文档内容
几何-曲线型几何-扇形-1 星题
课程目标
知识点 考试要求 具体要求 考察频率
扇形 B 1.了解扇形的特征和有关概念 少考
2.能够通过圆的面积和周长公式推
导出扇形的面积和弧长公式
3.能够运用公式计算扇形的弧长、
面积和周长
知识提要
扇形
概念
圆上两点之间的部分叫做弧 。
扇形是指一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。
其中，圆的半径也称为扇形的半径，而两条半径所形成的夹角称为扇形的圆心角。 公式
n
扇形的弧长= ×2πr
360
n
扇形的面积=
πr2
360
其中，n 表示圆心角的度数
注意：扇形的弧长不是周长，扇形的周长还需要加上两条半径。
精选例题
扇形
1. 下图中，两个圆心角是 90∘ 的扇形盖在大圆上，小圆盖在两个扇形上，它们的圆心都在同
一点．如果小圆、大圆、扇形的半径比是 1:3:4，那么阴影图形面积占整个图形面积的
%．
【答案】 32
【分析】 设大圆、小圆、扇形的半径分别是 r、3r、4r．
整个商标的面积是
1 1
π(4r) 2+ π(3r) 2=12.5πr2;
2 2
阴影部分的面积是
1 1
π(3r) 2- πr2=4πr2,
2 2
所以，阴影图形面积占整个商标图形的面积的
4πr2
=32%.
12.5πr22. 一个边长为 100 厘米的正五边形和五个扇形拼成如图的“海螺”，那么这个图形的周长是
厘米（π 取 3.14）．
【答案】 2384
1
【分析】 周长=500+ ×2×π×(100+200+300+400+500)=2384.
5
3. 如图，是一个由 2 个半圆、2 个扇形、1 个正方形组成的“心型”．已知半圆的直径为
10，那么，“心型”的面积是 ．（注：π 取 3.14）
【答案】 257
【分析】 图中图形面积等于一个正方形加上一个半径为 5 的圆，再加上一个半径为
1
10 的 圆，所以面积为：
41
10×10+π×5×5+ ×π×10×10=257.
4
4. 分别以一个边长为 2 厘米的等边三角形的三个顶点为圆心，以 2 厘米为半径画弧，得到
下图．那么，阴影图形的周长是 厘米．（π 取 3.14）
【答案】 12.56
【分析】 图形周长由 6 段弧组成，每段弧对应的圆心角为 60∘，所以图形的周长等
于一个圆的周长．
2×3.14×2=12.56(厘米)．
5. 如下图所示，梯形 ABCD 中的两个阴影部分的面积相等，DE=1 厘米，∠A=∠B=45∘，
则 CD= 厘米．（其中 π 取 3.14）
【答案】 0.57【分析】 由于两个阴影部分面积相等，可知扇形面积为梯形面积的一半，又知道扇形
1 π π
面积为 ×π×(12+12 )= ，所以梯形面积为 ，设 CD 的长为 x 厘米，那么
8 4 2
π
(x+1+1+x)×1÷2= ．
2
π
求得 CD 的长为 -1=0.57(厘米)．
2
6. 半径为 10、20、30 的三个扇形如下图放置，S 是 S 的 倍．
2 1
【答案】 5
【分析】 三个扇形的半径比为 1:2:3，则面积比为 1:4:9，所以答案为
(9-4)÷1=5 倍．
7. 如下图所示，已知圆心是 O，半径 r=9 厘米，∠1=∠2=15∘，那么阴影部分的面积是
平方厘米．（π=3.14）【答案】 42.39
【分析】 因为圆的半径都相等，于是 OA=OB．在等腰三角形 AOB 中两个底角都
是 15∘．又知道三角形内角之和是 180∘，所以，三角形 AOB 的顶角
∠AOB=180∘-(15∘+15∘)=150∘．同理 ∠AOC=150∘，因此
1
∠BOC=360∘-(150∘+150∘)=60∘．这就是说，阴影部分扇形的面积是圆面积的 ，即
6
1 1
×π×r2= ×3.14×92=42.39(平方厘米)．
6 6
1
8. 如下图所示，一个 圆中有一个正方形，阴影正方形的面积是 16，那么图中的扇形面积
4
是 ．（π 取 3）【答案】 30
【分析】 给图中标上字母，如下图所示，由于阴影正方形的面积为 16，则边长为 4，
OC=CH=ED=2,OD=2+4=6，根据勾股定理，可知扇形的半径满足：
r2=22+62=40.
所以图中扇形的面积为：
1
π×40=30.
4
9. 如下图所示，ABCD 是边长为 10 厘米的正方形，且 AB 是半圆的直径，则阴影部分的
面积是 平方厘米．（π 取 3.14）【答案】 17.875
【分析】 如下图所示，连接 DB，阴影部分的面积的 2 倍相当于$$\text{正方形面
积}-\text{三角形$ DOC $的面积}-\text{半圆面积},$$
所以该面积 =(10×10-10×10÷4-3.14×5×5÷2)÷2=17.875(平方厘米)．
10. （1）求下列各图的周长和面积各是多少？（用含 π 的式子表示）
（2）已知一个扇形面积为 18.84 平方厘米，圆心角为 60∘，这个扇形的半径和周长是多少？
（π 取 3.14）
1 1 3 1 1
【答案】 （1）5π+10，12 π，7 π+10，18 π，3 π+10，8 π；
2 2 4 3 3
（2）6 厘米，18.28 厘米．
【分析】 （1）半圆的周长
2×π×5÷2+2×5=5π+10,
面积1
π×52÷2=12 π;
2
3
圆的周长
4
3 1
2×π×5× +2×5=7 π+10,
4 2
面积
3 3
π×52× =18 π;
4 4
1
圆的周长
3
120 1
2×π×5× +2×5=3 π+10,
360 3
面积
1 1
π×52× =8 π.
3 3
1
（2）由于： πr2=18.84，所以 r=6，则扇形的周长为：\[\dfrac{1}{6}\times 2 \times {\rm
6
\pi} \times 6 + 2 \times 6 = 18.28{\text(厘米)}. \]
11. 如图所示，图中是一个正六边形，每个角上有一个半径是 10 厘米的扇形，六扇形面积总
和是多少？（π 取 3.14）
【答案】 628 平方厘米．
nπR2
【分析】 扇形面积公式 S = 已知半径和扇形弧的度数是 120∘，这样就可求
扇 360
120
出扇形的面积和为 6× ×π×102=628(平方厘米)．
36012. 如下图，直角三角形 ABC 的两条直角边分别为 6 和 7，分别以 B、C 为圆心，2 为
半径画圆，已知图中阴影部分的面积是 17，那么角 A 是多少度（π=3）
【答案】 ∠A=60∘．
1
【分析】 S = ×6×7=21，
△ABC 2
三角形 ABC 内两扇形面积和为 21-17=4，
∠B+∠C
根据扇形面积公式两扇形面积和为
×π×22=4，
360∘
所以 ∠B+∠C=120∘，∠A=60∘．
13. 如下图所示，为一个半圆和一个扇形，扇形的半径是半圆的直径，空白部分与阴影部分面
积哪个大？
【答案】 一样大．1
【分析】 记半圆的半径为 1，半圆的面积为 π，扇形的半径为 2，面积为 π．
2
1 1
空白与阴影的面积 π:(π- π)=1:1．一样大．
2 2
14. 下图中五个相同的圆的圆心连线构成一个边长为 10 厘米的正五边形．求五边形内阴影部
分的面积．（π=3.14）
【答案】 117.75 平方厘米
【分析】 我们用两条线将五边形分成了三个三角形，如下图所示，可以看出，这个五
边形的五个角的度数和是 180×3=540∘,540÷360=1.5 倍，即阴影部分面积相当于 1.5 个
半径为 5 的圆的面积，所以阴影部分的面积是 π×52×1.5=117.75(平方厘米)．15. 如图，在一个边长为 4 的正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆．求阴影
部分的面积．
【答案】 8．
【分析】阴影部分经过切割平移变成了一个面积为正方形一半的长方形，则阴影部分面积为
4×4÷2=8．
16. 如图中扇形的半径 OA=OB=6 厘米，∠AOB=45∘，AC 垂直 OB 于 C，那么图中阴
影部分的面积是多少平方厘米？（π≈3.14）
【答案】 5.13 平方厘米
【分析】 阴影部分面积为：
45 1 1 1
×π×62- ×62= ×3.14×36- ×36=5.13(平方厘米).
360 4 8 4
17. 如下图所示，边长为 3 的两个正方形 BDKE、正方形 DCFK 并排放置，以 BC 为边
向同侧作等边三角形，分别以 B、C 为圆心，BK、CK 为半径画弧．求阴影部分面积．（π
取 3.14）【答案】 8.58
1
【分析】 每块阴影可以算成 圆减去中间空白部分，根据这个思路，阴影部分的面
6
积为：
1 ×π×32×2- (1 ×π×32×2-32×2 )
3 2 18-3π¿=¿8.58.¿
¿
18. 图中正方形的边长是 4 厘米，圆形的半径是 1 厘米．当圆形绕正方形滚动一周又回到原
来位置时，扫过的面积有多大？（π 取 3.14）
【答案】 44.56 平方厘米．【分析】 扫过的区域如图中阴影所示，由两类图形组成：4 个长为 4 厘米、宽为 2
厘米的长方形，4 块半径为 2 厘米、圆心角为 90∘ 的扇形（恰好拼成一个圆）．所以扫过
的面积是
4×2×4+π×22=44.56(平方厘米).
19. 如图所示，一只小狗被拴在建筑物的一角，四周都是空地．建筑物是一个边长为 10 米的
正方形，绳长是 20 米，那么小狗的活动范围能有多少平方米？（建筑外墙不可逾越，小狗
身长忽略不计，π 取 3）
【答案】 1050
【分析】 狗的活动范围如图所示，分为 A、B、C 三部分，求面积得：
3 1
×π×202+ ×π×102=350π=1050(平方米)．
4 220. 如图所示，一只小狗被拴在建筑物的一角，四周都是空地．建筑物是一个边长为 2 米的等
边三角形，绳长是 3 米，那么小狗的活动范围是多少？（建筑外墙不可逾越，小狗身长忽略
不计，π 取 3）
【答案】 24.5
【分析】 首先画出小狗活动的范围，然后把活动范围分成几个扇形来求解，
300 240
×π×32+ ×π×12=24.5．
360 360
21. 如图，求各图形中阴影部分的面积．（图中长度单位为厘米，π 取 3.14）【答案】 （1）4.5 平方厘米；（2）1 平方厘米．
【分析】 （1）将右边四分之一圆的阴影部分镜像到左边四分之一圆，阴影部分的面
积为：
3×3÷2=4.5(平方厘米);
（2）将右图的四分之一圆左移，则为一个正方形，面积为：
1×1=1(平方厘米).
22. 如图，BD=DC=DA=1．求阴影部分面积．
【答案】 0.6775
【分析】 方法一： 1 π×12- ( 12÷2+ 1 × 1 π ) =0.6775；
2 4 2
方法二： (1 π×12-1×1 ) + (12 - 1 × 1 π ) =0.6775．
2 2 4 2
23. 如图，正方形 ABCD 边长分别为 1 厘米，依次以 A,B,C,D 为圆心，以
AD,BE,CF,DG 为半径画出四个直角扇形，那么阴影部分的面积是多少？（π 取 3.14）【答案】 23.55 平方厘米．
【分析】 阴影部分的面积是
1 1 1 1
3.14×12× +3.14×22× +3.14×32× +3.14×42×
4 4 4 423.55(平方厘米).¿
¿
24. 如图，长方形的长为 6 厘米，宽为 2 厘米，圆形的半径是 1 厘米，当圆形绕长方形滚
动一周又回到原来位置时，扫过的面积有多大？（π 取 3.14）
【答案】 44.56 平方厘米．
【分析】 扫过的区域如图所示，面积为
2×2×6+2×2×2+π×22=44.56(平方厘米).25. 圆的半径是 9cm，圆心角为 120∘ 的扇形的周长和面积是多少？
【答案】 周长：36.84cm；面积 84.78cm2
【分析】 圆心角 120∘ 的扇形，面积是圆的面积的三分之一，周长是圆周的三分之一
加上两个半径的长．
1
面积= π×92=84.78(cm2 )
3
1
周长= ×2π×9+9×2=18.84+18=36.84(cm)
3
26. 如图，正方形边长为 2cm，扇形是以正方形顶点为圆心，以边长为半径的圆的四分之一，
求阴影部分面积．
【答案】 4-π
【分析】 阴影面积等于正方形的面积减去扇形的面积
1
S=2×2- ×π×22=4-π
427. 如图所示，阴影部分的面积是多少？（π 取 3.14）
【答案】 4.56
【分析】 阴影面积为两个半圆的面积之和减去直角三角形的面积，两个半圆的面积之
和为 12.56，直角三角形的面积是 8，所以，阴影面积是 4.56．
28. 下图中正方形 ABCD 及 DCEG 的面积均为 64 平方厘米，EFG 则为一半圆，F 是
弧 EFG 的中点．请问阴影部分的面积为多少平方厘米？（取 π=3.14）
【答案】 36.56
【分析】 如下图所示，正方形边长为 8 厘米，连接 GF，
阴影部分面积=S +90∘弓形面积，所以阴影部分面积为
△AGF
1 1 1
×16×4+ ×42×3.14- ×4×4=36.56(平方厘米).
2 4 229. 如图，三角形 ABC 为等边三角形，边长为 2，D 为 BC 边中点，分别以 B,C 为圆心，
1 为半径作两个扇形（即图中阴影部分），那么阴影部分的面积是多少？（π 取 3.14，结果
保留 2 位小数）
【答案】 1.05
1
【分析】 阴影部分是两个 60∘ 的扇形，面积是 3.14×12× ×2≈1.05．
6
30. 一只狗被拴在底座为边长 3m 的等边三角形建筑物的墙角上（如图），绳长是 4m，求
狗所能到的地方的总面积．（π 取 3.14）【答案】 43.96m2．
【分析】
如图所示，狗活动的范围是一个半径 4m，圆心角 300∘ 的扇形与两个半径 1m，圆心角
120∘ 的扇形之和．所以答案是
300 120
×π×42+2× ×π×12=43.96(m2).
360 360
31. 草场上有一个长 20 米、宽 10 米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长 30 米的绳子拴着
一只羊（见下图）．问：这只羊能够活动的范围有多大？（注：π 取 3.14）【答案】 2512m2
【分析】
3
如图所示，羊活动的范围可以分为 A，B，C 三部分，其中 A 是半径 30 米的 个圆，
4
1
B，C 分别是半径为 20 米和 10 米的 个圆，所以羊活动的范围是
4
3 1 1
π×302× 4 +π×202× 4 +π×102× 4 π× ( 302× 3 +202× 1 +102× 1) ¿=¿2512(m2 ).¿
4 4 4
¿
32. 下图中，点 P、Q、R 是三个半径都为 7 厘米的圆之圆心．请问图中阴影部分的面积为
22
多少平方厘米？（取 π= ）
7【答案】 77
1
【分析】 通过割补可将一块阴影变为 圆（见右图），题中阴影部分面积为半圆面
6
1 22
积即 × ×72=77(平方厘米)．
2 7
33. （1）如图 1 所示，有一个长是 10、宽是 6 的长方形，那么两个阴影部分的面积之差为
多少．（π 取 3.14）
（2）如图 2 所示，三角形 ABC 是直角三角形，长 40 厘米，以 AB 为直径做半圆，阴
影部分 ① 比阴影部分 ② 的面积小 28 平方厘米．求 AC 的长度．（π 取 3.14）【答案】 （1）18.5；（2）32.8
【分析】 （1）大块“阴影+空白”刚好构成直角扇形，小块“阴影+空白”刚
1
好构成长方形，所以直角扇形与长方形的面积差即是两块阴影面积差
×π×102-60=18.5．
4
（2）“阴影①+空白”刚好构成半圆，“阴影②+空白”刚好构成直角三角形，半圆面
1
积为 ×π×202=628，所以，直角三角形面积为 628+28=656，另一条直角边 AC=32.8．
2
34. 如图所示，扇形 AOB 的圆心角是 90 度，半径是 2，C 是弧 AB 的中点．求两个阴影
部分的面积差．（π 取 3.14）
【答案】 0
【分析】 两个阴影分别加上下部的空白部分可得到扇形和半圆，而扇形和半圆面积相
等，所以，面积之差是 0．
35. 如图，ABCD 是正方形，且 FA=AD=DE=1，阴影部分的面积是多少？（π 取 3.14
）【答案】 0.6075
【分析】 连接 BD，将最左边的弓形补过来．阴影部分的面积就是平行四边形
45
BDEC 的面积减去扇形的面积，S =1×1-3.14×12× =0.6075．
阴影 360
36. （1）如左图所示，三角形 ABC 是等腰直角三角形，以 AC 为直径画半圆，以 BC 为
半径画扇形．已知 AC=BC=10，那么阴影部分的面积是多少？（π 取 3.14）
（2）如右图所示，由一个长方形与两个直角扇形构成，其中阴影部分的面积是多少？（π 取
3.14）
【答案】 （1）28.5；（2）12.765
【分析】 （1）半圆加圆心角是 45 度的扇形面积之和减去直角三角形面积：
1 1 1
×π×52+ ×π×102- ×10×10=28.5；
2 8 2（2）阴影面积为两个直角扇形面积之和减去长方形面积：
1 1
×π×52+ ×π×22-10=12.765．
4 4
37. 有一飞镖形建筑物 ABCD，其各边之长度如下图所示，AB=60 米、BC=70 米、
CD=40 米、AD=30 米，并且已知 ∠ADC=90∘．在其外围拟建一条步道，使得此步道的
外缘距离建筑物之最近距离都保持 5 米．请问沿着此步道之外缘绕一圈共需走多少米？（取
π=3.14）
【答案】 229.25
【分析】 可知步道可分为直线段与圆弧段，直线段之长度和为
60+70+(30-5)+(40-5)=190(米)．而三个圆弧的角度和为 360∘+90∘=450∘．
450∘
所以三个圆弧段的长度和为 2×5×3.14× =39.25(米)．故绕一圈需走
360∘
190+39.25=229.25(米)．
38. 如图，正方形的边长是 2 厘米，圆形的半径是 1 厘米，当圆形绕正方形滚动一周又回到
原来位置时，扫过的面积有多大？（π 取 3.14）【答案】 28.56 平方厘米．
【分析】 扫过的区域如图所示，正方形的边长是 2 厘米，四个正方形的面积之和是
16 平方厘米，四个扇形正好可以拼成一个半径为 2 厘米的圆，圆的面积是 12.56 平方厘米，
最后的结果是 28.56 平方厘米．
39. 在下图中，AC 为圆 O 的直径，三角形 ABC 为等腰直角三角形，其中 ∠C=90∘．以
B 为圆心，BC 为半径作弧 CD 交线段 AB 于 D 点．若 AC=10 厘米，试求下图中阴
影部分面积之和．（令 π=3）【答案】 62.5 平方厘米
【分析】 阴影部分面积为圆加扇形减三角形，阴影面积为：
1 1
π×52+ ×π×102- ×102=62.5(平方厘米).
8 2
