文档文本内容
2025 学年第二学期杭州北斗联盟期中联考
高二年级数学学科试题
考生须知：
1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．
4．考试结束后，只需上交答题纸．
选择题部分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. 设集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出集合A，再求 .
【详解】集合 .
又 ，所以 .
故选：A
2. 设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】由对数函数的单调性，可得 ，进而可得充分性和必要性.
【详解】解： ，
则“ ”是“ ” 的必要不充分条件.故选：B.
【点睛】本题考查充分性和必要性的判断，考查对数函数单调性的应用，是基础题.
3. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据诱导公式和二倍角的余弦公式把要求的式子化简，运算求得结果
【详解】因为 ，
所以
故选：
4. 已知 为虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数 等于（ ）
A. B. 2 C. D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根据乘法运算法则，化简整理，结合纯虚数的定义，即可得答案.
【详解】复数 ，
因为是纯虚数，所以 ，解得 .
5. 已知点 在圆 上，点 在直线 上，则 的最小值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】由题意求出圆的圆心到直线的距离，减半径得答案．
【详解】圆 的圆心 ，圆心到直线 的距离 ,
故直线与圆相离．
的最小值为 ．
6. 已知各项均为正数的等比数列 ， ， ，则 （ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】根据等比数列中项的性质，找到已知条件与所求式子之间的中项关系，即可整体求解
【详解】由 ， ，有 ，又因为各项均为正数，所以
，
故选：C
7. 若二项式 展开式中的常数项为15，则 的值（ ）
A. B. C. 3 D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得.
【详解】对 有： ，
令 ，则 ，则有 ，
故 ，则 （负值舍去）.
8. 已知函数 有两个不同的极值点，则 的取值范围（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】函数的极值点对应导函数的零点，先求 的导函数，将“有两个不同的极值点”转化为导函
数等于 有两个不同正实根. 通过构造单调函数简化超越方程，分离参数后研究新函数的单调性与值域，
即可求解 的取值范围.
【详解】∵ 函数 的定义域为 ，
对 求导得：
∵ 有两个不同的极值点，
∴ 在 上有两个不同的实根，整理得：
令 ，则 恒成立，
∴ 在 单调递增，
∴ 等价于 ，即 .
令 ， ，求导得:
∵ 当 时， ；当 时， ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ 的最小值为 .
又∵ 当 时， ；当 时， ，
∴ 要使 有两个不同的实根，需满足 ，
∴ 解得 ，即 的取值范围为 .故选：D.
【点睛】1. 方法归纳：处理含参数的函数零点/极值点个数问题时，优先选择分离参数法，将问题转化为常
函数与新函数的交点个数问题，通过导数研究新函数的单调性与最值即可求解.
2. 技巧提示：对于结构对称的超越方程，可构造单调函数，利用单调函数的性质“
”简化方程，降低计算难度.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 若实数 满足 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】由已知得 ，利用做差法逐项判断可得答案.
【详解】对于A，因为 ，所以 ，所以 ，即 ，故A正确；
对于B，因为 ，所以 ，所以 ，即 ，故B错误；
对于C，因为 ，所以 ，所以 ，即 ，故C错误；
对于D，因为 ，所以 ，所以 ，即 ，故D正确.
故选：AD.
10. 设抛物线 的焦点为 ，过 的直线交 于 两点，过 且垂直于 的直线交准线
于 ，则（ ）
A. 准线方程为 B.
C. D.
【答案】AC【解析】
【分析】根据抛物线的性质、焦点弦公式、韦达定理等知识逐项计算判断即可.
【详解】由题意得， ，准线方程为 ，所以A正确；
设直线 的方程为 ， .
联立 ，得 ，即 .
根据韦达定理 .
由抛物线的焦点弦长公式 ，C正确；
因为 ，所以直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 .
令 ，可得 ，即 .
点 到直线 的距离 .
所以 ，所以D错误.
当 时， 轴，此时 ，
则 ，此时 ，所以B错误.
11. 如图所示，正方体 的棱长为2， 分别为 的中点，点 是正方形
内的动点，下列说法正确的是（ ）A. 平面
B. 若 平面 ，则点 的轨迹长度为
C. 四棱锥 的体积为3
D. 四棱锥 的外接球的表面积为
【答案】BCD
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量验证 不成立即可判断A；取 的中点 ， 的
中点 ，连接 ，求得点 在线段 上即可判断B；利用向量法求得 点到平
面 的距离为 ，再计算四边形 的面积即可求得体积，进而判断C；设四棱锥
外接球球心坐标为 ，进而结合坐标法求得 ，再计算半径，求外接球的
表面积即可判断D.
【详解】如图建立空间直角坐标系，则 ，
， ， ，对于A， ， ，
所以 ，
所以 不成立，即 不成立，
所以 不垂直于平面 内的线 ，故A选项错误；
对于B选项，取 的中点 ， 的中点 ，连接 ，
可得四边形 是平行四边形，
所以 平面 ， 在平面 外，所以 平面 ,
同理可得 ， 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ，
因为 点是正方形 内的动点，若 平面 ，则点 在线段 上，
所以 点的轨迹长度 ，故B选项正确；
对于C选项， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，令 得 ，则 ，
所以 点到平面 的距离为 ，因为 ，
，
所以四边形 为等腰梯形
如图，过点 作 ，垂足 ，则 ，
所以
所以四边形 的面积为 ，
所以四棱锥 的体积为 ，故C选项正确；
对于D选项，设四棱锥 外接球球心坐标为 ，
则 ，
所以 ，
整理得： ，解得 ， ，即球心坐标为
所以四棱锥 外接球球的半径为，
所以，四棱锥 的外接球的表面积为 ，D选项正确.
非选择题部分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量 ，若 ，则 ___________．
【答案】1
【解析】
【分析】借助向量坐标运算与垂直性质计算即可得.
【详解】 ，则 ，
整理得 ，故 .
13. 名男生、 名女生站成一排，至少有 名女生相邻的站法种数为___________（用数字作答）．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查排列组合中的插空、捆绑问题，先根据已知进行分类，然后对每一类进行求解，最
后将各类结果相加，即可解决问题.
【详解】解：根据题意，分 种情况：
情况1：当 名女生相邻时
先排 名男生，共有 种；
先选 名女生捆绑，共有 种， 名女生之间的排列有 种；
然后将捆绑的 名女生组和单独的 名女生，插入 个不同的空位中，共有 种，
所以， 名女生相邻的所有情况为 种.
情况2：当 名女生相邻时
将 名女生当成一个整体，共有 种；名男生的排列，共有 种，然后将女生的整体插入 个不同的空位中，有 种，
所以 名女生相邻的所有情况为 种.
因此，至少有 名女生相邻的站法种数为 种.
14. 已知 分别是椭圆 和双曲线 的离心率， 是它们的公共焦点， 是它们的一个公共点．
且 ，则 的最大值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】利用椭圆和双曲线的定义将几何条件转化为关于 的代数关系，进而建立目标式与离心率的
关系，最后利用柯西不等式求解最值.
【详解】
设椭圆 的长半轴长为 ，半焦距为 ，根据椭圆的定义 .
设双曲线 的实半轴长为 ，半焦距为 ，根据双曲线的定义 ，
不妨设 ，则有 .
联立得 .
因为 ，所以根据勾股定理有 ，
化简得： ，两边同除以 可得： ，则根据柯西不等式得 ，
当且仅当
所以 的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在 中，内角 所对的边分别为 ，且 ．
（1）求 ；
（2）已知 的面积为 ，求 的周长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边化角，整理化简等式，根据和角公式，可得答案；
（2）由余弦定理得： ，由三角形面积公式得 ，从而得解.
【小问1详解】
由正弦定理得： ．
，
由 得 ，
又因为 ，解得 ；
【小问2详解】由 ，得 ，
由余弦定理得： ①．
又因为 ②
联立①②得： ，
的周长 ．
16. 如图，在四棱锥 中， 为 中点， ， ， ，
．
（1）证明： 平面 ；
（2）若 底面 ，求直线 与平面 的夹角正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据四棱锥的性质，结合已知条件，利用线面平行判定定理证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，求出相关点和向量坐标，进而求出平面法向量，利用向量夹角余弦公式求解．
【小问1详解】
取 中点 ，连接 ，在 中， 分别为 的中点， 为 的中位线，
，
，
，
四边形 为平行四边形，
，
平面 ， 平面 ，
平面 ．
【小问2详解】
在四边形 中，作 于 于 ，如下图所示：
，
四边形 为等腰梯形，
，
故 ，
，
，
以 为原点建立如图所示空间直角坐标系，则 ，
直线 的方向向量为 ，
则 ，
设平面 的法向量 ，
则有 ，令 ，则 ，即 ，
设直线 与平面 的夹角为 ，
，
即直线 与平面 的夹角正弦值为 ．
17. 已知等差数列 中，其前 项和为 ，且 ，数列 满足
（1）求 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ．
【答案】（1） ，
（2）【解析】
【分析】（1）根据等差数列通项公式和前 项和公式求解数列 的首项、公差，利用作差法求数列
的通项公式；
（2）利用错位相减法求数列 的前 项和 ．
【小问1详解】
已知 为等差数列，且 ，
，解得：
，
当 时，有 ，
两式相减得： ，
当 时， ，满足 ，
．
【小问2详解】
由（1）知 ，
两式相减得：
，.
18. 已知椭圆 离心率为 是椭圆 其中的一个顶点，直线 与椭圆
交于 两点， 是 轴上的一点，直线 分别与直线
交于 两点．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）当 ，求 的取值范围；
（3）是否存在实数 ，使得 为定值，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由离心率和顶点直接求得 ，从而得椭圆 的标准方程；
（2）设 ，联立直线 与椭圆 的方程，利用三角形面积公式，结合韦达定理将
表示成 的函数，利用换元法，根据基本不等式可得 的取值范围；
（3）写出直线 的方程，联立 ，得 的坐标，结合韦达定理，表示出 ，假
为定值，求 ，有解即存在 满足题意；无解即不存在 满足题意.
【小问1详解】
，椭圆 的标准方程为
【小问2详解】
设 ，
联立直线 与椭圆 的方程 ，得
.
易得， .
设
则
由对勾函数性质知 .
.
【小问3详解】
直线 方程为： ，联立
得：同理可得：点
，
．
由（2）知： ，
要使 为常数
需要 ，方程组无解
不存在实数 ，使得 为定值．19. 已知函数 ．
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）若函数 有两个零点 ；
（i）求 的取值范围；
（ii）已知 ，且 恒成立，求 的取值范围．
【答案】（1）单调减区间为 ，单调增区间为 ；
（2）（i） ；（ii） .
【解析】
【分析】（1）把 代入，利用导数求出函数 的单调区间.
（2）（i）由零点的意义分离参数并构造函数，再利用导数求出直线与函数图象有两个交点的 范围；
（ii）由（i）的信息建立方程组，结合已知变形含 的不等式，再构造函数并利用导数求出不等式
恒成立的 范围.
【小问1详解】
当 时，函数 的定义域为 ，求导得 ，
当 时， ；当 时， ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，所以函数 的单调减区间为 ，单调增区间为 .
【小问2详解】
（i）由 ，得 ，则 ，
令函数 ，求导得 ，当 时， ；当 时， ，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减， ，
而 ，当 时， ，且 时， ，函数 的图象如图，
函数 有两个零点，即方程 有两个解，亦即直线 与函数 的图象有两个交点，
由图象知，当且仅当 ，即 时，直线 与函数 的图象有两个交点，
所以 的取值范围为 .
（ii）由（i）知 ， ，
则 ，两式相减得 ，
由 ，两边取对数得 ，即
则 ，于是 ，即 ，令 ，则有 ，
即 ，而 ，则 ，
令函数 ，求导得
，
由 ，得 ，当 时， ，由 ，得 ，
函数 在 上单调递减，因此 ，与 对 恒成立矛盾；
当 时， 恒成立，即恒有 ，函数 在 上单调递增， 恒成
立，
所以 的取值范围是 .
