文档文本内容
2025 学年第二学期台州十校联盟期中联考
高二年级数学学科试题
考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 临海台州府城墙有四座城门（兴善门、镇宁门、靖越门、朝天门），现要求游客参观时从一个门进，从
另一个门出，则不同的走法总数是（ ）
A. 16个 B. 12个 C. 8个 D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据分步计数原理可求不同的走法种数.
【详解】由题设，入门有 种选法，出的门有 种选法，
故不同的走法种数为 .
2. 二项式 的展开式中，含 的项的系数是（ ）
A. B. 80 C. D. 40
【答案】A
【解析】
【详解】 ，
令 ，则 ，故含 的项的系数是 .
3. 已知随机变量 ，则 （ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】C
【解析】
【详解】因为随机变量 ，
则 .
4. 为助力校园文创节，文创社准备了60枚文创徽章（红色款）、20枚文创书签（白色款），从其中随机
选取10件文创产品作为活动奖品，则其中恰有6枚徽章的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】总文创产品数： ，总选法： ，
符合条件的选法：选 6 枚徽章 ，选 4 枚书签 ，即 ，
所以概率： ．
5. 某市高二学生参加2026年4月期中考试，数学成绩近似服从正态分布 ，全市共有10000名
考生，据此估计，该市期中考试数学分数 介于75到115之间的人数为（ ）
参 考 数 据 ： 若 ， 则 ，
， .
A. 6636 B. 8186 C. 8400 D. 9759【答案】C
【解析】
【详解】由已知 ，
所以 ，
故数学分数 介于75到115之间的人数为 .
6. 现有台州某高中组织高二年级学生研学，全年级学生需从东湖、台州府城墙、神仙居、天台山、大陈岛、
温岭石塘、长屿硐天这7个景点中随机选择1个作为目的地.现从全年级中随机抽取两个班级进行调查，记
事件 “这两个班级选择的目的地中至少有一个选择神仙居”，事件 “这两个班级选择的目的地不同”，
则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】由题意可得， ， ，
则 .
7. 将数字3，4，5，6，7，9填入如图的6个圆圈中，每个圆圈填一个数字，每个圆圈中的数字均不相同，
若每行中任意两个相邻数字的和为奇数，则不同的填法共有（ ）
A. 72种 B. 48种 C. 36种 D. 24种
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可判断两行中的中间圆圈必须填入偶数，利用分步乘法计数原理即可求得.【详解】根据题意，每行中相邻两个数字的奇偶性需不同．（即若一个数为奇数，则相邻的另一个数必为
偶数，反之亦然）.
因为共有6个数字，其中4个奇数、2个偶数，则两行中的中间圆圈必须填入偶数，即有 种排法，
其余4个圆圈只需将剩下的4个奇数进行全排即可，则有 种排法，
由分步乘法计数原理，可得不同的填法共有 种.
8. 2026年是丙午马年，某平台推出数字马年互动抽奖活动，每次抽奖抽中“6点幸运码”的概率为 （
）.小明参与活动累计抽奖 次，最终恰好抽中6次“6点幸运码”，但未记录总抽奖次数.设随机变
量 表示抽奖 次时抽中“6点幸运码”的次数，现以使得 最大的 值估计总抽奖次数（若有多个
使概率最大，则取其中最小值），并计算 .下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D. 与6的大小关系不确定
【答案】A
【解析】
【分析】先求得 的表达式，由此列不等式，结合数学期望的知识确定正确答案.
【详解】由题意， 服从二项分布 ，
则 ，要使 最大，
则 且
，解得 ，
又 ，所以当 为整数时， ， ；当 不为整数时， ， ，故 .
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A. 展开式共6项 B. 所有项的系数之和为64
C. 含 项系数为135 D. 所有项的二项式系数之和为64
【答案】BCD
【解析】
【详解】选项A： ，二项式的展开式有 项，故A错误.
选项B：令 ,得所有项的系数之和为 ,故B正确.
选项C：二项式展开式的通项公式为 ,
令 得 ,含 项的系数为 ，故C正确.
选项D：所有项的二项式系数和为 ,故D正确.
10. 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，随机事件 ， 存在如下关系：
.张同学每天的运动计划包括两种主要方式：室内健身和户外运动.张同学第一天
选择室内健身的概率为 ，选择户外运动的概率为 .如果第一天选择室内健身，那么第二天继续选择室
内健身的概率为 ；如果第一天选择户外运动，那么第二天选择室内健身的概率为 .则张同学（ ）A. 第二天去室内健身的概率为
B. 第二天去户外运动的概率为
C. 若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为
D. 若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率为
【答案】AD
【解析】
【分析】利用条件概率公式、全概率公式和贝叶斯公式计算可得.
【详解】设 表示张同学第一天选择室内健身， 表示张同学第二天选择室内健身，
表示张同学第一天选择户外运动， 表示张同学第二天选择户外运动.
则 ， ， ， ，
对于A， ，故A正确；
对于B，因为 ，故B错误；
对于C，因为 ，故C错误；
对于D，因为 ，故D正确.
11. 某班级准备编号为 、 、 的三个不同礼品盒，分装两类小礼品，一类是互不相同的定制徽章，一类
是完全相同的纪念糖果，按照不同分配要求，下列说法正确的是（ ）A. 将 颗完全相同的纪念糖果全部放入 个礼品盒，每个礼盒至少放 颗、至多放 颗，不同的放法种数
为
B. 将 枚不同的定制徽章全部放入 个礼品盒，允许礼盒为空，且 号礼盒至少放 枚，不同的放法种数
为
C. 将 枚不同的定制徽章平均放入 个礼品盒，每个礼盒恰好放 枚，且指定的 枚徽章不能同盒，不同
的放法种数为
D. 将 枚不同的定制徽章放入 个礼品盒，每个礼盒至少放 枚，且编号为 的徽章不能放入 号礼盒，不
同的放法种数为
【答案】BD
【解析】
【分析】对 个礼品盒中纪念糖果的颗数进行分类讨论，可判断A选项；对礼品盒是空盒的数量进行分类
讨论，确定每个盒子所放入的徽章枚数进行分类讨论，可判断B选项；利用间接法可判断C选项；对 号
礼品盒所放入的徽章枚数进行分类讨论，可判断D选项.
【详解】对于A选项，根据题意可知， 个礼品盒中纪念糖果的颗数分别为 、 、 或 、 、 ，
所以不同的放法种数为 ，A错；
对于B选项，若有两个礼品盒为空盒，则所有的徽章都放在 号礼品盒，此时只有 种放法；
若有 个礼品盒为空盒，有 种选法，则 号礼品盒的徽章枚数可以为 、 、 ，
此时不同的放法种数为 种；
若三个礼品盒均不空，则 号礼品盒的徽章枚数可以为 或 ，
此时不同的放法种数为 .
综上所述，不同的放法种数为 种，B对；
对于C选项，利用间接法，先考虑将 枚不同的定制徽章平均放入 个礼品盒，每个礼盒恰好放 枚，不同的放法种数为 ，
接下来考虑指定的 枚徽章放在同一个礼品盒，只需将另外 枚徽章平分放入另外两盒，
此时不同的放法种数为 .
由间接法可知，满足题设条件的放法种数为 ，C错；
对于D选项，对 号礼品盒的定制徽章枚数进行分类讨论，
若 号礼品盒的定制徽章为 枚，共有 种选择，然后将剩余 枚徽章分为 组，
此时不同的放法种数为 种；
若 号礼品盒的定制徽章为 枚，此时有 种，再把剩余 枚徽章放入剩余的 个礼品盒，
此时不同的放法种数为 种.
综上所述，不同的放法种数为 种，D对.
非选择题部分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知 ， ， ，则 ______.
【答案】 ##
【解析】
【分析】利用条件概率公式求解即可.
【详解】由条件概率公式可得 .
13. 已知随机变量 的分布列为
5
0.2 0.3 0.3 0.2
若 在 内变化，当 的数学期望取得最小值时， ______.【答案】
【解析】
【详解】由题意得 ，
令 ，根据二次函数性质可知对称轴为 ，
而 ，可得此时 取得最小值.
14. 如图，要用 个元件组成一个电路系统，当且仅当从 到 的电路为通路状态时，系统正常工作.已知
每个元件正常工作的概率为 ，在电路系统正常工作的条件下，记此时系统中损坏的元件个数为 ，则
__________.
【答案】
【解析】
【分析】设由2个并联元件组成的整体依次为系统 ，其损坏的元件个数为 ， ，可得
，结合两点分布可得 ，即可得结果.
【详解】设由2个并联元件组成的整体依次为系统 ，其损坏的元件个数为 ， ，
则 ，可得 ，在电路系统正常工作的条件下，可知系统 均正常工作，对应概率为 ，
则 ，可得 ， ，
则 ，所以 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15. 已知离散型随机变量 的分布列为：
1 2 3 4
0.3 0.4 0.1
（1）求 的值；
（2）求 ；
（3）求 .
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【小问1详解】
， ；
【小问2详解】
；
【小问3详解】
.所以
16. （1）计算： ；
（2）求二项式 的展开式中的常数项（结果用数字作答）；
（3）甲、乙等5位大学生分配到3所单位实习，每人只能到一所单位实习，每所单位至少接收一人，甲、
乙要分到同一单位，共有多少种不同的分法.
【答案】（1） ；（2） ；（3）36（种）
【解析】
【分析】（1）利用排列数组合数公式求解；
（2）利用二项式的通项公式求解；
（3）利用分类加法原理和排列组合知识求解.
【详解】（1） ；
（2） 的通项公式为 ，
当 时， .当 时， ，
故 的展开式中常数项的值为
（3）第一类按1，1，3分配，甲，乙在3人组中，共有 （种），
第二类按1，2，2分配，甲，乙自成一组，共有 （种），
因此，甲、乙要分到同一单位，共有 （种）不同的分配方法.
17. 已知 ，且展开式中有且仅有第6项的二项式系数最大.
（1）求 的值；
（2）求 的值；（3）判断 的展开式中第几项系数最大.
【答案】（1）
（2）
（3）第5项
【解析】
【分析】（1）由“第6项二项式系数最大”确定 ，利用赋值法计算即可求解；
（2）通过赋值 得 ，赋值 代入展开式，变形后求得目标式子的值；
（3）写出展开式通项，建立不等式组求解系数绝对值最大的项对应的 值，确定项数；
【小问1详解】
因为展开式中第6项的二项式系数最大，所以 ，
令 ， ；
【小问2详解】
令 ，得 .
令 ，得 ，
所以 ；
【小问3详解】
展开式的通项 .
由 得
因为 为整数，所以 ，所以 的展开式中第5项系数最大.
18. “村 ”正盛行，它不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎.某校为激发学生对
篮球、足球、排球运动的兴趣，举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球、足球、排球三类相关知识题量占比分别为 、 、 .甲同学回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分
别为 、 、 .
（1）若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率；
（2）若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得5分，回答错误得 分.设该同学回答三
题后的总得分为 分，求 的分布列及数学期望.
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）设 分别表示事件“所选的题目为篮球相关知识的题目”、“所选的题目为足球相
关知识的题目”、“所选的题目为排球相关知识的题目”，结合全概率公式即可求解；
（2）确定 的可能取值，求得对应概率即可求解；
【小问1详解】
设 “甲同学所选的题目回答正确”，
设 分别表示事件“所选的题目为篮球相关知识的题目”、
“所选的题目为足球相关知识的题目”、“所选的题目为排球相关知识的题目”，
根据题意得 ， ， ，
， ， ；
所以
【小问2详解】由题意可知， 的可能取值为 ，1，8，15
则 ，
，
，
，
所以 的分布列为：
1 8 15
所以 .
19. 某校兴趣小组为研究本校不同性别的学生对“春节联欢晚会”的喜爱情况，特进行了一次抽样调查，
分别抽取男生和女生各100名作为样本，设事件 “喜欢春节联欢晚会”， “学生为女生”，据统
计有： ， .
（1）现从这100名女生中，按喜欢春节联欢晚会与不喜欢春节联欢晚会的比例，选出10人，再从这10人
中随机选出2人，设选出的2人中喜欢春节联欢晚会的学生人数为 .求 的概率分布列和方差；
（2）将样本的频率视为概率.现从全校的学生中随机抽取 名学生，设其中喜欢春节联欢晚会的学生人数
为 ，当 变化时 在 时取得最大值，求从全校学生中抽取的学生可能的人数 .
【答案】（1）分布列见解析，（2） 或40或41
【解析】
【分析】（1）根据 ，求出10个女生中喜欢春节联欢晚会和不喜欢春节联欢晚会的人数，得
到 的取值，分别求出每个 的取值的概率，列出分布列，根据分布列求出期望和方差.
（2）由已知 ，女生有100人，求出喜欢春节联欢晚会的女生人数，由 ，求出喜
欢春节联欢晚会的人数，由于样本的频率视为概率，所以从全校的学生中随机抽取1名学生，求出他喜欢
春节联欢晚会的概率，从而得到随机变量 ，求出 ，由 在 时取得
最大值，得到 ，列出关于 的不等式组，计算得到 的值.
【小问1详解】
由 ，
所以10个女生中喜欢春节联欢晚会和不喜欢春节联欢晚会的人数分别为6人和4人，
故 的取值为0，1，2，
则 ， ， ，
的分布列为：
0 1 2
故 的期望为 .
所以 的方差为 .【小问2详解】
由已知 ，女生有100人，
所以喜欢春节联欢晚会的女生人数为60人，
又因为 ，所以喜欢春节联欢晚会的人数为90人，
由于样本的频率视为概率，所以从全校的学生中随机抽取1名学生，
他喜欢春节联欢晚会的概率为 ，
则随机变量 ，
（ ）
因为 在 时取得最大值，所以 ，
令 ，
解得 ，
因为 ，所以 或40或41.
