文档文本内容
2025 学年第二学期杭州北斗联盟期中联考
高二年级数学学科试题
考生须知：
1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．
4．考试结束后，只需上交答题纸．
选择题部分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. 设集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
4. 已知 为虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数 等于（ ）
A. B. 2 C. D. 6
5. 已知点 在圆 上，点 在直线 上，则 的最小值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 已知各项均为正数的等比数列 ， ， ，则 （ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 107. 若二项式 展开式中的常数项为15，则 的值（ ）
A. B. C. 3 D. 9
8. 已知函数 有两个不同的极值点，则 的取值范围（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 若实数 满足 ，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 设抛物线 的焦点为 ，过 的直线交 于 两点，过 且垂直于 的直线交准线
于 ，则（ ）
A. 准线方程为 B.
C. D.
11. 如图所示，正方体 的棱长为2， 分别为 的中点，点 是正方形
内的动点，下列说法正确的是（ ）A. 平面
B. 若 平面 ，则点 的轨迹长度为
C. 四棱锥 的体积为3
D. 四棱锥 的外接球的表面积为
非选择题部分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量 ，若 ，则 ___________．
13. 名男生、 名女生站成一排，至少有 名女生相邻的站法种数为___________（用数字作答）．
14. 已知 分别是椭圆 和双曲线 的离心率， 是它们的公共焦点， 是它们的一个公共点．
且 ，则 的最大值为___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在 中，内角 所对的边分别为 ，且 ．
（1）求 ；
（2）已知 的面积为 ，求 的周长．
16. 如图，在四棱锥 中， 为 中点， ， ， ，
．（1）证明： 平面 ；
（2）若 底面 ，求直线 与平面 的夹角正弦值．
17. 已知等差数列 中，其前 项和为 ，且 ，数列 满足
（1）求 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ．
18. 已知椭圆 离心率为 是椭圆 其中的一个顶点，直线 与椭圆
交于 两点， 是 轴上的一点，直线 分别与直线
交于 两点．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）当 ，求 的取值范围；
（3）是否存在实数 ，使得 为定值，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
19. 已知函数 ．
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）若函数 有两个零点 ；
（i）求 的取值范围；
（ii）已知 ，且 恒成立，求 的取值范围．
