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北京市东城区 2023—2024 学年度第二学期高三综合练习（一）
数学
2024.4
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
1. 如图所示， 是全集， 是 的子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由给定的韦恩图分析出阴影部分所表示的集合中元素满足的条件，再根据集合运算的定义即可得
解.
【详解】由韦恩图可知阴影部分所表示的集合是 .
故选：D.
2. 已知 ，且 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】举出反例即可判断ABD，利用作差法即可判断C.
【详解】当 时， ，故AD错误；当 时， ，故B错误；
对于C，因为 ，所以 ，因为 ，所以 且 ，
则 ，
所以 ，故C正确.
故选：C.
3. 已知双曲线 的离心率为2，则 （ ）
A. 3 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先由方程得到 ，再由离心率公式计算可得答案.
【详解】由双曲线 可得： ，
，所以 ，
故选：B.
4. 设函数 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数解析式，分别计算即可得解.【详解】函数 的定义域为 ，
对于A， ，故A正确；
对于B， ，故B错误；
对于CD，当 时， ，故CD错误.
故选：A.
5. 已知函数 的最小正周期为 ，最大值为 ，则函数 的图
象（ ）
A. 关于直线 对称
B. 关于点 对称
C. 关于直线 对称
D. 关于点 对称
【答案】C
【解析】
【分析】先利用辅助角公式化简，再根据周期性求出 ，根据最值求出 ，再根据正弦函数的对称性逐一
判断即可.
【详解】 ，其中 ，
因为函数的最小正周期为 ，所以 ，解得 ，
因为函数的最大值为 ，
所以 ，解得 （ 舍去），
所以 ，
因为 ，
所以函数图象不关于直线 对称，也不关于点 对称，故AB错误；
因为 ，
所以函数图象关于直线 对称，不关于点 对称，故C正确，D错误.
故选：C.
6. 已知 ，若 ，则 的取值可以为（
）
A. 2 B. 1 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】借助赋值法计算即可得.
【详解】令 ，有 ，
即 或 .
故选：A.
7. 《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方
法.某校高一年级计划实践这种方法，为同学们准备了制瓦用的粘土和圆柱形的木质圆桶，圆桶底面外圆的直径为 ，高为 .首先，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为 的粘土，然后，沿圆桶母线
方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦.每位同学制作四片瓦，全
年级共500人，需要准备的粘土量（不计损耗）与下列哪个数字最接近.（参考数据： ）（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合圆柱体积公式求出四片瓦的体积，再求需准备的粘土量.
【详解】由条件可得四片瓦的体积 （ ）
所以500名学生，每人制作4片瓦共需粘土的体积为 （ ），
又 ，
所以共需粘土的体积为约为 ，
故选：B.
8. 设等差数列 的公差为 ，则“ ”是“ 为递增数列”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
.
C 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用等差数列通项公式求出 ，再利用单调数列的定义，结合充分条件、必要条件的意义判断
即得.【详解】由等差数列 的公差为 ，得 ，则 ，
当 时， ，而 ，则 ，因此 ， 为递增数列；
当 为递增数列时，则 ，即有 ，整理得 ，不能推出 ，
所以“ ”是“ 为递增数列”的充分不必要条件.
故选：A
9. 如图1，正三角形 与以 为直径的半圆拼在一起， 是弧 的中点， 为 的中心.现将
沿 翻折为 ，记 的中心为 ，如图2.设直线 与平面 所成的角为 ，
则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合题意，可得 ，直线 在平面 的投影为直线 ，借助正弦定理计算可得
，借助导数得到 的最大值即可得 的最大值.【详解】取 中点 ，连接 ， ，由三角形 为正三角形，故 在线段 上，
且 ，即 ，
由题意可得 ， ， 、 平面 ， ，
故 平面 ，又 平面 ，故直线 在平面 的投影为直线 ，
即 ，则有 ，
整理可得 ， ，
令 ， ，
故当 时， ，当 时， ，
令 ，且 ，则 ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
即 有最大值 ，
即 有最大值 ，则 有最大值 .
故选：C.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助正弦定理表示出 与 的关系，通过导数计算出 的
最大值从而得到 的最大值.
10. 已知 是定义在 上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，设函数
，下列说法正确的是（ ）
A. 若 在 上单调递增，则存在实数 ，使得 在 上单调递增
B. 对于任意实数 ，若 在 上单调递增，则 在 上单调递增
C. 对于任意实数 ，若存在实数 ，使得 ，则存在实数 ，使得
D. 若函数 满足：当 时， ，当 时， ，则 为
的最小值
【答案】D
【解析】
【分析】首先理解函数 表达的是函数 图像上两点割线的斜率，当 时，表示的为切线斜
率，然后举反例设 可判断A错误；设 可得B错误；设 可得C错误；由
函数单调性的定义可以判断D正确.
【详解】函数 表达 的是函数 图象上两点割线的斜率，当时，表示的为切线斜率；所以
对于A：因为 是定义在 上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，且 在 上单调递增，
所以设 ，则 ，此时 为常数，即任意两点的
割线的斜率为常数，故A错误；
对于B：设 ，
由图象可知，
当 时，随 增大，点 与点 连线的割线斜率越来越大，即单调递增，但 在
不是单调函数，故B错误；
对于C：因为对于任意实数 存在实数 ，使得 ，说明 为有界函数，所以设
，
但割线的斜率不一定有界，如图
当 时，割线的斜率趋于正无穷，故C错误；
对于D：因为函数 满足：当 时， ，
即 ，因为 ， ，所以 ；
同理，当 时， ，
即 ，
因为 ， ，所以 ；
所以 为 的最小值，故D正确；
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解函数 表达的是函数 图像上两点割线的斜率，当
时，表示的为切线斜率，然后通过熟悉的函数可逐项判断.
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 若复数 ，则 _________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用复数的除法法则将复数表示为一般形式，然后利用复数的模长公式可计算出 的值.
【详解】 ，因此， .
故答案为： .
【点睛】本题考查复数模的计算，同时也考查了复数的除法运算，考查计算能力，属于基础题.
12. 设向量 ，且 ，则 ______.
【答案】 ##
【解析】【分析】根据数量积的定义，向量共线的坐标表示，结合已知条件，求解即可.
【详解】设 的夹角为 ，
，故 ，又 ，故 ， 方向相同，
又 ，则 ，解得 ，满足题意.
故答案为： .
13. 已知角 的终边关于直线 对称，且 ，则 的一组取值可以是 ______，
______.
【答案】 ①. （答案不唯一，符合题意即可） ②. （答案不唯一，符合题意即可）
【解析】
【分析】由角 的终边关于直线 对称，可得 ，再由 可得
或 ，即可求出答案.
【详解】因为角 的终边关于直线 对称，
则 ， ，则 ，
因为 ，所以 ，
所有 或 ， ，解得： 或 ， ，
取 ， 的一个值可以为 ， 的一个值可以为 .
故答案为： （答案不唯一，符合题意即可）； （答案不唯一，符合题意即可）.
14. 已知抛物线 的焦点为 ，则 的坐标为______；抛物线 的焦点为 ，若直线
分别与 交于 两点；且 ，则 ______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据抛物线的方程即可得出焦点坐标，根据抛物线的定义求出 ，进而可得出 .
【详解】由抛物线 ，可得 ，
设 ，
则 ，
故 ，所以 ，
所以 .
故答案为： ； .15. 已知数列 的各项均为正数，满足 ，其中常数 .给出下列四个判断：
①若 ，则 ；
②若 ，则 ；
③若 ，则 ；
④ ，存在实数 ，使得 .
其中所有正确判断的序号是______.
【答案】②③④
【解析】
【分析】①直接取 找矛盾；②通过 ，利用累加法求 的
范围；③假设 找矛盾；④取 ，根据函数单调性来确定其成立.
【详解】对于①：若 ，则 ，
当 时， ，与 矛盾，①错误；
对于②：若 ，则 ，所以 ，
又 ，若 ，该不等式恒成立，即 ，
由
由于 ，所以 ，所以 ，所以 时， ，累加得 ，
所以 ，所以 ，
综合得 ，②正确；
对于③：若 ， ，
假设 ，则 ，与 矛盾，故 ，③正确；
对于④：当 时，若 ，则 ，此时 ，
若 成立，
根据二次函数 可得其在 上单调递增，
可得 ，
故在 的情况下， 必成立，即存在实数 ，使得 ，④正确，
故答案为：②③④.
【点睛】方法点睛：对于数列判断题，我们可以通过赋值，举例的方法对选项进行确认和排除.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 在 中， .
（1）求 ；
（2）若 为 边的中点，且 ，求 的值.【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）由正弦定理可得 ，结合三角和为 及诱导公式可得
，即可得答案；
（2）在 中，由正弦定理可求得 ，从而可得 ，在 中，利用余弦定理
求解即可.
【小问1详解】
解：因为 ，
由正弦定理可得 ，
即 ， ，
又因为 ，
所以 ，
解得 ，又因为 ，
所以 ；
【小问2详解】解：因为 为 边的中点， ，
所以 ,
设 ,
在 中，由正弦定理可得 ，
即 ，解得 ，
又因为 ，所以 ，
在 中， ，
在 中， ，
由余弦定理可得： ，
所以 ，
即 .
17. 某中学为了解本校高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机抽取100人进行一般现代文阅读
速度的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学生的阅读速度，将测试结果整理得到如下频率分
布直方图：（1）若该校高二年级有1500人，试估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数；
（2）用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的
人数为 ，求 的分布列与数学期望 ；
（3）若某班有10名学生参加测试，他们的阅读速度如下：506，516，553，592，617，632，667，693，
723，776，从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为 ，试
判断数学期望 与（2）中的 的大小.（结论不要求证明）
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
（3）
【解析】
【分析】（1）借助频率分布直方图计算即可得；
（2）借助频率分布直方图可得阅读速度达到540字/分钟及以上的概率，得到 的可能取值及其对应概率
即可得，再计算期望即可；
（3）借助期望计算公式计算即可得.
【小问1详解】
，
故可估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数为 人；
【小问2详解】
从中任取一人，其阅读速度达到540字/分钟及以上的概率为：，
的可能取值为 、 、 、 ，
，
，
，
，
则其分布列为：
其期望为： ；
【小问3详解】
，理由如下：
这10名学生中，阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为 人，
的可能取值为 、 、 ，
，
，
，
则 ，
故 .
18. 如图，在五面体 中，底面 为正方形， .（1）求证： ；
（2）若 为 的中点， 为 的中点， ，再从条件①、条件②这两个条件
中选择一个作为已知，求直线 与平面 所成角的正弦值.
条件①： ；
条件②： .
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先证明 平面 ，再利用线面平行的性质证明 ；
（2）选①②：证明 平面 ，建立以M为原点的空间坐标系，求出平面 的法向量，利
用线面角公式求解
【小问1详解】
证明：底面 为正方形,则 ，又 平面 ， 平面 ，
则 平面 ，又平面 平面 ， 平面 ，故 .
【小问2详解】
选①，取 中点G,连接 ，因为 ，所以 ，
易知 为梯形 的中位线，则 ，
又 平面 ，故 平面 ， 平面 ，则 平面 ，且 必相交，故 平面 ，
延长GM交BC于P,则P为中点，易得 ，故 为矩形.
以M为原点， 所在直线为z轴，MG所在直线为x轴，过M作CB平行线为y轴，建立空间直角坐标
系如图：
则 ，
则 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，则 ，
设直线 与平面 所成角为 .
选②：取 中点G, 连接 ，易知 为梯形 的中位线， ，
则 ，由题 ， ，则 ，故
又 平面 ，故 平面 ，
延长GM交BC于P,则P为中点，易得 ，故 为矩形.
以M为原点， 所在直线为z轴，MG所在直线为x轴，过M作CB平行线为y轴，建立空间直角坐标
系如图：
则 ，
则 ， ， ，的
设平面 法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，则 ，
设直线 与平面 所成角为 .
.
19. 已知函数 .
（1）求曲线 在 处的切线方程；
（2）设 ，求函数 的最小值；
（3）若 ，求实数 的值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；
（2）利用导数求出函数 的单调区间，进而可求出最小值；
（3）分 和 两种情况讨论，在 时，再分 和 两种情况讨论，分离参数，构造
函数并求出其最值，即可得解.
【小问1详解】
，则 ，
所以曲线 在 处的切线方程为 ，即 ；
【小问2详解】
，
，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ；
【小问3详解】
函数 的定义域为 ，
当 时， ，
则 ，即 ，
即 ，
由（2）得 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，
又当 时， ，
因为 ，所以 ，
此时 不恒成立，故 不符题意；当 时，若 ，则 ，
则 ，即 ，即 ，
由上可知函数 在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，解得 ①，
若 ，则 ，即 ，即 ，
由上可知函数 在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，解得 ②，
由①②可得 ，
综上所述， .
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构
造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和
放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
20. 已知椭圆 的短轴长为 ，离心率 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 为坐标原点，直线 是圆 的一条切线，且直线 与椭圆 交于 两点，若平行四
边形 的顶点 恰好在椭圆 上，求平行四边形 的面积.【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意求出 ，即可得解；
（2）分切线斜率是否存在两种情况讨论，当切线的斜率存在时，设切线方程为 ，先求出 的
关系，设 ，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理求出 ，进而可求得线
段 的中点坐标，从而可求得点 的坐标，再根据点 在椭圆上，即可求得 ，再利用弦长公式求
出 ，即可得解.
【小问1详解】
由题意可得 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 ；
【小问2详解】
当圆的切线斜率不存在时，切线方程为 ，
当切线方程为 时，由椭圆的对称性可得 ，
因为 ，所以点 不在椭圆上，不符题意，
当切线方程为 时，由椭圆的对称性可得 ，因为 ，所以点 不在椭圆上，不符题意，
所以切线的斜率存在，设切线方程为 ，
则 ，所以 ①，
联立 ，整理得 ，
则 ，
解得 ，
设 ，则 ，
故 ，
所以线段 的中点坐标为 ，
因为四边形 为平行四边形，所以 ，
又因为点 在椭圆 上，
所以 ②，
将①代入②得 ，解得 ，
所以 ，所以
，
所以 .
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本
步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为 、 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，必要时计算 ；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 （或 、 ）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
21. 有穷数列 中，令 ，
（1）已知数列 ，写出所有 的有序数对 ，且 ，使得 ；
（2）已知整数列 为偶数，若 ，满足：当 为奇数时，
；当 为偶数时， .求 的最小值；
（3）已知数列 满足 ，定义集合 .若
且为非空集合，求证： .【答案】（1） 、 、 、
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）结合题意，逐个计算即可得；
（2）由题意可得 ， ，可得当 时，有 ，当 时，
，结合 ，即可得解；
（3）将 展开，从而得到证明 与 之间的项之和， ，
都为正数，即可得证.
【小问1详解】
为 时， ，
为 时， ，
为 时， ，
为 时， ，
故 ，且使得 的有序数对有 、 、 、 ；
【小问2详解】
由题意可得 ， ，
又 为整数，故 ， ，
则 ，
同理可得 ，即有 ，
同理可得，当 时，有 ，
即当 时，有 ，
当 时， ，
故
；
【小问3详解】
对于数列 ， ，不妨设 ，
①首先考虑 的情况，
由于 ， ，故 ，同理 ， ， ，
故 .
的
②再考虑 中有连续一段是连续 正整数的情况，
此时 ,
因为 ， ，
故这说明此连续的 项的和为负.
同理，当含有多段的连续正整数的情况时，每段的和为负，
再由①中结论，可得 .③若在①②中 ，由于 ，
此时去掉前 项，则可转化①②的情况，所以有 .
④若 ，则 ，
所以此时有 ，
综上，结论成立.
【点睛】关键点点睛：本题最后一小问关键点在于将展开，从而得到证明与之间的项之和，，都为正数，
即可得证.
