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2025 学年第二学期嘉兴八校联盟期中联考
高二年级数学学科试题
考生须知：
1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4．考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一、选择题Ⅰ（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1. 下列求导数运算正确的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用初等函数的导数公式运算即可求解.
【详解】依题意， .
2. 甲、乙、丙去听同时举行的4个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则听讲座的种数为（ ）
A. 7 B. 12 C. 81 D. 64
【答案】D
【解析】
【分析】利用分步乘法计数原理求解即可.
【详解】甲、乙、丙去听同时举行的4个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，
即每人去听一个讲座共有 种选择，则三人各选一个讲座种数为 ．
故选：D．
3. 的展开式中 的系数为（ ）
A. 8 B. 16 C. 24 D. 32
【答案】D【解析】
【分析】利用二项展开式的通项公式代值计算即得.
【详解】 展开的通项公式为 ， ,
取 ，则 的展开式中 的系数是 ．
故选: D.
4. 设随机变量 的分布列为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由随机变量的分布列的性质得到答案.
【详解】由题意知 ，解得 .
故选：B.
5. 某知识过关题库中有 三种难度的题目数分别为 ，其中小明完成 型题目的
正确率分别为 ，小明从该题库中任选一道题完成，做对的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】设小明选 道 类试题为事件 ，
小明选 道 类试题为事件 ，小明选 道 类试题为事件 ，
设小明答对试题为事件 ，则 ，
， ，， ， ，
故 ，故C正确.
6. 设函数 在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数 的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】由 的图象可得，在 轴的左侧，图象下降， 递减，即有导数小于0，可排除C，D；
再由 轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降，函数 递减，再递增，后递减，即有导数先小于0，
再大于0，最后小于0，可排除A；则B正确．
7. 某空间站由 三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，
每个舱至少安排1名宇航员，则不同的安排方法的种数为（ ）
A. 150 B. 90 C. 60 D. 30
【答案】A
【解析】
【详解】共5名宇航员同时在3个舱中开展实验，则有两种情况，
若按人数分为 三组，则有 种方法，若按人数分为 三组，则有 种方法，
共有 种不同方法.
8. 已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】由题意可得 ，当 在 上单调递增，
上 恒成立，即 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
由基本不等式可得 ，当且仅当 时，即 时取等号，
所以 时， 在 上恒成立.
二、选择题Ⅱ（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分）
9. 若 的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的可能取值为（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】ABC
【解析】
【分析】借助二项式系数的性质逐项判断即可得.
【详解】A选项，此时展开式有8项，第4、5项二项式系数最大且相等，满足题意，故A正确；
B选项，此时展开式有9项，第5项二项式系数最大，满足题意，故B正确；
C选项，此时展开式有10项，第5、6项二项式系数最大且相等，满足题意，故C正确；D选项，此时展开式有11项，第6项二项式系数最大，不满足题意，故D错误.
10. 已知随机变量 ，若 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】应用正态分布的对称性及数学期望计算分别判断各个选项.
【详解】由正态分布的定义知 ，A正确；
由 ，得 ，B正确；
，C错误；
，D错误.
故选：AB.
11. 对于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A. 在 上单调递减，在 上单调递增
B.
C. 设 有3个不同的零点，则
D. 若方程 有6个不等实数根，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】求导，根据导数与函数的单调性的关系即可判断出 AB；问题转化为 ，画图判断
交点问题判断选项C；由题可知 在 时有3个解即可结合函数图象可判断D.【详解】对于A选项， 的定义域为 ，所以A选项错误；
对于 B 选项，对函数 求导， ，令 可得 ，函数 在
上单调递增， ，
所以 ，所以B选项正确；
令 可得 且 ，
当 时， ，此时函数 在 上单调递减且 ，
当 时， ， ，此时函数 在 上单调
递减且 ，
画出大致函数 图象如下图：
则大致函数 图象如下图：对于C选项，令 ，即 ，
有3个不同的零点等价于函数 和函数 有3个不同的交点，
由图象可知， ，解得 ，所以C选项正确；
对于D选项，方程 有6个不等实数根等价于函数 和函数 有6个不同的交点，
由图象可知， ，所以D选项正确．
非选择题部分
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 函数 在 处的切线斜率为________．
【答案】2
【解析】
【分析】对函数进行求导，再利用导数的几何意义即可求解.
【详解】 ，
.
13. 已知随机变量 的分布列如下，则 ______.【答案】1
【解析】
【分析】先根据期望和方差公式求出 ，即可得解.
【详解】由题意可得： ，
所以 .
故答案为：1.
14. 近年来，“剧本杀”门店遍地开花．放假伊始，7名同学相约前往某“剧本杀”门店体验沉浸式角色扮
演型剧本游戏，目前店中仅有可供4人组局的剧本，其中A，B角色各1人，C角色2人．已知这7名同学
中有4名男生，3名女生，现决定让店主从他们7人中选出4人参加游戏，其余3人观看，要求选出的4人
中至少有1名女生，并且A，B角色不可同时为女生．则店主共有__________种选择方式．
【答案】348
【解析】
【分析】根据题意，按照选出的女生人数进行分类，分别求出每一类的选择种数，然后相加即可求解.
【详解】由题意，根据选出的女生人数进行分类，
第一类：选出1名女生，先从3名女生中选1人，再从四名男生中选3人，然后安排角色，两名男生扮演
A，B角色有 种，剩余的1名男生和女生扮演C角色，或A，B角色1名男生1名女生，女生先选有 ，
剩下的一个角色从3名男生中选1人，则 种，所以共有 种，
第二类：选出2名女生，先从3名女生中选2人，再从四名男生中选2人，然后安排角色，两名男生扮演
A，B角色有 种，剩余的2名女生扮演C角色，或A，B角色1名男生1名女生，选出1名女生先选角色
有 ，剩下的一个角色从2名男生中选1人，则 种，所以共有 种，
第三类：选出3名女生，从先从3名女生中选3人，再从四名男生中选1人，然后安排角色，A，B角色1
名男生1名女生，选出1名女生先选角色有 ，剩下的一个角色让男生扮演，余下的2名女生扮演角色C，所以共有 种，
由分类计数原理可得：店主共有 种选择方式，
故答案为： .
四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知函数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求函数 的单调区间．
【答案】（1）
（2） 的单调递增区间为 ， ；单调递减区间为 .
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可.
（2）利用导数的正负判断函数的单调性即可；
【小问1详解】
因为 ，
则 ，且 ，
所以切线方程为 ，即 .
所以曲线 在点 处的切线方程为 .
【小问2详解】
因为 ，
令 ，得 或 ，
所以 的单调递增区间为 ， ；
，得 ， 的单调递减区间为 .综上， 的单调递增区间为 ， ；单调递减区间为 .
16. 已知 ．
（1）求各项的系数和；
（2）求展开式中的常数项；
【答案】（1）4096
（2）960
【解析】
【分析】（1）利用赋值法，令 ，可得各项的系数和；
（2）利用二项展开式的通项公式求解即可.
【小问1详解】
令 ，则各项的系数和为 .
【小问2详解】
设展开式中常数项为第 项，
即 ， ， ，
令 ，得 ，
．
17. 袋中有除颜色外均相同的6个红球，7个黑球，若从中任取3个．
（1）求恰有1个红球的概率；
（2）设3个球中，黑球的个数为X，求X的分布列及数学期望 ；
【答案】（1）
（2）
X 0 1 2 3P
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用组合数公式及古典概率公式求解.
（2）求出 的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出数学期望.
【小问1详解】
设从袋中任取3个球恰有1个红球为事件A，
则 .
【小问2详解】
依题意，X的可能取值为0，1，2，3，
， ，
， ，
X的分布列为
X 0 1 2 3
P
数学期望 ．
18. DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度
学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，
在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高 DeepSeek的应用
能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训．
（1）此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自A部门．从这6名部门领导中随
机选取2人，求2人都来自于A部门的概率；（2）此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为 ， ， ，
每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格．
（ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率；
（ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工
每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和
费用．试估计该公司A，B两部门培训后的年利润（公司年利润 员工创造的利润 其他成本和费用）．
【答案】（1）
（2）（ⅰ） ；（ⅱ）1100万元
【解析】
【分析】（1）利用古典概型的定义即可求解；
（2）（ⅰ）记事件 “每位员工经过培训合格”， “每位员工第 轮培训达到优秀”（ ），根
据概率加法公式和事件相互独立定义即可求解；
（ⅱ）记 两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为 ，则 ，然后根据二项分布期望公
式结合条件即得.
【小问1详解】
根据题意，6名部门领导参加，恰有3人来自A部门，2人都来自于A部门的概率为
【小问2详解】
（ⅰ）记 “每位员工经过培训合格”， “每位员工第i轮培训达到优秀”（ ，2，3），
，根据概率加法公式和事件相互独立定义得，．
即每位员工经过培训合格的概率为 ．
（ⅱ）记A，B两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为Y，则 ，则 ，
所以 （万元）
即估计A，B两部门的员工参加DeepSeek培训后为公司创造的年利润为1100万元．
19. 已知函数 ．
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）若 ，求 的取值范围；
（3）证明： ．
【答案】（1）在 上单调递减，在 上单调递增
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导，利用导数的正负判断函数单调性；
（2）转化问题为 对于 恒成立，设 ， ，利用导数分析其
单调性，进而求解即可；
（3）结合（2）可得 ，进而证明 即可求证.
【小问1详解】
当 时， ， ，则 ，
令 ，得 ，令 ，得 ，所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
【小问2详解】
由 ，则 对于 恒成立，
设 ， ，则 ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，即 ，则 的取值范围为 .
【小问3详解】
由（2）知，当 时， ，则 ，
所以 ，
设 ， ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，
则 ，即 ，得证.
