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北京市十一学校 2024～2025 学年下学期 5 月高三年级数学课程教与学
诊断
一．选择题（共10小题，每小题4分；共40分）
1. ， ，则 等于（ ）
A. B.
C. D.
2. 若复数z满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量 ， ， ，则 （ ）
A. B. 8 C. D. 4
4. 在 的展开式中， 的系数为15，则 的值为（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
5. 已知圆 ，直线 ，则直线 与圆 的公共点个数为（
）
A. 0个 B. 1个
C. 2个 D. 与 有关，不能确定
6. 已知 ， ，则“ ”是“ 是奇函数”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄．对于男职工，新方案将延迟法定退
休年龄每4个月延迟1个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周岁．如果男职工
延迟法定退休年龄部分对照表如表所示：1965 年 1 月 1965 年 5 月 1965 年 9 月 1966 年 1 月
出生时间 …
－4月 －8月 －12月 －4月
60 岁 1 个 60 岁 2 个 60 岁 3 个 60 岁 4 个
新方案法定退休年龄 …
月 月 月 月
那么1970年5月出生的男职工退休年龄为（ ）
A. 61岁 4个月 B. 61岁 5个月
C. 61岁 6个月 D. 61岁 7个月
8. 已知双曲线 ，若双曲线的左、右两支上各存在一点 、 ，使 为
等边三角形，则该双曲线离心率的一个可能取值为（ ）
.
A B. C. D.
9. 已知函数 ，若函数 恰有2个零点，则实数 的取值范围是（
）
A. B.
C. D.
10. 已知函数 ，且函数 在 ， 内恰有2025个零点，
则满足条件的有序数对 （ ）
.
A 有且仅有1对 B. 有且仅有2对
.
C 有且仅有3对 D. 有无数对
二．填空题（共5小题，每小题5分；共25分）
11. 抛物线 的准线方程是______.
12. 已知一个圆锥的轴截面是一个斜边长为 的等腰直角三角形，则此圆锥的表面积为______．
13. 在平面直角坐标系 中，已知点 ，若点 绕原点顺时针旋转 到点 ，则点 的横坐标为______．
14. 已知 为两个单位向量，且 ， 是平面内 的一个定点， 是平面内的一个动点，
， ．
（1）若 ， ，则 ______．
（2）若 ，则点 的轨迹围成的图形面积为______．
15. 已知无穷数列 满足：对任意 ，有 ，且 ．给出下列四个结
论：
①存在无穷多个 ，使得 ；
②存在 ，对任意 ，有 ；
③对任意 ，有 ；
④对任意 ，存在互不相同的 ，使得 ．
其中所有正确结论的序号是_______
三．解答题（共6大题，共85分）
16. 在 中，已知 ．
（1）求 ；
（2）若 ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 存在
且唯一确定，求 边上中线的长．
条件①： ；条件②： ；条件③： 的面积为 ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
17. 如图，在直角 中， ，点 、 分别在线段 、 上，且 ，将
沿 折起到 的位置，使得二面角 的大小为 ．
（1）设平面 与平面 的交线为 ，请直接写出 与直线 的位置关系．
的
（2）若点 为线段 靠近 点的三等分点
（ⅰ）求证： 平面 ；
（ⅱ）求 与平面 所成角 的正弦值．
18. 某AI大模型想象力引擎处理用户问题分为“深度思考”模式，“联网搜索”模式和“兼用”模式（即同时使
用“深度思考”和“联网搜索”）三种模式，用户可根据需求在提问时自由选择．为了调查用户对不同模式的
使用频率和使用大模型研究问题的种类，该公司调查了不同用户最近提出的共 10000个问题作为样本，得
到如下表格．
问题类别
生活类问题 学习类问题 其他类问题
模式
深度思考 1100 600 300
联网搜索 1200 1500 300
兼用 1500 2500 1000
假设每个用户的每个问题的模式选择与问题类别均相互独立，用频率估计概率．（1）在样本中随机抽取一个问题，求该问题的处理模式是“兼用”模式的概率．
（2）在使用“联网搜索”模式处理的所有问题中随机选取2个，估计生活类问题个数不超过学习类问题个数
的概率．
（3）不同模式处理问题的时间可以大致分为三组： ， ， （单位：秒）．在网络
正常的时候，使用三种模式处理用户问题所需时间比例统计如下图所示．假设小明已经使用该AI大模型
的同一种模式解决了两个问题，其中一个问题的处理时间 ，另一个问题的处理时间
．若不考虑其他因素干扰，判断小明在解决这两个问题时最有可能使用的是哪种模式．（结
论不要求证明）
19. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，过坐标原点的直线交椭圆于 、 两点，点 在第
一象限．
（1）求椭圆的焦距；若 ，求点 的坐标；
（2）若 轴，垂足为 ，连结 并延长交椭圆于点 ，取线段 中点 ，求证： ．
20. 已知函数 ，曲线 在点 处的切线斜率为 ．
（1）求 的值．
（2）求 在 上的零点个数．
（3）证明： 在 上存在两个零点 ，且 ．
21. 设 是一个项数为 的数列，其中每一项均为集合 中的元素．定义数列 如
下 ： 若 ， 则 ， 其 中 ， 当 时 ， ， 当 时 ，
， ，其中记 ．
（1）①若数列 ，则 ______；②若数列 ，则 ______．
（2）对于给定的正整数 ，若正整数 满足对任意 ，均有数列 与 为同一数列，则称 为“ 阶好
数”．
（ⅰ）求最小的“3阶好数”．
（ⅱ）求使得“ 阶好数”存在的 的所有可能取值．
