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2024 届顺义一中考前适应性检测数学试卷
一、单选题：本题共10小题，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
.
A B. C. D.
2. 若 为虚数单位，复数 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 在等差数列 中， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
4. 已知函数 ，则（ ）
A. 偶函数且周期为 B. 为奇函数且在 上有最小值
为
C. 为偶函数且在 上单调递减 D. 为奇函数且 为一个对称中心
5. 设M是抛物线 上的一点，F是抛物线的焦点，O足坐标原点，若 ，则
（ ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
6. “角 与 的终边关于直线 对称”是“ ”的（ ）
A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 风筝又称为“纸鸢”，由中国古代劳动人民发明于距今2000多年的东周春秋时期，相传墨翟以木头制成木
鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源.如图，是某高一年级学生制作的一个风筝模型的多面体
ABCEF，D 为 AB 的中点，四边形 EFDC 为矩形，且 ， ， ，当
时，多面体ABCEF的体积为（ ）A. B. C. D.
8. 如图，唐金筐宝钿团花纹金杯出土于西安，这件金杯整体造型具有玲珑剔透之美，充分体现唐代金银器
制作的高超技艺，是唐代金银细工的典范之作.该杯主体部分的轴截面可以近似看作双曲线 的一部分，若
的中心在原点，焦点在 轴上，离心率 ，且点 在双曲线 上，则双曲线 的标准方程为
（ ）
A. B.
C. D.
9. 设 ， ， .若 ， ，则 最大值为（ ）
A. 2 B. C. 1 D.
10. 利用所学数学知识解决新问题是我们学习数学的一个重要目的，同学们利用我们所学数学知识，探究
函数 ， ，则下列命题不正确的是（ ）A. 有且只有一个极值点 B. 在 上单调逆增
C. 存在实数 ，使得 D. 有最小值
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 已知函数 ，则 ______.
12. 在 的展开式中，常数项为______．（用数字作答）
13. 命题：若 是等比数列，则前n项和 不存在最大值和最小值.写出一组说明此命题为假命题的首
项 ___________和公比 ___________
14. 为等边三角形，且边长为2，则 与 的夹角大小为___________，若 ，
则 的最小值为___________.
15. 已知直线l经过点 ，曲线 ： .
①曲线 经过原点且关于 对称；
②当直线l与曲线 有2个公共点时，直线l斜率的取值范围为 ；
③当直线l与曲线 有奇数个公共点时，直线l斜率的取值共有4个
④存在定点Q，使得过Q的任意直线与曲线 的公共点的个数都不可能为2
以上说法正确的是___________
三、解答题：本题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知 ．
（1）求角B的大小；
的
（2）若 ；从以下3个条件中选择1个作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求 ABC 面
△
积.条件①： ；
条件②： ；
.
条件③：
17. 习近平总书记高度重视体育运动的发展，将体育与国家发展、民族振兴紧密联系在一起，多次强调体
育“是实现中国梦的重要内容”“体育强则中国强，国运兴则体育兴”，为了响应总书记的号召，某中学组织
全体学生开展了丰富多彩的体育实践活动.为了解该校学生参与活动的情况，随机抽取100名学生作为样本，
统计他们参加体育实践活动时间（单位：分钟），得到下表：
时间人数类别
男 5 12 13 8 9 8
性别
女 6 9 10 10 6 4
初中 10
学段
高中 4 13 12 7 5 4
（1）从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育实践活动时间在 的概
率；
（2）从该校参加体育实践活动时间在 学生中随机抽取2人，在 的学生中随机抽取1人，
求其中至少有1名初中学生的概率；
（3）假设同组中每个数据用该组区间中点值代替，样本中的100名学生参加体育实践活动时间的平均数记
为 ，初中、高中学生参加体育实践活动时间的平均数分别记为 ， ，试比较 与 的大小关
系.（结论不要求证明）
18. 如图在几何体 ABCDFE 中，底面 ABCD 为菱形， ， ， ，
.（1）判断AD是否平行于平面CEF，并证明；
（2）若面 面 ；求：
（ⅰ）平面 与平面CEF所成角的大小；
（ⅱ）求点A到平面CEF的距离.
19. 已知椭圆 ： 的左顶点为 ，上下顶点为 ， ，离心率为 .
（1）求椭圆 的方程
（2）设 点是椭圆 上一点，不与顶点重合， 满足四边形 是平行四边形，过点 作垂直 轴
的直线交直线 于点 ，再过 作垂直于 轴的直线交直线 于点 .求证： ， ， 三点共线.
20. 已知函数 .
（1）求曲线 在点 处 的切线方程；
（2）当 时，求证：函数 存在极小值；
（3）求函数 的零点个数.
21. 若无穷数列 的各项均为整数．且对于 ， ，都存在 ，使得 ，
则称数列 满足性质P．
（1）判断下列数列是否满足性质P，并说明理由．
① ， ，2，3，…；② ， ，2，3，…．
（2）若数列 满足性质P，且 ，求证：集合 为无限集；
（3）若周期数列 满足性质P，求数列 的通项公式．
