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顺义区 2025 年高三统一测试试卷
数学
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
1. 已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
.
2 已知平面向量 ， 满足 ， ， ，则 （ ）
.
A 6 B. 3 C. D.
3. 下列函数中，单调递增且值域为 的是（ ）
A. B. C. D.
4. 复数 的共轭复数为 ，且满足 ，则 （ ）
A. 2 B. C. 1 D.
5. 在天文学中，天体的明暗程度可以用视星等和绝对星等来描述.视星等 是在地球上看到的星体亮度等级
视星等受恒星距离影响.绝对星等M是假设把恒星放在距离地球10秒差距（10秒差距≈32.6光年）时的视
星等，这样能比较不同恒星本身的亮度.视星等 和绝对星等M满足 ，其中 是与地球
的距离，单位为秒差距.若恒星A距离地球约32.6光年，恒星B距离地球约326光年，恒星A，B的视星等
满足 ，则（ ）A. B. C. D.
6. 已知 ,点M满足 ，则 的可能取值是（ ）
A. 4 B. C. 1 D.
7. 六氟化硫是一种无机化合物，常温常压下为无色无味无毒不燃的稳定气体.化学式为 ，在其分子结构
中，硫原子位于中心，六个氟原子均匀分布在其周围，形成一个八面体的结构.如图所示，该分子结构可看
作正八面体，记为 ，各棱长均相等，则平面 与平面 夹角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
8. 设 为等比数列，则“存在 ，使得 ”是“ 为递减数列”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
.
C 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 已知抛物线 ： 的焦点为 ，准线为 ，过点 的直线与 交于不同的两点A，B， 为坐标
原点，直线 与 交于点M，若 ，则 的面积等于（ ）
A. B. C. D. 2
10. 已知直线 分别与函数 和 的图象交于 ， ，给出下列三个
结论：① ；② ；③ .其中正确结论的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，且过点 ，则双曲线 的渐近线方
程为______.
12. 若 ，则 _______； ________.
13. 已知直线 ： 与圆 ： 有两个交点，则 可以是_______.（写出满足条
件的一个值即可）
14. 在 中， ， ，则 _______.
15. 已知函数 ，数列 满足 ， .
给出下列四个结论：
①若 ，则 有3个不同的可能取值；
②若 ，则 ；
③对于任意 ，存在正整数 ，使得 ；
④对于任意大于2的正整数 ，存在 ，使得 ；
其中所有正确结论的序号是______.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， ， ， .（1）若平面 与棱 交于点 ，且 平面 ，求证： 是 中点；
（2）若 是棱 上一点，且满足 ，当 时，求 与平面 所成角的正弦值.
17. 已知函数 .
（1）求 的值；
（2）再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知条件，使函数 存在且唯一确定.当 在区
间 上仅有一个零点时，求 的取值范围.
条件①： 在 上是单调函数；
条件②： 图象的一个对称中心为 ；
条件③：对任意的 ，都有 成立.
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
18. AI智能阅卷是一种利用人工智能技术对试卷进行批改和评估的技米，它可以帮助教师提高阅卷效率，
并为学生提供更快速更有针对性的反馈.某教师尝试使用AI系统进行阅卷，由甲、乙两种系统进行独立阅
卷评分.如果两个系统评分相差2分及以下，则以两种系统评分的平均分作为最后得分；如果两个系统评分
相差3分及以上，则人工进行复核阅卷并给出最后得分.从两种系统进行阅卷的试卷中随机抽取12份试卷
作为样本，其评分情况如下表所示：
1 1 1
试卷序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2
系统甲评 8 8 7 9 8 6 7 6 9 5 8 8
分 2 8 6 2 7 6 5 9 0 8 6 4
系统乙评 8 8 7 9 8 6 7 6 8 5 8 8
分 0 2 6 0 0 1 1 5 8 4 2 0
8 8 7 9 8 6 7 6 8 5 8 8
最后得分
1 5 6 1 5 4 4 7 9 6 4 3（1）从这12份试卷中随机选取1份，求甲、乙两种系统评分之差的绝对值不超过2分的概率；
（2）从这12份试卷中随机选取3份，甲、乙两种系统评分之差的绝对值不超过2分的份数记为X，求X
的分布列和数学期望；
（3）从上述的12份试卷中随机抽取1份，设甲系统对其评分为 ，乙系统对其评分为 ，最后得分为 .
令 ， ，试比较方差 和 的大小.（结论不要求证明）
19. 已知椭圆 ： 的一个顶点为 ，离心率为 .
（1）求 的方程和短轴长；
（2）直线 ： 与E相交于不同的两点B，C，直线 ， 分别与直线 交于点M，N.当
时，求 的值.
20. 已知函数 .
的
（1）求曲线 在点 处 切线方程；
（2）设 ，求证： 是 上的单调递减函数；
（3）求证：当 时， .
21. 已知数列 ： 各项为正整数.对任意正整数 ，定义： ，
，其中 表示有限集 中的元素个数，规定 .
（1）对于数列 ：1，3，2，2，写出 ， ， ， 的值；
（2）若数列 ： 满足 .
（i）若 ，令 ，当 时，求 ；
（ii）求证： .
