的距离L；
（2）回路感应电动势E与运动时间t的关系；
（3）装置A输出电压U与运动时间t的关系及输出的能量W。
