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北京市东城区 2023—2024 学年度第二学期高三综合练习（一）
数学
2024.4
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
1. 如图所示， 是全集， 是 的子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知 ，且 ，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知双曲线 的离心率为2，则 （ ）
A. 3 B. C. D.
4. 设函数 ，则（ ）
A. B.
C. D.5. 已知函数 的最小正周期为 ，最大值为 ，则函数 的图
象（ ）
A. 关于直线 对称
B. 关于点 对称
C. 关于直线 对称
.
D 关于点 对称
6. 已知 ，若 ，则 的取值可以为（
）
A. 2 B. 1 C. D.
7. 《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方
法.某校高一年级计划实践这种方法，为同学们准备了制瓦用的粘土和圆柱形的木质圆桶，圆桶底面外圆的
直径为 ，高为 .首先，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为 的粘土，然后，沿圆桶母线
方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦.每位同学制作四片瓦，全
年级共500人，需要准备的粘土量（不计损耗）与下列哪个数字最接近.（参考数据： ）（ ）
A. B. C. D.
8. 设等差数列 的公差为 ，则“ ”是“ 为递增数列”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 如图1，正三角形 与以 为直径的半圆拼在一起， 是弧 的中点， 为 的中心.现将
沿 翻折为 ，记 的中心为 ，如图2.设直线 与平面 所成的角为 ，
则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
10. 已知 是定义在 上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，设函数
，下列说法正确的是（ ）
A. 若 在 上单调递增，则存在实数 ，使得 在 上单调递增
B. 对于任意实数 ，若 在 上单调递增，则 在 上单调递增
C. 对于任意实数 ，若存在实数 ，使得 ，则存在实数 ，使得
D. 若函数 满足：当 时， ，当 时， ，则 为
的最小值
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 若复数 ，则 _________.
12. 设向量 ，且 ，则 ______.
13. 已知角 的终边关于直线 对称，且 ，则 的一组取值可以是 ______，
______.
14. 已知抛物线 的焦点为 ，则 的坐标为______；抛物线 的焦点为 ，若直线
分别与 交于 两点；且 ，则 ______.
15. 已知数列 的各项均为正数，满足 ，其中常数 .给出下列四个判断：
①若 ，则 ；
②若 ，则 ；
③若 ，则 ；
④ ，存在实数 ，使得 .
的
其中所有正确判断 序号是______.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 在 中， .
（1）求 ；
（2）若 为 边的中点，且 ，求 的值.
17. 某中学为了解本校高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机抽取100人进行一般现代文阅读
速度的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学生的阅读速度，将测试结果整理得到如下频率分布直方图：
（1）若该校高二年级有1500人，试估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数；
（2）用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的
人数为 ，求 的分布列与数学期望 ；
（3）若某班有10名学生参加测试，他们的阅读速度如下：506，516，553，592，617，632，667，693，
723，776，从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为 ，试
判断数学期望 与（2）中的 的大小.（结论不要求证明）
18. 如图，在五面体 中，底面 为正方形， .
（1）求证： ；
（2）若 为 的中点， 为 的中点， ，再从条件①、条件②这两个条件
中选择一个作为已知，求直线 与平面 所成角的正弦值.
条件①： ；
条件②： .
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分19. 已知函数 .
（1）求曲线 在 处 的切线方程；
（2）设 ，求函数 的最小值；
（3）若 ，求实数 的值.
20. 已知椭圆 的短轴长为 ，离心率 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 为坐标原点，直线 是圆 的一条切线，且直线 与椭圆 交于 两点，若平行四
边形 的顶点 恰好在椭圆 上，求平行四边形 的面积.
.
21 有穷数列 中，令 ，
（1）已知数列 ，写出所有 的有序数对 ，且 ，使得 ；
（2）已知整数列 为偶数，若 ，满足：当 为奇数时，
；当 为偶数时， .求 的最小值；
（3）已知数列满足，定义集合.若且为非空集合，求证：.
