文档文本内容
2025 学年第二学期杭州 S9 联盟期中联考
高二年级数学学科试题
考生须知：
1．本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．
4．考试结束后，只需上交答题纸．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知集合 ， ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由集合交集的运算可得.
【详解】 ，
故 ，
故选：D
2. 已知向量 ， 满足 ， ， ，则 （ ）．
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】A
【解析】
【详解】由 ，
解得 ．
3. 已知数列 的前n项和为 ，满足 ，则 =（ ）
A. 11 B. 31 C. 61 D. 121【答案】D
【解析】
【分析】首先利用公式 ，判断数列 是等比数列，再代入公式，即可求解.
【详解】令 ，得 ，得 ，
由 ，
当 时， ，两式相减得，
，即 ，即 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 .
故选：D.
4. 已知 在 上是可导函数， 的图象如图所示，则不等式 的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据原函数单调性和导函数正负的关系，结合图象，即可得到答案．
【详解】根据 的图象可知 在 上的单调递增区间是 ，
所以不等式 的解集为 ．
故选：C5. 若 ，则 的值为（ ）
A. 10 B. 45 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据 写出二项展开式，得出第9项系数 的表达式.
【详解】 ,
．
故选：B
6. 已知 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用组合计数问题列式求解.
【详解】依题意， 展开式中含 的项为 ，
所以 .
7. 2022年10月16日至10月22日，中国共产党第二十次全国人民代表大会在北京召开．会议圆满结束后，
某市为了宣传好二十大会议精神，市宣传部决定组织 去甲、乙、丙、丁4个村开展二十大宣
讲工作，每村至少1人，其中A不去甲村，且 不去同一个村，则宣讲的分配方案种数为（ ）
A. 158 B. 162 C. 180 D. 198
【答案】B
【解析】
【分析】分A单独去某一个村和A和 中的某一个一起去某个村两种情况，结合排列组合知识求出
每种情况下分配方法，相加即可.【详解】当A单独去某一个村时，从乙、丙、丁3个村中选择1个安排，有 种情况，
剩下的4个人安排到3个村，有 种情况，
故有 种情况，
当A和 中的某一个一起去某个村时，
先从 选择1个，再从乙、丙、丁3个村中选择1个安排，有 种情况，
再安排另外3个人，每个人去1个村，有 种情况，
故有 种情况，
综上，共有 种情况.
故选：B
8. 函数 在 内存在2个极值点，则实数a的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】把极值点问题转化为导数的变号零点问题，分离参数，结合函数图象可得答案.
【详解】 ，因为 在 内存在2个极值点，
所以 在 内存在2个变号零点，
即方程 在 内有两个不同的实数根；
令 ，则直线 与 在 上有两个不同的公共点，，当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
所以 有最大值 ，
因为 ，
所以直线 与 在 上有两个不同的公共点时， .
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ）
A. 若甲、乙、丙按从左到右的顺序排列，则不同的排法有12种
B. 若甲、乙不相邻，则不同的排法有72种
C. 若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，则不同的排法共有72种
D. 如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则不同的排法有24种
【答案】BD
【解析】
【分析】A选项，定序问题采用倍缩法进行求解；B选项，采用插空法进行求解；C选项，分两种情况，
若最左端排乙，最左端不排乙，分别求出两种情况下的排法，相加即可；D选项，使用捆绑法进行求解；
【详解】对于A，甲乙丙按从左到右的顺序排列的排列有 种情况，故A错误；
对于B，先安排丙，丁，戊三人，有 种情况，再将甲乙两人插空，则有 种情况，故甲乙不相邻的排法种数为 种情况，故B正确；
对于C，若最左端排乙，此时其余四人可进行全排列，故有 种；若最左端不排乙，则最左端只能从
丙，丁，戊选出1人，又乙不能在最右端，则有 种情况，则共有 种站法，故C
错误；
对于D，将甲与乙捆绑，看做一个整体且固定顺序，再与其他三人站成一排，故有 种，故D正确；
故选：BD
10. 已知 ， ，则（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用二项式定理，结合赋值逐项进行判断即可.
【详解】对于A，由 ，
可知 的展开式中最高次项为6次项，即 ，故A正确；
对于B， 为 的系数，则 ，故B正确；
对于C，令 ，则 ，
即 ，①
令 ，则 ，②
① ②得： ，故C错误；
对于D，令 ，则 ，
即 ，③① ③得： ，
即 ，故D正确.
11. 已知等比数列 的前n项和为 ，下列关于首项 和公比 的条件中， 一定取到最小值的有（
）．
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】AD
【解析】
【分析】根据 和 的范围结合 的性质分析即可.
【详解】选项A：当 ， 时， ，故当 时 ，故 的最小值为 ，
故A正确；
选项B：当 ， 时，因 故等比数列 奇数项为正数，偶数项为负数，
故只需考虑 有无最小值即可，
，当 时， ，
故 随着 的增大而减小，无最小值，故B错误；
选项C：当 ， 时， ，故 随着 的增大而减小，无最小值，故C错误；
选项D：当 ， 时， ， ，
，
，
又 ，故 ，即 最小值为 ，故D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知 ，满足 ，则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】根据诱导公式及同角三角函数关系计算即可.
【详解】 .
因为 ，所以 ，
所以 .
故答案为： .
13. 将函数 的图像向左平移 个单位长度后得到奇函数 的图像，则
______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据函数平移，诱导公式及正弦函数的奇偶性即可求解．
【详解】由题意得， ，
因为 为奇函数，所以 ，所以 ，又 ，
所以 ．
14. 已知函数 ， ， ， 恒成立，则实数m的取值
范围______．
【答案】
【解析】
【 分 析 】 先 假 设 ， 由 可 得 ， 令
，然后可得函数 在 上单调递增，然后可得 在 上恒成立，
然后分离变量转化为求最值即可.
【详解】先假设 ，由 ，得 .
令 ，则问题可以转化为：
对任意 ， 恒成立，
即函数 在 上单调递增，
对于 ，同理可得即函数 在 上单调递增，
因为 ，所以转化为 在 上恒成立，
因为 ，所以 在 上恒成立，即转化为
令 ，则 ，所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，所以 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 二项式 展开式前三项的二项式系数和为46．
（1）求n的值及展开式中所有项的系数和；
（2）求展开式中的常数项．
【答案】（1） ，262144
（2）43008
【解析】
【小问1详解】
由题意： ，
或 （舍），
令 得展开式 的所有项的系数和 ．
【小问2详解】
的通项公式 ， ，1，…，9
令 ，得 ，∴常数项为 ．
16. 如图，三棱柱 中，侧面 底面 ，且 ， ．（1）求证： 平面 ．
（2）若 ， ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取 中点D，连接 ， ，根据线面垂直的判定定理及面面垂直的性质定理证明即
可；
（2）建立空间直角坐标系，根据线面角空间向量法计算即可求解.
【小问1详解】
取 中点D，连接 ， ，
因为 ， ，所以 ， ，
由于 平面 ，且 ，
因此 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，又因为 ，所以 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，且 平面 ，所以
平面 ，
因为 ，所以 平面 ；
【小问2详解】
由（1）及题意可得 两两垂直，以 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立如图所示空间
直角坐标系 ，不妨设 ，
则 ， ， ， ，
， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，则 ，
所以平面 的法向量 ，
设直线 与平面 所成角为 ，则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
17. 已知双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ，抛物线 的焦点
在双曲线 上，过点 的直线 与双曲线 交于 ， 两点．
（1）求双曲线 的标准方程；
（2）证明：直线 与直线 的斜率之积为定值．
【答案】（1）
（2）为定值
【解析】
【分析】（1）由题意可得方程组，计算 可解；
（2）直线 的方程为 ， ， ，直线与双曲线联立方程组，由韦达定理及斜
率公式计算 即可证明.
【小问1详解】
抛物线 的焦点 为 ，
由题意得 ，所以双曲线 的标准方程为 ；
【小问2详解】
∵ 过点 ，由题意可知 的斜率不为0，
故可设直线 的方程为 ， ， ，
则 ，
，
∴
．
故直线 与 的斜率之积为定值．
18. 设数列 的前n项和为 ， ，当 时， ．（1）求 ，并证明： 是等差数列；
（2）设 ，求 ．
【答案】（1） ，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据裂项相消求出 的通项公式，再根据等差数列的定义即可证明 是等差数列；
（2）结合（1）求导，代入 ，再根据错位相减即可求得 ．
【小问1详解】
时， ，
时，
，
显然 时也符合 ，则 ，
所以 ，
又 （常数），且 ，
所以 是以 为首项，以 为公差的等差数列．
【小问2详解】
结合（1）有 ，
则 ，则 ，
所以 ①，
②，
①－②得，
，
所以 ．
19. 已知函数 ．
（1）当 时，求函数 在 处的切线方程；
（2）讨论函数 的单调性；
（3）当 时，求证： ．
【答案】（1）
（2）当 时， 在 上单调递增，当 时， 在 上单调递减，在
上单调递增．
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义及导数运算即可求解；
（2）分类讨论 的范围，结合导函数的正负即可求解；
（3）构造函数 ，根据导数及基本不等式即可证明．
【小问1详解】
当 时， ，则 ， ，所以 ，切点 ，
所以切线方程为 ，即 ．
【小问2详解】
，
若 ，则 ， 在 内单调递增，
若 ，当 时， ， 在 内单调递减，
当 时， ，在 内单调递增．
综上，当 时， 在 上单调递增，
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增．
【小问3详解】
证明：当 时，由 ，得 ，
设 ，则 ，
设 ， ，则 在 内单调递增，
因为 ， ，
所以存在 ，使得 ，即 ，
当 时， ， 在 内单调递减，
当 时， ， 在 内单调递增，所以 ，
当且仅当 ，即 时，而已证 ，故 ，所以等号取不到，
所以 时， ．
