文档文本内容
西城区高三统一测试试卷
数学
2025.4
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
1. 已知集合 ， ，那么集合 （ ）
A. B.
C. D.
2. 下列函数中，图像关于 轴对称的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 在 的展开式中， 的系数等于（ ）
A. 6 B. 12
C. 18 D. 24
4. 在长方形 中， 为 的中点， ，则 （ ）
A. B.
.
C D.
5. 在平面直角坐标系 中，若从点 发出的光线经过点 ，且被 轴反射后将圆平分，则实数 （ ）
A. B.
C. D.
6. 设直线 平面 ，平面 平面 直线 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 已知函数 ．若 ，则（ ）
A. B. 或
C. D. 或
8. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，若双曲线上存在点 ，使得
，则此双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9. 蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六
边形网格图，如图所示．设 为图中7个正六边形（边长为4）的某一个顶点， 为两个固定顶点，则
的最大值为（ ）
A. 44 B. 48C. 72 D. 76
10. 设等比数列 的前 项和为 ，前 项的乘积为 ．若 ，则（ ）
A. 无最小值， 无最大值 B. 有最小值， 无最大值
C. 无最小值， 有最大值 D. 有最小值， 有最大值
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 设 为虚数单位，则 ________．
12. 设抛物线 的焦点为 ，准线为 ，则抛物线 上一点 到 的距离为
________．
13. 设平面向量 ， ， ，且 ，则使得向量 与 共线的一组值
________， ________．
14. 端午节又名端阳节、粽子节等，它是中国首个入选世界非遗的节日．从形状来分，端午节吃的粽子有
三角粽、四角粽、枕形粽、牛角粽等．其中，四角粽的形状可以近似看成一个四面体 ，如图所示．
设棱 的长为 ，其余的棱长均为 ，则该四角粽的表面积为________ ，内含食物的体
积为________ ．（粽叶的厚度忽略不计）
15. 记 表示不超过实数 的最大整数．设函数 ，有以下四个结论：
①函数 为单调函数；
②对于任意的 ， 或 ；③集合 （ 为常数）中有且仅有一个元素；
④满足 的点 构成的区域的面积为8．
其中，所有正确结论的序号是________．
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 如图，在多面体 中， 平面 ，平面 平面 ， ，
于点 ．
（1）求证： ；
（2）设 ， ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
17. 在 中， ．
（1）求 的值；
（2）若 ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 存在，
求 边上的高．
条件①： ；
条件②： ；
条件③： ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
18. 发展纯电动、插电式混合动力等新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路．为调查研究，某地统计了辖区内从 年至 年这 年的新能源汽车和纯电动汽车的销量，得到如下折线图（单位：
百辆）：
在每一年中，记该年纯电动汽车销量占该年新能源汽车销量的比重为 ．
（1）从 年至 年这 年中随机抽取 年，求该年 值超过 的概率；
（2）现从 年至 年这 年中依次随机抽取，每次抽取 个年份，若该年的 值超过 ，则停
止抽取，否则继续从剩余的年份中抽取，直至抽到 值超过 的年份．记抽取的次数为 ，求 的分
布列和数学期望；
（3）记 年至 年这 年新能源汽车销量数据的方差为 ，且这 年纯电动汽车销量数据的方差
为 ，写出 与 的大小关系．（结论不要求证明）
19. 已知椭圆 的离心率为 ， 为椭圆 上一点，且点 到椭圆 的两个焦
点的距离之和等于 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若 关于原点 的对称点为 ，过点 与 垂直的直线与椭圆 的另一个交点为 ， 轴
于点 ，直线 与 轴交于点 ．用 与 分别表示 与 的面积，证明：
．20. 已知函数 ，其中 ．
（1）若曲线 在点 处的切线的斜率为2，求 的值；
（2）求函数 的单调区间；
（3）设函数 在区间 上 的最大值和最小值分别为 ， ，求使得不等式
成立的 的最小值．
21. 如图，设 是由 个实数组成的 行 列的数表，其中 表示位于第 行第 列的实数，且
满足 与 均是公差不为 的等差数列．
…
…
…
…
若根据条件 ，能求出数表 中所有的数，则称 能被 确定．
（1）已知 ，分别根据下列条件，直接判断数表 能否被其确定：
条件 “已知 ”；
条件 “已知 ”．
（2）设条件 “任意给定数表 中的 个数”， 能被 确定，证明： 的最小值为 ；
（3）设条件 “已知集合 或 其中 中的任意 个元素”，求 的最
小值，使得 能被 确定．
