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北京市丰台区 2024～2025 学年度第二学期综合练习（二）
高三数学
2025.05
本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无
效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分 选择题（共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 在复平面内，复数 的共轭复数 对应的点位于（ ）
.
A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知向量 满足 ，且 ，则 与 的夹角为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，则 （ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
5. 已知直线 与圆 交于 两点．当 变化时，则 （ ）
A. 有最小值 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最大值
6. 已知关于 的方程 的两实根为 ，则“ ”是“关于 的不等式
的解集为 ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件的
7. 已知抛物线 焦点为 ，准线为 ．过 的直线与 交于 两点，过
作 的垂线，垂足分别为 ．若四边形 的周长等于 ，则直线 的斜率为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在棱台 中，底面 和 为正方形， ，侧面均为
等腰梯形，且侧面与底面 的夹角均为 ，则该棱台的表面积为（ ）
A. 18 B. C. D. 34
9. “红移”和“蓝移”是物理学和天文学中的概念．如果接收器接收到的光波的频率小于波源发出的光波的频
率，则光的谱线向红光方向移动，称为“红移”；如果接收器接收到的光波的频率大于波源发出的光波的频
率，则光的谱线向蓝光方向移动，称为“蓝移”．记接收器接收到的光波的频率为正数 ，波源发出的光波
的频率为正数 ， 和f满足光的普遍多普勒效应公式 （ 为波源运动速率与
光速的比值， 为波源到接收器的方向与波源运动方向的夹角）．某同学依据该公式利用 工具
制作了“光的普遍多普勒效应计算器”，在给定范围内输入 和 的值，点击“计算”按钮后，运行结果显示
“红移”、“蓝移”或“无频移”．下列说法正确的是（ ）
A. 输入 和任意β，运行结果显示“红移”
.
B 输入 和任意β，运行结果显示“蓝移”C. 输入 和任意 ，运行结果显示“红移”
D. 输入 和任意 ，运行结果显示“蓝移”
10. 已知 是平面直角坐标系 中的点集．设 是 中
两点间距离的最大值， 是 中的点与原点 连线的斜率， 是 表示的图形的面积，给出下列四个结
论：① ；② ；③ ；④ ．其中所有正确结论的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
第二部分 非选择题（共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 函数 的定义域为_______．
12. 已知双曲线 (a＞0，b 0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为__________．
13. 已知直线 为函数 图象的一条对称轴，则满足条件的一个 的取值
为_____；若 在区间 上有零点，则 的最小值为_______．
14. 已知 ，则 _______； _______．
（用数字作答）
15. 已知数列 满足 ，给出下列四个结论：
①存在唯一 的正实数 ，使得 是常数列；
②当 时， 是等比数列；③若 是递增数列，则 ；
④若对任意的正整数 ，都有 ，则 ．
其中所有正确结论的序号为_____．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 在 中， ．
（1）求 ；
（2）若 , ，求 边上的高．
17. 如图，在四棱柱 中，底面 与侧面 均为菱形， 平面
为 的中点， 与平面 交于点 ．
（1）求证： 为 的中点；
（2）再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，判断在线段 上是否存在点 ，使得直线
与平面 所成角 的正弦值为 ？若存在，求 的值；若不存在，说明理由．
条件①： ；
条件②： ．
注：如果选择条件①，条件②分别解答，按第一个解答计分．
18. 为调查某校学生户外活动时长和视力的关系，某研究小组在该校随机选取了 100名学生，记录他们的
日均户外活动时长（单位：小时）及近视情况，统计得到：日均户外活动时长在区间 内有70人，近视率为 ；日均户外活动时长在区间 内有20人，近视率为 ；日均户外活动时长在区间
内有10人，近视率为 ．
注：近视率是指某区间内近视人数与该区间内人数的比值．
（1）估计该校日均户外活动时长不低于1小时的学生的近视率；
（2）用频率估计概率．从该校日均户外活动时长低于1小时的学生和不低于1小时的学生中各随机选取2
名，求这4名学生中恰有2名近视的概率；
（3）为响应国家降低青少年近视率的号召，该校提出“护眼有妙招，科学动起来”的口号，计划在以下2
项措施中选择1项实施．
措施一：每日给全校学生增设0.5小时晨跑活动；
措施二：每日给日均户外活动时长低于1小时的学生增设1小时户外活动．假设所有学生都能按要求参加
相应活动，记采取措施一后该校全体学生的日均户外活动时长的平均值为 ，采取措施二后该校全体学生
的日均户外活动时长的平均值为 ．用样本估计总体，试比较 与 的大小．（结论不要求证明）
19. 已知椭圆 的左顶点为 ，焦距为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 为原点，过点 且斜率为 的直线 与椭圆 的另一个交点为 ，线段 的垂直平分线与 轴
交于点 ，与 轴交于点 ．过点 且与 平行的直线与 轴交于点 ．若 与 的面积
之比为 ，求 的值．
20. 已知函数 在点 处的切线方程为 ．
（1）求 的值；
（2）求 的单调区间；
（3）若 ，求 的取值范围．21. 设数列 是 的一个排列．由 中连续 项组成的集合称作“ 的长为 的子
列集”，其中 ．任取不大于 的正整数 ，当 时，若数列 的任意长为 的子列集
和数列 的任意长为 的子列集 ，都有 ，则称数列
为“好数列”．
（1）判断下列数列是否为“好数列”：
①1，3，5，2，4；②1，4，6，2，5，3．
（2）证明：由 的排列构成的所有“好数列”中，存在首项不超过 的“好数列”（ 表示不
超过 的最大整数）；
（3）若数列 为“好数列”，求 的最大值．
